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9. 如图，BE，CF是$△ ABC$的中线，且$BE=CF$，$AM ⊥ CF$于点$M$，$AN ⊥ BE$于点$N$。求证：$AM=AN$。
答案
9.
∵ BE,CF分别是△ABC的中线,
∴ $S_{△ACF}=S_{△ABE}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$.
∵ AM⊥CF,AN⊥BE,
∴ $\frac{1}{2}CF·AM=\frac{1}{2}BE·AN$.
∵ CF=BE,
∴ AM=AN.
∵ BE,CF分别是△ABC的中线,
∴ $S_{△ACF}=S_{△ABE}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$.
∵ AM⊥CF,AN⊥BE,
∴ $\frac{1}{2}CF·AM=\frac{1}{2}BE·AN$.
∵ CF=BE,
∴ AM=AN.
解析
【分析】
要证明AM=AN，观察可知AM是△ACF中CF边上的高，AN是△ABE中BE边上的高，已知BE=CF，若能证明△ACF与△ABE的面积相等，就可以通过三角形面积公式建立等量关系推出结论。首先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得△ABE和△ACF的面积均为△ABC面积的一半，即二者面积相等，再结合面积公式和BE=CF的已知条件，即可证得AM=AN。
【解析】
证明：
∵ BE、CF是△ABC的中线，
∴ $S_{△ ACF}=S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵ $AM⊥ CF$，$AN⊥ BE$，
∴ 根据三角形面积公式可得：$S_{△ ACF}=\frac{1}{2}CF· AM$，$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE· AN$，
∴ $\frac{1}{2}CF· AM=\frac{1}{2}BE· AN$，
又
∵ $BE=CF$，
∴ 等式两边同时除以$\frac{1}{2}CF$（CF≠0），可得$AM=AN$。
【答案】
$AM=AN$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于利用面积法证明线段相等的典型题，解题的关键是抓住中线平分三角形面积的性质，结合等底条件得到高相等，相比全等证明的方法更加简便直观。
【难度系数】
0.7
要证明AM=AN，观察可知AM是△ACF中CF边上的高，AN是△ABE中BE边上的高，已知BE=CF，若能证明△ACF与△ABE的面积相等，就可以通过三角形面积公式建立等量关系推出结论。首先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得△ABE和△ACF的面积均为△ABC面积的一半，即二者面积相等，再结合面积公式和BE=CF的已知条件，即可证得AM=AN。
【解析】
证明：
∵ BE、CF是△ABC的中线，
∴ $S_{△ ACF}=S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵ $AM⊥ CF$，$AN⊥ BE$，
∴ 根据三角形面积公式可得：$S_{△ ACF}=\frac{1}{2}CF· AM$，$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE· AN$，
∴ $\frac{1}{2}CF· AM=\frac{1}{2}BE· AN$，
又
∵ $BE=CF$，
∴ 等式两边同时除以$\frac{1}{2}CF$（CF≠0），可得$AM=AN$。
【答案】
$AM=AN$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于利用面积法证明线段相等的典型题，解题的关键是抓住中线平分三角形面积的性质，结合等底条件得到高相等，相比全等证明的方法更加简便直观。
【难度系数】
0.7
10.如图,某地有A,B,C三个村庄,B村在C村的正西方向,A村在B村的北偏东$20°$方向,同时A村又在C村的西北方向,那么,在A村看B,C两个村,视角$∠ A$是多大?
答案
10. 由A村在B村的北偏东20°方向可知,∠ABC=∠PBC−∠PBA=90°−20°=70°.
由A村在C村的西北方向可知,∠ACB=∠QCB−∠QCA=90°−45°=45°.
∴ ∠A = 180°−∠ABC−∠ACB = 180°−70°−45°=65°.
∴ 在A村看B,C两个村,视角∠A是65°.
由A村在C村的西北方向可知,∠ACB=∠QCB−∠QCA=90°−45°=45°.
∴ ∠A = 180°−∠ABC−∠ACB = 180°−70°−45°=65°.
∴ 在A村看B,C两个村,视角∠A是65°.
