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1. 在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ C=45°$，则$∠ A$的度数为 （
A.$100°$
B.$105°$
C.$110°$
D.$115°$
B
）A.$100°$
B.$105°$
C.$110°$
D.$115°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先明确题目需求是求三角形的未知内角，首先回忆三角形内角和的核心结论：任意三角形的三个内角之和为180°。已知两个内角的度数，只需用内角和减去两个已知角的度数，即可求出第三个角的度数，计算时注意角度减法运算准确即可。
【解析】
解：
∵ 任意三角形的内角和为180°，即在△ABC中，满足∠A + ∠B + ∠C = 180°
已知∠B=30°，∠C=45°，将已知角度代入公式可得：
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 45° = 105°
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角相关的基础题型，直接考查定理的简单应用，无需复杂推导，只要牢记三角形内角和为180°的结论就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目需求是求三角形的未知内角，首先回忆三角形内角和的核心结论：任意三角形的三个内角之和为180°。已知两个内角的度数，只需用内角和减去两个已知角的度数，即可求出第三个角的度数，计算时注意角度减法运算准确即可。
【解析】
解：
∵ 任意三角形的内角和为180°，即在△ABC中，满足∠A + ∠B + ∠C = 180°
已知∠B=30°，∠C=45°，将已知角度代入公式可得：
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 45° = 105°
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角相关的基础题型，直接考查定理的简单应用，无需复杂推导，只要牢记三角形内角和为180°的结论就能快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 如图,图中的三角形被木板遮住了一部分,被遮住的两个角不可能是 (
A.一个锐角,一个钝角
B.两个锐角
C.一个锐角,一个直角
D.一个直角,一个钝角
D
)A.一个锐角,一个钝角
B.两个锐角
C.一个锐角,一个直角
D.一个直角,一个钝角
答案
2. D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先观察露出的角的类型，可判断露出的是锐角；第二步回忆三角形内角和定理，三角形三个内角总和为180°，因此被遮住的两个角的和等于180°减去这个锐角，可知两个角的和一定小于180°；第三步逐一判断每个选项中两个角的和是否满足小于180°，不满足的即为不可能的情况。
【解析】
首先观察图形，露出的角是锐角（度数在0°~90°之间）。
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，可得：
被遮住的两个角的度数之和 = 180° - 露出的锐角度数，因此被遮住的两个角的和一定小于180°。
对各选项逐一分析：
A. 一个锐角+一个钝角，和可以小于180°，例如30°+100°=130°＜180°，有可能；
B. 两个锐角的和可以小于180°，例如40°+50°=90°＜180°，有可能；
C. 一个锐角+一个直角，和可以小于180°，例如30°+90°=120°＜180°，有可能；
D. 直角为90°，钝角大于90°，因此一个直角+一个钝角的和大于90°+90°=180°，不符合被遮住两角和小于180°的要求，不可能。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；角的分类
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，解题时先确定剩余两个角的度数和的范围，再结合不同类型角的度数特征判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步先观察露出的角的类型，可判断露出的是锐角；第二步回忆三角形内角和定理，三角形三个内角总和为180°，因此被遮住的两个角的和等于180°减去这个锐角，可知两个角的和一定小于180°；第三步逐一判断每个选项中两个角的和是否满足小于180°，不满足的即为不可能的情况。
【解析】
首先观察图形，露出的角是锐角（度数在0°~90°之间）。
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，可得：
被遮住的两个角的度数之和 = 180° - 露出的锐角度数，因此被遮住的两个角的和一定小于180°。
对各选项逐一分析：
A. 一个锐角+一个钝角，和可以小于180°，例如30°+100°=130°＜180°，有可能；
B. 两个锐角的和可以小于180°，例如40°+50°=90°＜180°，有可能；
C. 一个锐角+一个直角，和可以小于180°，例如30°+90°=120°＜180°，有可能；
D. 直角为90°，钝角大于90°，因此一个直角+一个钝角的和大于90°+90°=180°，不符合被遮住两角和小于180°的要求，不可能。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；角的分类
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，解题时先确定剩余两个角的度数和的范围，再结合不同类型角的度数特征判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 写出下列图中x的值：
(1)如图①，$x=$
(2)如图②，$x=$
(1)如图①，$x=$
45
；(2)如图②，$x=$
75
。答案
3. (1)45 (2)75
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，再观察两个三角形的特征：两个三角形的两个底角都相等，我们可以根据内角和公式列出关于x的方程，解方程即可求出x的值。
