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知识点 两条平行线之间的距离
如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上所有各点到另一条直线的距离
两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，称为平行线之间的
两条平行线之间的距离处处相等。
如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上所有各点到另一条直线的距离
相等
。两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，称为平行线之间的
距离
。两条平行线之间的距离处处相等。
答案
第一空答案为相等，第二空答案为距离。
解析
【分析】
本题考查平行线间距离的相关概念与性质，解题思路如下：首先回忆平行线的性质：两条互相平行的直线，其中一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所有垂线段的长度都相等，据此可推出第一空的答案；再结合平行线间距离的定义，就能直接得出第二空的答案。
【解析】
1. 填第一空：根据平行线的性质，若两条直线互相平行，其中一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度都相等，即一条直线上所有各点到另一条直线的距离相等，因此第一空填“相等”。
2. 填第二空：根据基础定义，两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，称为平行线之间的距离，因此第二空填“距离”。
【答案】
第一空：相等；第二空：距离
【知识点】
平行线的性质，平行线间距离的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考察对平行线间距离相关性质和定义的记忆，掌握对应基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查平行线间距离的相关概念与性质，解题思路如下：首先回忆平行线的性质：两条互相平行的直线，其中一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所有垂线段的长度都相等，据此可推出第一空的答案；再结合平行线间距离的定义，就能直接得出第二空的答案。
【解析】
1. 填第一空：根据平行线的性质，若两条直线互相平行，其中一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度都相等，即一条直线上所有各点到另一条直线的距离相等，因此第一空填“相等”。
2. 填第二空：根据基础定义，两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，称为平行线之间的距离，因此第二空填“距离”。
【答案】
第一空：相等；第二空：距离
【知识点】
平行线的性质，平行线间距离的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考察对平行线间距离相关性质和定义的记忆，掌握对应基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例1 如图,已知 $ l_1 // l_2 $,点 $ C_1 $ 在 $ l_1 $ 上,且 $ C_1A ⊥ l_2 $,A为垂足,点 $ C_2,C_3 $ 是 $ l_1 $ 上的任意两点,点B在 $ l_2 $ 上。设$ △ ABC_1 $的面积为$ S_1 $,$ △ ABC_2 $的面积为$ S_2 $,$ △ ABC_3 $的面积为$ S_3 $。小颖认为$ S_1=S_2=S_3 $,请帮小颖说明理由。
[点拨] 本题考查平行线之间的距离,解决本题的关键是明确两条平行线间的距离相等。
[解] $ \because l_1 // l_2 $,
$ \therefore △ ABC_1,△ ABC_2,△ ABC_3 $ 的底边AB上的高相等。
$ \therefore △ ABC_1,△ ABC_2,△ ABC_3 $ 这三个三角形同底等高。
$ \therefore △ ABC_1,△ ABC_2,△ ABC_3 $ 这三个三角形的面积相等,即 $ S_1=S_2=S_3 $。
[点拨] 本题考查平行线之间的距离,解决本题的关键是明确两条平行线间的距离相等。
[解] $ \because l_1 // l_2 $,
$ \therefore △ ABC_1,△ ABC_2,△ ABC_3 $ 的底边AB上的高相等。
$ \therefore △ ABC_1,△ ABC_2,△ ABC_3 $ 这三个三角形同底等高。
$ \therefore △ ABC_1,△ ABC_2,△ ABC_3 $ 这三个三角形的面积相等,即 $ S_1=S_2=S_3 $。
答案
解：
$\because l_1 // l_2$，
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 的底边 $AB$ 上的高相等。
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 这三个三角形同底等高。
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 这三个三角形的面积相等，即 $S_1=S_2=S_3$。
