1. (★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=130°$,$DA ⊥ AC$,则$∠ ADB$的度数为 【 】

A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$

B

【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合顶角∠BAC的度数，利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理，即可求出底角∠C的度数；再根据DA⊥AC得到∠DAC=90°，最后利用三角形外角的性质（外角等于与它不相邻的两个内角之和），就能直接计算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°
∴ ∠B=∠C = (180° - ∠BAC)÷2 = (180° - 130°)÷2 = 25°
∵ DA⊥AC
∴ ∠DAC = 90°
∵ ∠ADB是△ADC的外角
∴ ∠ADB = ∠C + ∠DAC = 25° + 90° = 115°
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于等腰三角形的基础应用题型，核心考查等腰三角形角度计算的相关知识，解题的关键是先求出等腰三角形的底角度数，再结合垂直和外角的性质求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85

2. (★)(1)等边三角形的三个角都，并且每一个角都等于。
(2)三个角都相等的三角形是。
(3)有一个角是$60°$的是等边三角形。

解：
(1) 相等；$60°$
(2) 等边三角形
(3) 等腰三角形

【分析】
本题考查等边三角形的性质与判定相关基础知识点，解题时可结合三角形内角和、等腰三角形性质推导对应结论：
1. 解决第(1)问：先回忆等边三角形边的特征，结合三角形内角和为180°，即可推导三个角的关系和具体度数；
2. 解决第(2)问：根据“等角对等边”的性质，三个角相等可推出三条边相等，对应等边三角形的定义即可填空；
3. 解决第(3)问：结合等腰三角形两底角相等的特征，分60°角为顶角和底角两种情况讨论，可推出三个角均为60°，即可确定需要填写的三角形类型。
【解析】
(1) 等边三角形三条边长度相等，根据“等边对等角”可知三个角都相等；又因为三角形内角和为$180°$，所以每一个角的度数为$180°÷3=60°$；
(2) 若三角形三个角都相等，根据“等角对等边”可知三角形的三条边都相等，符合等边三角形的定义，因此该三角形是等边三角形；
(3) 已知等腰三角形的两个底角相等，若该等腰三角形有一个角是$60°$：若这个角是顶角，则两个底角的和为$180°-60°=120°$，每个底角为$60°$；若这个角是底角，则另一个底角也为$60°$，顶角为$180°-60°×2=60°$，两种情况都可得到三角形三个角均为$60°$，即该三角形为等边三角形，因此需填等腰三角形。
【答案】
(1) 相等；$60°$
(2) 等边三角形
(3) 等腰三角形
【知识点】
等边三角形的性质；等边三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕等边三角形的性质和判定定理设置，难度较低，熟练记忆相关定理和定义即可准确作答。
【难度系数】
0.9

3. (★) 如图, 直线$l// m$,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若$∠ ABE=21°$,则$∠ ACD$的度数是
【 】

A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$

B

【分析】
解题时先回忆相关性质：等边三角形的三个内角均为60°，两直线平行时同旁内角互补。首先根据等边三角形的性质得到∠ABC、∠ACB的度数，再结合平行线的性质得到∠EBC与∠BCD的和为180°，最后将两个角拆分为已知角和待求角的和，代入数值计算即可得到∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵直线l//m
∴∠EBC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠EBC = ∠ABE + ∠ABC = 21° + 60° = 81°
∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 60° + ∠ACD
将上述两式代入∠EBC + ∠BCD = 180°得：
81° + 60° + ∠ACD = 180°
解得：∠ACD = 180° - 81° - 60° = 39°
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是将平行线形成的同旁内角拆分为含等边三角形内角和待求角的组合，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. (★)在$△ ABC$中，$AB=AC$，添加下列条件不能判定$△ ABC$是等边三角形的是【 】

A.$∠ A=60°$
B.$AC=BC$
C.$∠ B$的外角等于$∠ C$的外角
D.$AB$边上的高也是$AB$边上的中线

C

【分析】
已知△ABC中AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，两底角∠B=∠C。解题时需结合等边三角形的判定定理，逐一分析每个选项是否能推出△ABC满足等边三角形的判定条件，进而选出不能判定的选项。
【解析】
已知△ABC中AB=AC，故△ABC为等腰三角形，且∠B=∠C。
选项A：若∠A=60°，根据“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意。
选项B：若AC=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，根据“三边相等的三角形是等边三角形”，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意。
选项C：因为∠B=∠C，所以180°-∠B=180°-∠C，即∠B的外角本来就等于∠C的外角，这是所有AB=AC的等腰三角形共有的性质，无法推出△ABC是等边三角形，符合题意。
选项D：若AB边上的高也是AB边上的中线，说明这条线段是AB的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得AC=BC，结合AB=AC得AB=AC=BC，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形与等边三角形的性质及判定的区分，解题时要注意题目已经给出等腰三角形的前提，普通等腰三角形也具备两底角相等、对应外角相等的性质，不要将等腰三角形的共性当成等边三角形的特性。
【难度系数】
0.8

5. (★)如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB的长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC的度数为
【 】