(1) 图①是直角三角形，已知直角为90°，两个底角均为x°，代入内角和公式计算即可；
(2) 图②是等腰三角形，已知顶角为30°，两个底角均为x°，代入内角和公式计算即可。
【解析】
(1) 根据三角形内角和为180°，图①中三角形有一个角为直角90°，因此列方程：
$x + x + 90 = 180$
$2x = 90$
解得$x = 45$
(2) 图②中三角形顶角为30°，根据三角形内角和为180°列方程：
$x + x + 30 = 180$
$2x = 150$
解得$x = 75$
【答案】
(1)45；(2)75
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用三角形内角和为180°的规律，结合等腰三角形两底角相等的特点列式计算，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，再观察两个三角形的特征：两个三角形的两个底角都相等，我们可以根据内角和公式列出关于x的方程，解方程即可求出x的值。
(1) 图①是直角三角形，已知直角为90°，两个底角均为x°，代入内角和公式计算即可；
(2) 图②是等腰三角形，已知顶角为30°，两个底角均为x°，代入内角和公式计算即可。
【解析】
(1) 根据三角形内角和为180°，图①中三角形有一个角为直角90°，因此列方程：
$x + x + 90 = 180$
$2x = 90$
解得$x = 45$
(2) 图②中三角形顶角为30°，根据三角形内角和为180°列方程：
$x + x + 30 = 180$
$2x = 150$
解得$x = 75$
【答案】
(1)45；(2)75
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用三角形内角和为180°的规律，结合等腰三角形两底角相等的特点列式计算，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4. 如图,在$△ ABC$中,$BO,CO$分别平分$∠ ABC$,$∠ ACB$,$∠ A=50°$,则$∠ BOC$的度数为
115°
.答案
4. 115°
解析
【分析】
要求∠BOC的度数，可按以下思路推导：首先在△ABC中，利用三角形内角和为180°，结合已知∠A=50°，先求出∠ABC与∠ACB的度数和；再根据BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，可得出∠OBC与∠OCB的度数和是∠ABC+∠ACB和的一半；最后在△BOC中，再次利用三角形内角和为180°，减去∠OBC与∠OCB的和，即可得到∠BOC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
∵BO平分$∠ ABC$，CO平分$∠ ACB$
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 130° = 65°$
在△BOC中，根据三角形内角和定理得：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 65° = 115°$
【答案】
$115°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础常考题型，解题的关键是通过角平分线的性质，将所求角所在三角形的内角和与原三角形的内角建立关联，两次运用三角形内角和定理即可求解，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要求∠BOC的度数，可按以下思路推导：首先在△ABC中，利用三角形内角和为180°，结合已知∠A=50°，先求出∠ABC与∠ACB的度数和；再根据BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，可得出∠OBC与∠OCB的度数和是∠ABC+∠ACB和的一半；最后在△BOC中，再次利用三角形内角和为180°，减去∠OBC与∠OCB的和，即可得到∠BOC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
∵BO平分$∠ ABC$，CO平分$∠ ACB$
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 130° = 65°$
在△BOC中，根据三角形内角和定理得：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 65° = 115°$
【答案】
$115°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础常考题型，解题的关键是通过角平分线的性质，将所求角所在三角形的内角和与原三角形的内角建立关联，两次运用三角形内角和定理即可求解，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$∠ A = 40°$，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 =$
280°
答案
5. 280°
解析
【分析】
本题考查三角形内角和定理的应用，解题思路如下：首先观察图形可知，∠1、∠2和∠A在同一个小三角形中，∠3、∠4和∠A在△ABC中，我们可以利用三角形内角和为180°的性质，分别求出∠1+∠2的度数和∠3+∠4的度数，再将两个和相加即可得到最终结果。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形的内角和为180°。
1. 在含∠1、∠2的小三角形中：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A = 180°$
已知$∠ A=40°$，代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 40° = 140°$
2. 在$△ ABC$中：
$∠ 3 + ∠ 4 + ∠ A = 180°$
代入$∠ A=40°$得：
$∠ 3 + ∠ 4 = 180° - 40° = 140°$
