10. 已知点$A(m,y_1)$,$B(m+2,y_2)$都在反比例函数$y=-\dfrac{a^2+1}{x}$的图象上,则下列结论一定正确的是（）

A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＞0$时,$y_1＞y_2$
D.当$m＜-2$时,$y_1＜y_2$

10. D

【分析】
首先先确定反比例函数的比例系数k的符号：由平方的非负性可知a²≥0，因此k=-(a²+1)恒为负数，可知该反比例函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大。接下来结合两点的横坐标关系（x₂ = m+2 ＞ x₁ = m），分情况讨论两点所在的象限，利用增减性判断y₁和y₂的大小关系，逐一排查选项即可。
【解析】
解：
∵a²≥0，
∴a²+1≥1＞0，
∴反比例函数$y=-\dfrac{a^2+1}{x}$的比例系数$k=-(a^2+1)＜0$，
∴该函数图象在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大。
已知点A横坐标为$m$，点B横坐标为$m+2$，因此$x_B = m+2 ＞ m = x_A$。
选项A、B：未确定m的取值，两点可能在不同象限，无法直接比较$y_1$、$y_2$的大小，故A、B错误；
选项C：当$m＞0$时，$m＞0$，$m+2＞0$，两点均在第四象限，由第四象限内y随x增大而增大，得$y_1 ＜ y_2$，故C错误；
选项D：当$m＜-2$时，$m＜-2$，$m+2＜0$，两点均在第二象限，由第二象限内y随x增大而增大，得$y_1 ＜ y_2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；平方的非负性；函数值大小比较
【点评】
本题考查反比例函数的增减性应用，解题关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先判断两点所在象限，再结合横坐标的大小关系比较函数值，避免直接套用增减性忽略象限限制导致出错。
【难度系数】
0.6

11. 如图,已知$P,Q$分别是反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$与$y=\frac{k_2}{x}$图象上的点,且$PQ// x$轴,点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},2)$,分别过点$P,Q$作$PM⊥ x$轴于点$M,QN⊥ x$轴于点$N$.若四边形$PMNQ$的面积为$2$,则$k_2$的值为$\quad (\quad)$


A.$5$
B.$-5$
C.$1$
D.$-1$

11. D

【分析】
解题时首先结合已知条件分析：①PQ平行于x轴，因此Q点的纵坐标与P点纵坐标相等，均为2；②PM、QN都垂直于x轴，因此四边形PMNQ是矩形，其面积等于水平边长乘以竖直边长；③最后结合反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入Q点坐标即可求出k₂的值，也可利用反比例函数k的几何意义通过面积差快速求解。
【解析】
解：
∵$PQ// x$轴，点P的坐标为$(-\frac{3}{2},2)$，
∴点Q的纵坐标为2。
∵$PM⊥x$轴，$QN⊥x$轴，
∴四边形PMNQ是矩形，竖直边长为2，水平边长为P、Q两点横坐标的差。
设点Q的横坐标为$x$，根据矩形面积公式可得：
$[x - (-\frac{3}{2})] × 2 = 2$
解得$x + \frac{3}{2}=1$，即$x=-\frac{1}{2}$
∴Q点坐标为$(-\frac{1}{2},2)$
∵点Q在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，
∴$k_2 = x · y = -\frac{1}{2} × 2 = -1$
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，解题关键是利用平行线的特点得到Q点的纵坐标，结合矩形面积公式求出Q点坐标，要注意反比例函数所在象限对k值符号的影响，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过矩形ABCD的顶点A和C,点E,F分别是矩形ABCD的边AD,BC与y轴的交点,$AD// x$轴,若$DE=3AE$,点D的坐标为$(3,3)$.
(1)求该反比例函数的解析式.
(2)若P是该反比例函数图象上的点,连接PE,PF得到$△ PEF$,满足$S_{△ PEF}=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}$,请求出点P的坐标.

