例 (1)点$P(m,n)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，则$mn=$。
(2)反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象在第一、三象限，则点$(k,-3)$在第象限。
(3)如图，$△ ABC$的三个顶点分别为$A(1,2)$，$B(4,2)$，$C(4,4)$。若反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限内的图象与$△ ABC$有交点，则$k$的取值范围是。
分析:(1)将点$P(m,n)$代入函数解析式求出$mn=6$。
(2)根据图象在第一、三象限，得$k-1＞0$，解得$k＞1$，所以点$(k,-3)$在第四象限。
(3)图象在移动过程中从点$A$到点$C$，把两点坐标代入函数解析式得到$k$的取值范围是$2≤ k≤16$。
答案:(1)6
(2)四
(3)$2≤ k≤16$

(1)$\boldsymbol{6}$；(2)$\boldsymbol{四}$；(3)$\boldsymbol{2≤ k≤16}$

【分析】
(1) 解题思路：根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点P的坐标代入解析式变形即可求出mn的值。
(2) 解题思路：先根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式得到k的取值范围，再根据点的横纵坐标符号判断点所在象限。
(3) 解题思路：首先明确反比例函数中k=xy，即k等于图象上点的横、纵坐标的乘积；要使反比例函数图象与△ABC有交点，需找到△ABC内xy的最小值和最大值，分别对应k的最小、最大值，即可得到k的取值范围。
【解析】
(1)
∵点$P(m,n)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，
∴将$x=m$，$y=n$代入解析式得：$n=\frac{6}{m}$，
等式两边同乘$m$，得$mn=6$。
(2)
∵反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象在第一、三象限，
∴比例系数$k-1＞0$，解得$k＞1$，
∴点$(k,-3)$的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征，故该点在第四象限。
(3) 对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可得$k=xy$，即k为图象上任意一点的横、纵坐标的乘积。
已知$△ABC$的顶点为$A(1,2)$，$B(4,2)$，$C(4,4)$：
① 求k的最小值：当反比例函数经过点$A$时，k取最小值，代入得$k=1×2=2$；
② 求k的最大值：在$△ABC$的区域内，横、纵坐标乘积的最大值出现在点$C$处，代入得$k=4×4=16$。
因此要使反比例函数图象与$△ABC$有交点，k的取值范围是$2≤k≤16$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{6}$；(2)$\boldsymbol{四}$；(3)$\boldsymbol{2≤ k≤16}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数点的坐标特征；数形结合求参数范围
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，前两问侧重对基础性质的考查，第三问需要结合几何图形的范围分析参数的最值，能有效锻炼数形结合的思维能力，是反比例函数部分的经典题型。
【难度系数】
0.75

如图,已知直线$y=2x-4$与x轴交于点A,与y轴交于点B,与双曲线$y=\frac{k}{x}$在第一象限的分支交于点C,过点C作x轴的平行线,交y轴于点D,$OB=2OD$.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求k的值.

(1)$A(2,0),B(0,-4)$
(2)$k=6$

【分析】
(1) 求直线与坐标轴的交点时，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入直线解析式即可求出点A、B的坐标；
(2) 先根据点B的坐标得到OB的长度，结合OB=2OD求出OD的长度，由于CD平行于x轴，可知点C的纵坐标等于OD的长度，将该纵坐标代入直线解析式求出点C的横坐标，再把点C坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
(1) 求点A坐标：直线$y=2x-4$与x轴交于点A，x轴上的点满足$y=0$，代入得：
$0=2x-4$，解得$x=2$，故$A(2,0)$。
求点B坐标：直线$y=2x-4$与y轴交于点B，y轴上的点满足$x=0$，代入得：
$y=2×0-4=-4$，故$B(0,-4)$。
(2) 由$B(0,-4)$可知$OB=4$，根据$OB=2OD$，可得$OD=\frac{OB}{2}=2$。
因为CD平行于x轴，且D在y轴上，点C在第一象限，所以点C的纵坐标为2。
将$y=2$代入直线解析式$y=2x-4$得：
$2=2x-4$，解得$x=3$，即点C的坐标为$(3,2)$。
将$C(3,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$得：
$2=\frac{k}{3}$，解得$k=6$。
【答案】
(1)$A(2,0),B(0,-4)$
(2)$k=6$
【知识点】
一次函数交点求法，反比例函数解析式求解，平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题的核心是结合几何线段关系确定交点坐标，考察学生对函数基本性质的掌握和简单的数形结合应用能力。
【难度系数】
0.7

1. 如图，△OAB是等边三角形，点A的坐标是
(-2,0)，若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象的一支经过点B，则k的值是（）

A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$-2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

1. A

【分析】
解题思路分为三步：第一步，先根据点A的坐标求出等边三角形OAB的边长；第二步，通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质和解直角三角形的知识求出点B的坐标，注意点B在第二象限，横、纵坐标的符号；第三步，将点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
过点B作BC⊥x轴于点C。
∵ 点A的坐标为(-2,0)，
∴ OA=2。
∵ △OAB是等边三角形，
∴ OB=OA=2，∠AOB=60°。
在Rt△OBC中：
$OC = OB·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$，
$BC = OB·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
∵ 点B在第二象限，
∴ 点B的坐标为(-1,$\sqrt{3}$)。
将B(-1,$\sqrt{3}$)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$\sqrt{3}=\frac{k}{-1}$，解得$k=-\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题，解题的核心是准确求出反比例函数图象上点B的坐标，需要学生熟练掌握等边三角形的性质以及待定系数法求函数系数的方法，是比较典型的基础综合考题。
【难度系数】
0.7