3. 计算总和：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 140° + 140° = 280°$
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理；角度的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的直接应用，解题的关键是准确识别包含所求角的三角形，结合已知角度计算即可，掌握三角形内角和定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形内角和定理的应用，解题思路如下：首先观察图形可知，∠1、∠2和∠A在同一个小三角形中，∠3、∠4和∠A在△ABC中，我们可以利用三角形内角和为180°的性质，分别求出∠1+∠2的度数和∠3+∠4的度数，再将两个和相加即可得到最终结果。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形的内角和为180°。
1. 在含∠1、∠2的小三角形中：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A = 180°$
已知$∠ A=40°$，代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 40° = 140°$
2. 在$△ ABC$中：
$∠ 3 + ∠ 4 + ∠ A = 180°$
代入$∠ A=40°$得：
$∠ 3 + ∠ 4 = 180° - 40° = 140°$
3. 计算总和：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 140° + 140° = 280°$
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理；角度的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的直接应用，解题的关键是准确识别包含所求角的三角形，结合已知角度计算即可，掌握三角形内角和定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ B = 46°$, $∠ C = 54°$, $AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$, $DE // AB$交$AC$于点$E$, 则$∠ ADE$的度数是
40°
. 答案
6. 40°
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步，依据三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数，先求出△ABC中∠BAC的度数；第二步，根据角平分线的定义，计算出AD平分∠BAC后得到的∠BAD的度数；第三步，利用DE平行AB的条件，结合平行线内错角相等的性质，可得出∠ADE和∠BAD相等，即可求出∠ADE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 46° - 54° = 80°$
∵AD平分$∠ BAC$
∴$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$
∵$DE // AB$
∴$∠ ADE = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ ADE = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查三角形内角和、角平分线性质与平行线性质，解题核心是通过平行线的性质完成所求角和已知角的转化，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题可按三步推导：第一步，依据三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数，先求出△ABC中∠BAC的度数；第二步，根据角平分线的定义，计算出AD平分∠BAC后得到的∠BAD的度数；第三步，利用DE平行AB的条件，结合平行线内错角相等的性质，可得出∠ADE和∠BAD相等，即可求出∠ADE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 46° - 54° = 80°$
∵AD平分$∠ BAC$
∴$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$
∵$DE // AB$
∴$∠ ADE = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ ADE = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查三角形内角和、角平分线性质与平行线性质，解题核心是通过平行线的性质完成所求角和已知角的转化，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 将一副三角尺拼成如图①所示的图形，其示意图如图②所示，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证:CF//AB.
(2)求∠DFC的度数.
(1)求证:CF//AB.
(2)求∠DFC的度数.
答案
7. (1)
∵ CF 平分∠DCE,
∴ ∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠DCE.
∵ ∠DCE=90°,
∴ ∠1=$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∵ ∠3=45°,
∴ ∠1=∠3.
∴ CF//AB.
(2)在△CDF中,∠D=30°,∠1=45°,
∴ ∠DFC=180°−∠D−∠1=180°−30°−45°=105°.
∵ CF 平分∠DCE,
∴ ∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠DCE.
∵ ∠DCE=90°,
∴ ∠1=$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∵ ∠3=45°,
∴ ∠1=∠3.
∴ CF//AB.