解析
【分析】
要求A村看B、C两村的视角∠A，也就是求△ABC中∠BAC的度数，可借助三角形内角和定理求解，只需先求出△ABC另外两个内角∠ABC和∠ACB的度数即可：首先根据方向标识，正北方向线与正西方向的BC垂直，可得∠PBC、∠QCB均为90°；再结合“A村在B村北偏东20°”可推出∠ABC的度数，结合“A村在C村西北方向（即北偏西45°）”可推出∠ACB的度数，最后用三角形内角和180°减去这两个角的度数，就能得到∠A的度数。
【解析】
∵ PB、QC为正北方向线，BC为正西正东走向，
∴ PB⊥BC，QC⊥BC，即∠PBC=∠QCB=90°，
由A村在B村的北偏东20°方向可知，∠PBA=20°，
∴ ∠ABC=∠PBC−∠PBA=90°−20°=70°，
由A村在C村的西北方向可知，∠QCA=45°，
∴ ∠ACB=∠QCB−∠QCA=90°−45°=45°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180°−∠ABC−∠ACB = 180°−70°−45°=65°
【答案】
65°
【知识点】
方向角的识别，三角形内角和定理，垂直的定义
【点评】
本题是方向角与三角形内角和结合的基础应用题，解题的核心是将实际方位描述转化为几何图形中的角度关系，再代入三角形内角和公式计算即可，能很好地考查学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
要求A村看B、C两村的视角∠A，也就是求△ABC中∠BAC的度数，可借助三角形内角和定理求解，只需先求出△ABC另外两个内角∠ABC和∠ACB的度数即可：首先根据方向标识，正北方向线与正西方向的BC垂直，可得∠PBC、∠QCB均为90°；再结合“A村在B村北偏东20°”可推出∠ABC的度数，结合“A村在C村西北方向（即北偏西45°）”可推出∠ACB的度数，最后用三角形内角和180°减去这两个角的度数，就能得到∠A的度数。
【解析】
∵ PB、QC为正北方向线，BC为正西正东走向，
∴ PB⊥BC，QC⊥BC，即∠PBC=∠QCB=90°，
由A村在B村的北偏东20°方向可知，∠PBA=20°，
∴ ∠ABC=∠PBC−∠PBA=90°−20°=70°，
由A村在C村的西北方向可知，∠QCA=45°，
∴ ∠ACB=∠QCB−∠QCA=90°−45°=45°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180°−∠ABC−∠ACB = 180°−70°−45°=65°
【答案】
65°
【知识点】
方向角的识别，三角形内角和定理，垂直的定义
【点评】
本题是方向角与三角形内角和结合的基础应用题，解题的核心是将实际方位描述转化为几何图形中的角度关系，再代入三角形内角和公式计算即可，能很好地考查学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在△ABC中,∠B=65°,∠C=45°,AD是BC边上的高,AE平分∠BAC交BC于点E,求∠DAE的度数.
答案
11. 在△ABC中,∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−65°−45°=70°.
∵ AE平分∠BAC,
∴ ∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$×70°=35°.
又 AD是BC边上的高,
∴ ∠ADB=90°.
在△ABD中,∠BAD=180°−∠ADB−∠B=180°−90°−65°=25°.
∴ ∠DAE = ∠BAE−∠BAD
= 35°−25°
= 10°.
答:∠DAE的度数为10°.
∵ AE平分∠BAC,
∴ ∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$×70°=35°.
又 AD是BC边上的高,
∴ ∠ADB=90°.
在△ABD中,∠BAD=180°−∠ADB−∠B=180°−90°−65°=25°.
∴ ∠DAE = ∠BAE−∠BAD
= 35°−25°
= 10°.
答:∠DAE的度数为10°.
