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9.如图,四边形ABCD是平行四边形,E是BC边上一点,只用一把无刻度的直尺在AD边上作点F,使得$DF=BE$。
(1)作出满足题意的点F,简要说明你的作图过程;
(2)依据你的作图,证明:$DF=BE$。
(1)作出满足题意的点F,简要说明你的作图过程;
(2)依据你的作图,证明:$DF=BE$。
答案
9.解:(1)如图,连接AC,BD于O,连接EO并延长交AD于F,则点F即为所求。
(2)连接BF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,即DF//BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO，
∴△DOF≌△BOE，
∴EB=FD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF=BE。
解析
【分析】
本题需要利用平行四边形的性质完成作图和证明。首先，平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是其对称中心，过对称中心的直线与一组对边相交得到的线段被对称中心平分，因此我们可以先连接对角线找到对称中心O，再连接EO延长交AD得到点F；证明时可借助平行四边形对边平行、对角线互相平分的性质，证明三角形全等，进而推导出DF=BE。
【解析】
(1) 作图步骤：
第一步：连接平行四边形的对角线AC和BD，两条对角线交于点O；
第二步：连接EO并延长，交AD边于点F，点F即为符合要求的点。
(2) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OB=OD，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
在△DOF和△BOE中：
$\{\begin{array}{l}∠ DFO=∠ BEO\\ ∠ FDO=∠ EBO\\ OD=OB\end{array} $
∴△DOF≌△BOE（AAS），
即可得到DF=BE。也可进一步证明：由DF//BE且DF=BE，可知四边形BEDF是平行四边形，也能推出DF=BE。
【答案】
(1)如图,连接AC,BD于O,连接EO并延长交AD于F,则点F即为所求。
(2)连接BF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,即DF//BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO，
∴△DOF≌△BOE，
∴EB=FD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF=BE。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；无刻度直尺作图
【点评】
本题是平行四边形的基础应用题，既考查了学生的作图实践能力，又考查了逻辑推理能力，解题的关键是熟练掌握平行四边形的中心对称性和基本性质。
【难度系数】
0.7
本题需要利用平行四边形的性质完成作图和证明。首先，平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是其对称中心，过对称中心的直线与一组对边相交得到的线段被对称中心平分，因此我们可以先连接对角线找到对称中心O，再连接EO延长交AD得到点F；证明时可借助平行四边形对边平行、对角线互相平分的性质，证明三角形全等，进而推导出DF=BE。
【解析】
(1) 作图步骤：
第一步：连接平行四边形的对角线AC和BD，两条对角线交于点O；
第二步：连接EO并延长，交AD边于点F，点F即为符合要求的点。
(2) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OB=OD，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
在△DOF和△BOE中：
$\{\begin{array}{l}∠ DFO=∠ BEO\\ ∠ FDO=∠ EBO\\ OD=OB\end{array} $
∴△DOF≌△BOE（AAS），
即可得到DF=BE。也可进一步证明：由DF//BE且DF=BE，可知四边形BEDF是平行四边形，也能推出DF=BE。
【答案】
(1)如图,连接AC,BD于O,连接EO并延长交AD于F,则点F即为所求。
(2)连接BF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,即DF//BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO，
∴△DOF≌△BOE，
∴EB=FD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF=BE。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；无刻度直尺作图
【点评】
本题是平行四边形的基础应用题，既考查了学生的作图实践能力，又考查了逻辑推理能力，解题的关键是熟练掌握平行四边形的中心对称性和基本性质。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$□ ABCD$中，AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝4$\sqrt{3}$。过点A作AE⊥BC交BC于点E，记BE长为x，BC长为y。当x，y的值发生变化时，代数式xy的值怎么变？
答案
10.解:如图,作DF⊥BC交BC的延长线于F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC且AB=DC。
由AB//DC可得,∠ABE=∠DCF(同位角相等)。
又
∵AE⊥BC,DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE和△DCF中，
$\begin{cases}∠ AEB=∠ DFC,\\∠ ABE=∠ DCF,\\AB=DC,\end{cases}$
∴△ABE≌△DCF(AAS)。
∴BE=CF=x。
∵BC=y，
∴EC=BC-BE=y-x,BF=BC+CF=y+x。
∵$AE^2=AC^2-CE^2,DF^2=BD^2-BF^2$，
AC=4,BD=$4\sqrt{3}$，
∴$4^2-(y-x)^2=(4\sqrt{3})^2-(y+x)^2$，
解得xy=8，
∴当x,y的值发生变化时,代数式xy的值是8。
解析
【分析】