$\because l_1 // l_2$，
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 的底边 $AB$ 上的高相等。
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 这三个三角形同底等高。
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 这三个三角形的面积相等，即 $S_1=S_2=S_3$。
解析
【分析】
要判断三个三角形面积是否相等，先回忆三角形面积公式：三角形面积=底×高÷2。观察发现$△ ABC_1$、$△ ABC_2$、$△ ABC_3$有公共的底边AB，因此只需验证三个三角形底边AB上的高是否相等即可。已知$l_1 // l_2$，根据平行线的性质，两条平行线之间的距离处处相等，而$C_1、C_2、C_3$都在$l_1$上，因此三个点到AB所在直线$l_2$的距离都等于$l_1$和$l_2$之间的距离，即三个三角形同底等高，面积相等。
【解析】
$\because l_1 // l_2$，
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 的底边 $AB$ 上的高相等。
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 这三个三角形同底等高。
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 这三个三角形的面积相等，即 $S_1=S_2=S_3$。
【答案】
$S_1=S_2=S_3$，理由如下：$\because l_1 // l_2$，$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 的底边 $AB$ 上的高相等，三个三角形同底等高，因此面积相等，即$S_1=S_2=S_3$。
【知识点】
平行线间距离相等；三角形面积计算；同底等高三角形面积相等
【点评】
本题属于几何基础应用题，重点考查对平行线性质和三角形面积相关性质的理解，解题关键是抓住三个三角形共底、高等于平行线间距的特点，难度较低，是对基础概念的典型应用。
【难度系数】
0.8
要判断三个三角形面积是否相等，先回忆三角形面积公式：三角形面积=底×高÷2。观察发现$△ ABC_1$、$△ ABC_2$、$△ ABC_3$有公共的底边AB，因此只需验证三个三角形底边AB上的高是否相等即可。已知$l_1 // l_2$，根据平行线的性质，两条平行线之间的距离处处相等，而$C_1、C_2、C_3$都在$l_1$上，因此三个点到AB所在直线$l_2$的距离都等于$l_1$和$l_2$之间的距离，即三个三角形同底等高，面积相等。
【解析】
$\because l_1 // l_2$，
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 的底边 $AB$ 上的高相等。
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 这三个三角形同底等高。
$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 这三个三角形的面积相等，即 $S_1=S_2=S_3$。
【答案】
$S_1=S_2=S_3$，理由如下：$\because l_1 // l_2$，$\therefore △ ABC_1$，$△ ABC_2$，$△ ABC_3$ 的底边 $AB$ 上的高相等，三个三角形同底等高，因此面积相等，即$S_1=S_2=S_3$。
【知识点】
平行线间距离相等；三角形面积计算；同底等高三角形面积相等
【点评】
本题属于几何基础应用题，重点考查对平行线性质和三角形面积相关性质的理解，解题关键是抓住三个三角形共底、高等于平行线间距的特点，难度较低，是对基础概念的典型应用。
【难度系数】
0.8
变式训练1 | 如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若$S_{△ APD}=15\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ BQC}=25\ \mathrm{cm}^2$，则阴影部分的面积为
40
$\mathrm{cm}^2$。答案
解:如图,连接EF，
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴$S_{△ ADF}=S_{△ DEF}$，
即 $S_{△ ADF}-S_{△ DPF}=S_{△ DEF}-S_{△ DPF}$，
即 $S_{△ APD}=S_{△ EPF}=15\ \mathrm{cm}^2$，
同理可得 $S_{△ BQC}=S_{△ EFQ}=25\ \mathrm{cm}^2$，
∴阴影部分的面积为 $S_{△ EPF}+S_{△ EFQ}=15+25=40(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
本题是平行四边形中的面积求解问题，已知两个非阴影三角形的面积，需通过面积等量转化建立已知条件与阴影部分的联系。首先根据平行四边形对边平行、平行线间距离处处相等的性质，考虑作辅助线EF构造同底等高的三角形：△ADF和△DEF同底等高，面积相等，减去二者公共部分△DPF后，可得△APD与△EPF面积相等；同理可证△BQC与△EFQ面积相等，此时阴影部分面积恰好为这两个转化后三角形的面积和，代入数值即可计算结果。