(2)在△CDF中,∠D=30°,∠1=45°,
∴ ∠DFC=180°−∠D−∠1=180°−30°−45°=105°.
解析
【分析】
（1）要证明CF//AB，可通过“内错角相等，两直线平行”的判定定理推导。首先利用角平分线的定义求出∠1的度数，再结合三角尺的已知特殊角∠3=45°，判断∠1和∠3相等，即可证明两直线平行。
（2）求∠DFC的度数时，可利用三角形内角和为180°的性质，已知△CDF中∠D=30°，且（1）中已求出∠1=45°，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ CF平分∠DCE,
∴ ∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠DCE.
∵ ∠DCE=90°,
∴ ∠1=$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∵ ∠3=45°,
∴ ∠1=∠3.
∴ CF//AB（内错角相等，两直线平行）.
(2)在△CDF中,∠D=30°,∠1=45°,
根据三角形内角和为180°可得：
∠DFC=180°−∠D−∠1=180°−30°−45°=105°.
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $\boldsymbol{105°}$
【知识点】
平行线的判定，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题结合三角尺的特殊角度设置问题，解题的关键是熟记三角尺各角的度数，灵活运用平行线判定定理和三角形内角和定理进行推导计算。
【难度系数】
0.8
（1）要证明CF//AB，可通过“内错角相等，两直线平行”的判定定理推导。首先利用角平分线的定义求出∠1的度数，再结合三角尺的已知特殊角∠3=45°，判断∠1和∠3相等，即可证明两直线平行。
（2）求∠DFC的度数时，可利用三角形内角和为180°的性质，已知△CDF中∠D=30°，且（1）中已求出∠1=45°，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ CF平分∠DCE,
∴ ∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠DCE.
∵ ∠DCE=90°,
∴ ∠1=$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∵ ∠3=45°,
∴ ∠1=∠3.
∴ CF//AB（内错角相等，两直线平行）.
(2)在△CDF中,∠D=30°,∠1=45°,
根据三角形内角和为180°可得：
∠DFC=180°−∠D−∠1=180°−30°−45°=105°.
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $\boldsymbol{105°}$
【知识点】
平行线的判定，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题结合三角尺的特殊角度设置问题，解题的关键是熟记三角尺各角的度数，灵活运用平行线判定定理和三角形内角和定理进行推导计算。
【难度系数】
0.8
8. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”。如果一个“半角三角形”的“半角”为40°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数是
80°
。答案
8. 80°
解析
【分析】
首先明确题目给出的“半角三角形”定义：半角α是另一个内角β的一半，已知半角α为40°，第一步先求出对应的β的度数；再结合三角形内角和为180°的定理，算出第三个内角的度数；最后比较三个内角的大小，即可得到最大内角的度数。
【解析】
根据“半角三角形”的定义，“半角”α=40°，则另一个内角β=2α=2×40°=80°。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此第三个内角的度数为：
$180° - 40° - 80° = 60°$
该三角形三个内角度数分别为40°、60°、80°，因此最大内角的度数是80°。
【答案】
80°
【知识点】
三角形内角和定理，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题的核心是准确理解题目给出的新定义，再结合三角形内角和定理计算各角的度数即可，主要考查学生的阅读理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.9
首先明确题目给出的“半角三角形”定义：半角α是另一个内角β的一半，已知半角α为40°，第一步先求出对应的β的度数；再结合三角形内角和为180°的定理，算出第三个内角的度数；最后比较三个内角的大小，即可得到最大内角的度数。
【解析】
根据“半角三角形”的定义，“半角”α=40°，则另一个内角β=2α=2×40°=80°。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此第三个内角的度数为：
$180° - 40° - 80° = 60°$
该三角形三个内角度数分别为40°、60°、80°，因此最大内角的度数是80°。
【答案】
80°
【知识点】
三角形内角和定理，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题的核心是准确理解题目给出的新定义，再结合三角形内角和定理计算各角的度数即可，主要考查学生的阅读理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.9