A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

C

【分析】
解题时先从已知条件入手：①△ABC是等边三角形，可得三个内角均为60°，且中线、高、角平分线三线合一；②BD是AC边上的中线，结合三线合一可推出BD是∠ABC的角平分线，进而求出∠DBC的度数；③由作图可知DB=DE，即△DBE为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠DEC的度数。
【解析】
1. 已知△ABC是等边三角形，因此$∠ ABC=60°$。
2. 因为BD是等边△ABC边AC上的中线，根据等边三角形“三线合一”的性质，BD平分∠ABC，所以$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
3. 由题意可知，以D为圆心、DB长为半径作弧交BC延长线于E，因此$DB=DE$，即△DBE是等腰三角形。根据等腰三角形两底角相等的性质，可得$∠ DEC=∠ DBC=30°$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三线合一
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查特殊三角形的性质应用，只要熟练掌握等边三角形和等腰三角形的相关性质，就能快速找到解题思路，计算难度低。
【难度系数】
0.8

6. (★)如图,直线$m// n$, $△ ABC$是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若$∠ 1=140°$,则$∠ 2$的度数是
【 】

A.$80°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$140°$

B

【分析】
解题思路如下：首先根据邻补角的性质，由已知∠1的度数求出△AEF中∠AFE的度数；再利用等边三角形每个内角均为60°的性质得到∠A的度数，结合三角形内角和定理求出∠AEF的度数；最后根据平行线的同位角相等的性质，求出∠2的度数即可。
【解析】
解：
∵∠1与∠AFE互为邻补角，
∴$∠ AFE = 180° - ∠ 1 = 180° - 140° = 40°$，
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ A = 60°$，
在$△ AEF$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ AEF = 180° - ∠ A - ∠ AFE = 180° - 60° - 40° = 80°$，
∵点E在AB上，$∠ AEF$与$∠ BEF$互为邻补角，
∴$∠ BEF = 180° - ∠ AEF = 180° - 80° = 100°$，
又
∵直线$m// n$，AB为两条平行线的截线，$∠ 2$与$∠ BEF$是同位角，
∴$∠ 2 = ∠ BEF = 100°$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是准确识别角的位置关系，灵活运用所学的几何性质逐步推导，是对基础知识点掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.85

7. (★★)如图,在等边三角形ABC中, $BE ⊥ AC$,垂足为E,延长BC到点D,使$CD=CE$,$AB=10$ cm.
(1)求BD的长;
(2)求证:$△ BDE$是等腰三角形.

解：
(1) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC = AC = AB = 10 cm，∠ACB = 60°。
∵ BE⊥AC，由等边三角形三线合一可得E为AC中点，
∴ CE = $\frac{1}{2}$AC = 5 cm。
又∵ CD = CE，
∴ CD = 5 cm。
∴ BD = BC + CD = 10 + 5 = 15 cm。
(2) 证明：∵ CD = CE，
∴ ∠D = ∠CED。
∵ ∠ACB是△CDE的外角，
∴ ∠ACB = ∠D + ∠CED = 2∠D。
∵ ∠ACB = 60°，
∴ 2∠D = 60°，解得∠D = 30°。
∵ △ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴ BE平分∠ABC，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°$ = 30°。
∴ ∠EBC = ∠D，
∴ BE = DE，
∴ △BDE是等腰三角形。

【分析】
(1) 求BD的长度时，观察可知BD由BC和CD两段组成，先利用等边三角形三边相等的性质得到BC的长度，再结合等边三角形“三线合一”的性质，由BE⊥AC推出E是AC中点，算出CE的长度，结合CD=CE得到CD的长度，将BC和CD相加即可得到BD的长。
(2) 要证明△BDE是等腰三角形，只需证明该三角形有两个内角相等即可。先利用等边对等角和三角形外角的性质求出∠D的度数，再结合等边三角形三线合一的性质得到BE平分∠ABC，算出∠EBC的度数，若∠EBC=∠D，即可根据等角对等边得到BE=DE，从而证明△BDE是等腰三角形。
【解析】
(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC = AC = AB = 10 cm，∠ACB = ∠ABC = 60°。
∵ BE⊥AC，根据等边三角形三线合一的性质，E为AC的中点，
∴ CE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×10 = 5 cm。
又
∵ CD = CE，
∴ CD = 5 cm，
∴ BD = BC + CD = 10 + 5 = 15 cm。
(2) 证明：
∵ CD = CE，
∴ ∠D = ∠CED。
∵ ∠ACB是△CDE的外角，
∴ ∠ACB = ∠D + ∠CED = 2∠D，
代入∠ACB=60°，得2∠D = 60°，解得∠D = 30°。
∵ △ABC是等边三角形，BE⊥AC，根据三线合一性质，BE平分∠ABC，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，
∴ ∠EBC = ∠D，
∴ BE = DE，
∴ △BDE是等腰三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15\ \mathrm{cm}}$
(2) 已证$△ BDE$为等腰三角形
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考察特殊三角形的性质应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形“三线合一”、等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”等性质，结合图形的边长、角度关系推导即可。
【难度系数】
0.7