【解析】
解：如图，连接EF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴△ADF与△DEF同底DF，高均为平行线AB与CD之间的距离，二者同底等高，
∴$S_{△ADF}=S_{△DEF}$，
等式两边同时减去公共部分$S_{△DPF}$，可得：
$S_{△ADF}-S_{△DPF}=S_{△DEF}-S_{△DPF}$，即$S_{△APD}=S_{△EPF}=15\ \mathrm{cm}^2$。
同理可得，$S_{△BQC}=S_{△EFQ}=25\ \mathrm{cm}^2$。
∴阴影部分的面积为$S_{△EPF}+S_{△EFQ}=15+25=40(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
40
【知识点】
平行四边形的性质，等积变换，三角形面积计算
【点评】
本题属于平行四边形面积计算的典型题型，解题关键是作出辅助线EF，利用同底等高三角形面积相等的性质完成面积的等量代换，将未知的阴影面积转化为已知面积的和，体现了转化思想在几何问题中的应用，能够较好地考查学生对图形面积关系的分析能力。
【难度系数】
0.6
本题是平行四边形中的面积求解问题，已知两个非阴影三角形的面积，需通过面积等量转化建立已知条件与阴影部分的联系。首先根据平行四边形对边平行、平行线间距离处处相等的性质，考虑作辅助线EF构造同底等高的三角形：△ADF和△DEF同底等高，面积相等，减去二者公共部分△DPF后，可得△APD与△EPF面积相等；同理可证△BQC与△EFQ面积相等，此时阴影部分面积恰好为这两个转化后三角形的面积和，代入数值即可计算结果。
【解析】
解：如图，连接EF
。∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴△ADF与△DEF同底DF，高均为平行线AB与CD之间的距离，二者同底等高，
∴$S_{△ADF}=S_{△DEF}$，
等式两边同时减去公共部分$S_{△DPF}$，可得：
$S_{△ADF}-S_{△DPF}=S_{△DEF}-S_{△DPF}$，即$S_{△APD}=S_{△EPF}=15\ \mathrm{cm}^2$。
同理可得，$S_{△BQC}=S_{△EFQ}=25\ \mathrm{cm}^2$。
∴阴影部分的面积为$S_{△EPF}+S_{△EFQ}=15+25=40(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
40
【知识点】
平行四边形的性质，等积变换，三角形面积计算
【点评】
本题属于平行四边形面积计算的典型题型，解题关键是作出辅助线EF，利用同底等高三角形面积相等的性质完成面积的等量代换，将未知的阴影面积转化为已知面积的和，体现了转化思想在几何问题中的应用，能够较好地考查学生对图形面积关系的分析能力。
【难度系数】
0.6
例2 如图所示，E是$□ ABCD$内任意一点，若平行四边形的面积是$S$，则图中阴影部分的面积是多少？
[点拨] 此题主要考查了平行四边形的面积，平行四边形的面积$=$底$×$高。过$E$作$MN⊥ BC$，表示出$△ EBC$和$△ EAD$的面积为$\frac{1}{2}AD· EN + \frac{1}{2}BC· EM = \frac{1}{2}BC· MN$，可得阴影部分的面积为$\frac{1}{2}S$。
[解] 过$E$作$MN⊥ BC$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore EN⊥ AD$。
$\because S_{△ AED} = \frac{1}{2}AD· EN$，
$S_{△ BCE} = \frac{1}{2}BC· EM$，
$\therefore S_{△ ADE} + S_{△ BCE} = \frac{1}{2}AD· EN + \frac{1}{2}BC· EM = \frac{1}{2}BC· MN$，
$\because$平行四边形的面积是$S$，
$\therefore S_{△ ADE} + S_{△ BCE} = \frac{1}{2}S$，
$\therefore$阴影部分的面积为$\frac{1}{2}S$。
[点拨] 此题主要考查了平行四边形的面积，平行四边形的面积$=$底$×$高。过$E$作$MN⊥ BC$，表示出$△ EBC$和$△ EAD$的面积为$\frac{1}{2}AD· EN + \frac{1}{2}BC· EM = \frac{1}{2}BC· MN$，可得阴影部分的面积为$\frac{1}{2}S$。
[解] 过$E$作$MN⊥ BC$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore EN⊥ AD$。
$\because S_{△ AED} = \frac{1}{2}AD· EN$，
$S_{△ BCE} = \frac{1}{2}BC· EM$，
$\therefore S_{△ ADE} + S_{△ BCE} = \frac{1}{2}AD· EN + \frac{1}{2}BC· EM = \frac{1}{2}BC· MN$，
$\because$平行四边形的面积是$S$，
$\therefore S_{△ ADE} + S_{△ BCE} = \frac{1}{2}S$，
$\therefore$阴影部分的面积为$\frac{1}{2}S$。
答案
