9. (★★)如图,已知△ABC,按下列要求作图:
(1)画出△ABC的角平分线BD,并指出相等的角;
(2)画出边AC上的中线BE,并指出相等的线段;
(3)画出边BC上的高AF,并指出图中所有的直角三角形.

解：
(1) 用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点D，线段BD即为所求的△ABC的角平分线。
相等的角为：$∠ ABD = ∠ CBD$。
(2) 取边AC的中点E，连接BE，线段BE即为所求的AC边上的中线。
相等的线段为：$AE = CE$。
(3) 延长CB，过点A作$AF ⊥ CB$，交CB的延长线于点F，线段AF即为所求的BC边上的高。
图中所有的直角三角形为：$△ AFB$，$△ AFC$。

10. (★★)如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的中线,$△ ABD$的周长比$△ ADC$的周长多2,且AB与AC的长的和为10.
(1)求AB,AC的长;
(2)求边BC的长的取值范围.

解：
(1) ∵ AD是边BC上的中线，
∴ BD = CD。
根据题意，得
$C_{△ ABD} - C_{△ ADC} = (AB + AD + BD) - (AC + AD + CD) = AB - AC = 2$，
又∵ $AB + AC = 10$，
联立得方程组 $\begin{cases} AB - AC = 2 \\ AB + AC = 10 \end{cases}$，
解得：$AB=6$，$AC=4$。
(2) 在$△ ABC$中，由三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，
得 $AB - AC ＜ BC ＜ AB + AC$，
将$AB=6$，$AC=4$代入，得
$2 ＜ BC ＜ 10$。
答：(1) AB的长为6，AC的长为4；(2) 边BC的长的取值范围是大于2且小于10。

11. (★)如图，AD,AE,AF分别是$△ ABC$的中线、角平分线、高，下列选项错误的是【 】

A.$BC=2CD$
B.$∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$
C.$∠ AFB=90°$
D.$AE=CE$

D

根据三角形中线的定义，AD是△ABC的中线，则D为BC中点，可得BC=2CD，A选项正确；根据三角形角平分线的定义，AE是△ABC的角平分线，则AE平分∠BAC，可得∠BAE=1/2∠BAC，B选项正确；根据三角形高的定义，AF是△ABC的高，则AF⊥BC，可得∠AFB=90°，C选项正确；AE是角平分线，没有条件可推出AE=CE，D选项错误，本题要求选错误的选项。

12. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ 1=∠ 2$,$G$为$AD$的中点,连接$BG$并延长$BG$交$AC$于点$E$,$F$为$AB$上的一点,$CF ⊥ AD$于点$H$.下列判断错误的是
【 】

A.$AG$是$△ ABE$的角平分线
B.$CH$为$△ ACD$的边$AD$上的高
C.$BE$是$△ ABD$的边$AD$上的中线
D.$AH$为$△ AFC$的高

C

根据三角形的角平分线、中线、高的定义逐一判断：
1. 选项A：由∠1=∠2，可知AG平分∠BAE，且AG在△ABE内部，符合三角形角平分线的定义，AG是△ABE的角平分线，该判断正确。
2. 选项B：CH⊥AD，垂足H在边AD上，符合三角形高的定义，CH为△ACD的边AD上的高，该判断正确。
3. 选项C：G为AD中点，线段BG才是△ABD的边AD上的中线，BE的端点E不在AD上，不符合三角形中线的定义，该判断错误。
4. 选项D：AH⊥CF，垂足H在边FC上，符合三角形高的定义，AH为△AFC的高，该判断正确。
综上，错误的是选项C。

13. (★★)如图，G为$△ ABC$三边中线AD，BE，CF的交点，$S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$，则阴影部分的面积为 【 】


A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$5\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\ \mathrm{cm}^2$

A

根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。
1. 因为AD、BE、CF是△ABC的三条中线，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，可得：
$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=S_{△ ABE}=S_{△ CBE}=S_{△ ACF}=S_{△ BCF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=6\ \mathrm{cm}^2$。
2. G是△ABC的重心，重心分中线的比为2:1，即$AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1$，因此：
$S_{△ CGE}=\frac{1}{3}S_{△ BCE}=2\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ BGF}=\frac{1}{3}S_{△ BCF}=2\ \mathrm{cm}^2$。
3. 阴影部分面积为$S_{△ BGF}+S_{△ CGE}=2+2=4\ \mathrm{cm}^2$。

14.(★★)如图,在$△ ABC$中$(AC＞AB)$, $AC=2BC$,边BC上的中线AD把$△ ABC$的周长分成60 cm和40 cm两部分,求边AC和AB的长.(提示:设$CD=x$ cm)

解：
设 $ CD = x \, \mathrm{cm} $。
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ $ BD = CD = x \, \mathrm{cm} $，$ BC = 2x \, \mathrm{cm} $。
又∵ $ AC = 2BC $，
∴ $ AC = 4x \, \mathrm{cm} $。
分两种情况讨论：
① 若 $ AC + CD = 60 \, \mathrm{cm} $，
则 $ 4x + x = 60 $，
解得 $ x = 12 $。
∴ $ AC = 4 × 12 = 48 \, \mathrm{cm} $，
此时 $ AB + BD = 40 \, \mathrm{cm} $，
$ AB = 40 - 12 = 28 \, \mathrm{cm} $。
∵ $ AB + BC = 28 + 24 = 52 ＞ 48 $，满足三角形三边关系，且 $ AC ＞ AB $，符合条件。
② 若 $ AC + CD = 40 \, \mathrm{cm} $，
则 $ 4x + x = 40 $，
解得 $ x = 8 $。
∴ $ AC = 4 × 8 = 32 \, \mathrm{cm} $，
此时 $ AB + BD = 60 \, \mathrm{cm} $，
$ AB = 60 - 8 = 52 \, \mathrm{cm} $。
∵ $ AC + BC = 32 + 16 = 48 ＜ 52 $，不满足三角形三边关系，且 $ AC ＜ AB $，不符合题意，舍去。
答：AC 的长为 48 cm，AB 的长为 28 cm。