12. (1)
∵ $AD// x$轴,点$D$的坐标为$(3,3)$,$E$是边$AD$与$y$轴的交点,
∴ $E(0,3)$.
∴ $DE=3$.
∵ $DE=3AE$,
∴ $AE=1$.
∴ $A(-1,3)$.
将$A(-1,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$中,得 $k=-1× 3=-3$.
∴ 反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{3}{x}$.
(2)由(1),得$A(-1,3)$,$D(3,3)$,$E(0,3)$.
∴ $AD=3-(-1)=4$.
∵ 四边形$ABCD$是矩形,
∴ $AD// BC$,$∠ ADC=90°$,即$AD⊥ CD$.
∵ $AD// x$轴,
∴ $BC// x$轴,$CD⊥ x$轴.
∵ 当$x=3$时,$y=-\dfrac{3}{3}=-1$,
∴ $C(3,-1)$.
∴ $CD=3-(-1)=4$.
∴ $S_{矩形ABCD}=AD· CD=4× 4=16$.
∴ $S_{△ PEF}=\dfrac{1}{4}S_{矩形ABCD}=4$.
∵ $F$是边$BC$与$y$轴的交点,
∴ $F(0,-1)$.
∴ $EF=3-(-1)=4$.
设点$P$的坐标为$(m,-\dfrac{3}{m})$.
∵ $S_{△ PEF}=\dfrac{1}{2}EF· |m|$,即$4=\dfrac{1}{2}× 4|m|$,
∴ $|m|=2$.
解得 $m=\pm 2$.
∴ 点$P$的坐标为$(2,-\dfrac{3}{2})$或$(-2,\dfrac{3}{2})$.

【分析】
（1）求解反比例函数解析式的核心是求出函数图象上一个点的坐标：首先根据AD平行x轴、D点坐标以及E是AD与y轴的交点，先确定E点坐标，再结合DE=3AE的数量关系求出A点坐标，最后将A点坐标代入反比例函数表达式即可求出k值，得到函数解析式。
（2）求解P点坐标需先明确△PEF的面积：首先根据A、D坐标求出矩形的边长AD，再结合矩形性质和反比例函数解析式求出C点坐标，得到另一边长CD，计算矩形面积后即可得到△PEF的面积；接着求出F点坐标得到EF的长度，设P点横坐标为m，利用“三角形的高等于点到y轴的距离即横坐标的绝对值”，结合面积公式列方程求解m，最后代入反比例函数解析式得到P点坐标。
【解析】
(1)
∵ $AD// x$轴，点$D$的坐标为$(3,3)$，$E$是边$AD$与$y$轴的交点，
∴ $E(0,3)$，$DE=3$。
∵ $DE=3AE$，
∴ $AE=1$，即A点横坐标为$-1$，纵坐标与D点相同为$3$，
∴ $A(-1,3)$。
将$A(-1,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$中，得 $k=-1× 3=-3$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{3}{x}$。
(2) 由(1)得$A(-1,3)$，$D(3,3)$，$E(0,3)$，
∴ $AD=3-(-1)=4$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AD// BC$，$∠ ADC=90°$，即$AD⊥ CD$，
∵ $AD// x$轴，
∴ $BC// x$轴，$CD⊥ x$轴，即C点横坐标与D点相同为$3$。
将$x=3$代入$y=-\dfrac{3}{x}$，得$y=-\dfrac{3}{3}=-1$，
∴ $C(3,-1)$，
∴ $CD=3-(-1)=4$，
∴ $S_{矩形ABCD}=AD· CD=4× 4=16$，
∴ $S_{△ PEF}=\dfrac{1}{4}S_{矩形ABCD}=4$。
∵ $F$是边$BC$与$y$轴的交点，BC平行x轴，C点纵坐标为$-1$，
∴ $F(0,-1)$，
∴ $EF=3-(-1)=4$。
设点$P$的坐标为$(m,-\dfrac{3}{m})$，点P到EF（即y轴）的距离为$|m|$，
∵ $S_{△ PEF}=\dfrac{1}{2}EF· |m|$，代入得 $4=\dfrac{1}{2}× 4×|m|$，
∴ $|m|=2$，解得 $m=2$或$m=-2$。
当$m=2$时，$y=-\dfrac{3}{2}$；当$m=-2$时，$y=\dfrac{3}{2}$，
∴ 点P的坐标为$(2,-\dfrac{3}{2})$或$(-2,\dfrac{3}{2})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{x}$
(2) $(2,-\dfrac{3}{2})$或$(-2,\dfrac{3}{2})$
【知识点】
1. 反比例函数解析式确定
2. 反比例函数点的坐标特征
3. 几何图形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与矩形结合的基础综合题，既考察了平面直角坐标系内点的坐标推导，也考察了面积公式的灵活应用，解题的关键是先确定反比例函数解析式，再结合面积关系建立方程求解，掌握反比例函数的性质是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.6