解：过E作MN⊥BC，垂足为M，交AD于点N。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC，
∴ EN⊥AD。
∵ $S_{△ AED}=\frac{1}{2}AD· EN$，
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BC· EM$，
∴ $S_{△ ADE}+S_{△ BCE}=\frac{1}{2}AD· EN + \frac{1}{2}BC· EM=\frac{1}{2}BC·(EN+EM)=\frac{1}{2}BC· MN$。
∵ 平行四边形ABCD的面积是S，且$S=BC· MN$，
∴ $S_{△ ADE}+S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S$，
∴ 阴影部分的面积为$\frac{1}{2}S$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC，
∴ EN⊥AD。
∵ $S_{△ AED}=\frac{1}{2}AD· EN$，
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BC· EM$，
∴ $S_{△ ADE}+S_{△ BCE}=\frac{1}{2}AD· EN + \frac{1}{2}BC· EM=\frac{1}{2}BC·(EN+EM)=\frac{1}{2}BC· MN$。
∵ 平行四边形ABCD的面积是S，且$S=BC· MN$，
∴ $S_{△ ADE}+S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S$，
∴ 阴影部分的面积为$\frac{1}{2}S$。
解析
【分析】
要解决本题，需将阴影部分面积与已知的平行四边形面积建立关联。首先观察到阴影部分是两个分别以平行四边形对边为底的三角形，我们可以利用平行四边形对边平行且相等的性质，过点E作平行四边形上下边的垂线，得到两个三角形各自的高，再结合三角形面积公式分别表示出两个阴影三角形的面积，求和后可发现两个高的和恰好是平行四边形的高，进而推导出阴影部分面积与平行四边形面积的关系。
【解析】
过E作MN⊥BC，垂足为M，交AD于点N。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC，
∴ EN⊥AD。
∵ $S_{△ AED}=\frac{1}{2}AD· EN$，
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BC· EM$，
∴ $S_{△ ADE}+S_{△ BCE}=\frac{1}{2}AD· EN + \frac{1}{2}BC· EM=\frac{1}{2}BC·(EN+EM)=\frac{1}{2}BC· MN$。
∵ 平行四边形ABCD的面积是S，且$S=BC· MN$，
∴ $S_{△ ADE}+S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S$，
∴ 阴影部分的面积为$\frac{1}{2}S$。
【答案】
$\frac{1}{2}S$
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，转化法求面积
【点评】
本题是平行四边形面积相关的经典基础题，解题核心是通过作辅助线构建三角形的高，将分散的高转化为平行四边形的高，体现了转化的数学思想，掌握该类题型的解题思路可快速求解平行四边形内任一点与两组对边连线形成的三角形面积和问题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需将阴影部分面积与已知的平行四边形面积建立关联。首先观察到阴影部分是两个分别以平行四边形对边为底的三角形，我们可以利用平行四边形对边平行且相等的性质，过点E作平行四边形上下边的垂线，得到两个三角形各自的高，再结合三角形面积公式分别表示出两个阴影三角形的面积，求和后可发现两个高的和恰好是平行四边形的高，进而推导出阴影部分面积与平行四边形面积的关系。
【解析】
过E作MN⊥BC，垂足为M，交AD于点N。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC，
∴ EN⊥AD。
∵ $S_{△ AED}=\frac{1}{2}AD· EN$，
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BC· EM$，
∴ $S_{△ ADE}+S_{△ BCE}=\frac{1}{2}AD· EN + \frac{1}{2}BC· EM=\frac{1}{2}BC·(EN+EM)=\frac{1}{2}BC· MN$。
∵ 平行四边形ABCD的面积是S，且$S=BC· MN$，
∴ $S_{△ ADE}+S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S$，
∴ 阴影部分的面积为$\frac{1}{2}S$。
【答案】
$\frac{1}{2}S$
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，转化法求面积
【点评】
本题是平行四边形面积相关的经典基础题，解题核心是通过作辅助线构建三角形的高，将分散的高转化为平行四边形的高，体现了转化的数学思想，掌握该类题型的解题思路可快速求解平行四边形内任一点与两组对边连线形成的三角形面积和问题。
【难度系数】
0.7