解析
【分析】
要计算∠DAE的度数，可按如下思路推导：首先根据三角形内角和为180°，先求出△ABC中∠BAC的度数；再利用角平分线的性质，算出∠BAE的度数；接着根据AD是BC边上的高，可得△ABD是直角三角形，结合已知的∠B的度数，求出∠BAD的度数；最后根据角的和差关系，∠DAE等于∠BAE减去∠BAD，代入数值即可算出结果。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−65°−45°=70°。
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
又
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADB=90°。
在△ABD中，∠BAD=180°−∠ADB−∠B=180°−90°−65°=25°。
∴ ∠DAE = ∠BAE−∠BAD
= 35°−25°
= 10°。
【答案】
10°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是梳理清楚各角之间的数量关系，结合相关性质逐步推导计算，只要掌握三角形相关基础概念和定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要计算∠DAE的度数，可按如下思路推导：首先根据三角形内角和为180°，先求出△ABC中∠BAC的度数；再利用角平分线的性质，算出∠BAE的度数；接着根据AD是BC边上的高，可得△ABD是直角三角形，结合已知的∠B的度数，求出∠BAD的度数；最后根据角的和差关系，∠DAE等于∠BAE减去∠BAD，代入数值即可算出结果。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−65°−45°=70°。
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
又
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADB=90°。
在△ABD中，∠BAD=180°−∠ADB−∠B=180°−90°−65°=25°。
∴ ∠DAE = ∠BAE−∠BAD
= 35°−25°
= 10°。
【答案】
10°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是梳理清楚各角之间的数量关系，结合相关性质逐步推导计算，只要掌握三角形相关基础概念和定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
12.如图,三角尺XYZ放置在△ABC上,三角尺的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C.若∠A=30°,求∠ABX+∠ACX的值. 
答案
12.
∵ ∠A=30°,
∴ ∠ABC+∠ACB = 180°−∠A
= 180°−30°
= 150°.
∵ ∠YXZ=90°,
∴ ∠XBC+∠XCB = 180°−∠YXZ = 180°−90°=90°.
∴ ∠ABX + ∠ACX = ∠ABC + ∠ACB − (∠XBC+∠XCB)= 150°−90°=60°.
∵ ∠A=30°,
∴ ∠ABC+∠ACB = 180°−∠A
= 180°−30°
= 150°.
∵ ∠YXZ=90°,
∴ ∠XBC+∠XCB = 180°−∠YXZ = 180°−90°=90°.
∴ ∠ABX + ∠ACX = ∠ABC + ∠ACB − (∠XBC+∠XCB)= 150°−90°=60°.
解析
【分析】
我们可以利用三角形内角和定理逐步推导：第一步，先在△ABC中，结合已知的∠A的度数，根据三角形内角和为180°，求出∠ABC与∠ACB的度数和；第二步，三角尺XYZ是直角三角尺，所以∠YXZ=90°，同理在△XBC中求出∠XBC与∠XCB的度数和；第三步，观察角的组成关系，∠ABX+∠ACX恰好等于∠ABC与∠ACB的和减去∠XBC与∠XCB的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，
∵∠A=30°，三角形内角和为180°，
∴∠ABC+∠ACB = 180°−∠A = 180°−30° = 150°。
∵三角尺XYZ为直角三角尺，
∴∠YXZ=90°，
在△XBC中，∠XBC+∠XCB = 180°−∠YXZ = 180°−90°=90°。
∴∠ABX + ∠ACX = (∠ABC + ∠ACB) − (∠XBC+∠XCB)= 150°−90°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题，解题的关键是理清所求角和已知角之间的数量关系，将未知转化为已知进行计算。
【难度系数】
0.8
我们可以利用三角形内角和定理逐步推导：第一步，先在△ABC中，结合已知的∠A的度数，根据三角形内角和为180°，求出∠ABC与∠ACB的度数和；第二步，三角尺XYZ是直角三角尺，所以∠YXZ=90°，同理在△XBC中求出∠XBC与∠XCB的度数和；第三步，观察角的组成关系，∠ABX+∠ACX恰好等于∠ABC与∠ACB的和减去∠XBC与∠XCB的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，
∵∠A=30°，三角形内角和为180°，
∴∠ABC+∠ACB = 180°−∠A = 180°−30° = 150°。
∵三角尺XYZ为直角三角尺，
∴∠YXZ=90°，
在△XBC中，∠XBC+∠XCB = 180°−∠YXZ = 180°−90°=90°。
∴∠ABX + ∠ACX = (∠ABC + ∠ACB) − (∠XBC+∠XCB)= 150°−90°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题，解题的关键是理清所求角和已知角之间的数量关系，将未知转化为已知进行计算。
【难度系数】
0.8