要判断代数式xy的变化情况，需建立x与y的等量关系。首先结合平行四边形的性质，我们可以过D作DF垂直BC的延长线于F，构造全等三角形：利用平行四边形对边平行且相等的性质，可证△ABE≌△DCF，得到BE=CF=x。再分别在Rt△AEC和Rt△DBF中用勾股定理表示AE²和DF²，由于AE、DF都是平行四边形BC边上的高，二者长度相等，因此AE²=DF²，代入已知对角线长度列等式，化简后即可求出xy的取值。
【解析】
1. 作辅助线：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F。
2. 证明三角形全等：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF（两直线平行，同位角相等）。
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°。
在△ABE和△DCF中：
$\begin{cases}∠AEB=∠DFC\\∠ABE=∠DCF\\AB=DC\end{cases}$
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴BE=CF=x。
3. 表示线段长度：
已知BC=y，
∴EC=BC-BE=y-x，BF=BC+CF=y+x。
4. 利用勾股定理列等式：
在Rt△AEC中，由勾股定理得：$AE^2=AC^2-EC^2$，
在Rt△DBF中，由勾股定理得：$DF^2=BD^2-BF^2$，
∵AE和DF都是平行四边形BC边上的高，
∴AE=DF，即$AE^2=DF^2$。
代入AC=4，BD=$4\sqrt{3}$，得：
$4^2-(y-x)^2=(4\sqrt{3})^2-(y+x)^2$
5. 化简求解：
展开等式两边：
$16-(y^2-2xy+x^2)=48-(y^2+2xy+x^2)$
去括号得：
$16-y^2+2xy-x^2=48-y^2-2xy-x^2$
消去两边的$-y^2$和$-x^2$，得：
$16+2xy=48-2xy$
移项合并同类项：
$4xy=32$
解得$xy=8$。
因此无论x、y如何变化，xy的值恒为8。
【答案】
如图,作DF⊥BC交BC的延长线于F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC且AB=DC。
由AB//DC可得,∠ABE=∠DCF(同位角相等)。
又
∵AE⊥BC,DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE和△DCF中，
$\begin{cases}∠ AEB=∠ DFC,\\∠ ABE=∠ DCF,\\AB=DC,\end{cases}$
∴△ABE≌△DCF(AAS)。
∴BE=CF=x。
∵BC=y，
∴EC=BC-BE=y-x,BF=BC+CF=y+x。
∵$AE^2=AC^2-CE^2,DF^2=BD^2-BF^2$，
AC=4,BD=$4\sqrt{3}$，
∴$4^2-(y-x)^2=(4\sqrt{3})^2-(y+x)^2$，
解得xy=8，
∴当x,y的值发生变化时,代数式xy的值是8。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，将平行四边形的高作为等量桥梁，结合勾股定理建立关于x、y的方程，化简后消去二次项即可得到定值，有效考查了转化思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
要判断代数式xy的变化情况，需建立x与y的等量关系。首先结合平行四边形的性质，我们可以过D作DF垂直BC的延长线于F，构造全等三角形：利用平行四边形对边平行且相等的性质，可证△ABE≌△DCF，得到BE=CF=x。再分别在Rt△AEC和Rt△DBF中用勾股定理表示AE²和DF²，由于AE、DF都是平行四边形BC边上的高，二者长度相等，因此AE²=DF²，代入已知对角线长度列等式，化简后即可求出xy的取值。
【解析】
1. 作辅助线：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F。
2. 证明三角形全等：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF（两直线平行，同位角相等）。
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°。
在△ABE和△DCF中：
$\begin{cases}∠AEB=∠DFC\\∠ABE=∠DCF\\AB=DC\end{cases}$
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴BE=CF=x。
3. 表示线段长度：
已知BC=y，
∴EC=BC-BE=y-x，BF=BC+CF=y+x。
4. 利用勾股定理列等式：
在Rt△AEC中，由勾股定理得：$AE^2=AC^2-EC^2$，
在Rt△DBF中，由勾股定理得：$DF^2=BD^2-BF^2$，
∵AE和DF都是平行四边形BC边上的高，
∴AE=DF，即$AE^2=DF^2$。
代入AC=4，BD=$4\sqrt{3}$，得：
$4^2-(y-x)^2=(4\sqrt{3})^2-(y+x)^2$
5. 化简求解：
展开等式两边：
$16-(y^2-2xy+x^2)=48-(y^2+2xy+x^2)$
去括号得：
$16-y^2+2xy-x^2=48-y^2-2xy-x^2$
消去两边的$-y^2$和$-x^2$，得：
$16+2xy=48-2xy$
移项合并同类项：
$4xy=32$
解得$xy=8$。
因此无论x、y如何变化，xy的值恒为8。
【答案】
如图,作DF⊥BC交BC的延长线于F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC且AB=DC。
由AB//DC可得,∠ABE=∠DCF(同位角相等)。
又
∵AE⊥BC,DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE和△DCF中，
$\begin{cases}∠ AEB=∠ DFC,\\∠ ABE=∠ DCF,\\AB=DC,\end{cases}$
∴△ABE≌△DCF(AAS)。
∴BE=CF=x。
∵BC=y，
∴EC=BC-BE=y-x,BF=BC+CF=y+x。
∵$AE^2=AC^2-CE^2,DF^2=BD^2-BF^2$，
AC=4,BD=$4\sqrt{3}$，
∴$4^2-(y-x)^2=(4\sqrt{3})^2-(y+x)^2$，
解得xy=8，
∴当x,y的值发生变化时,代数式xy的值是8。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，将平行四边形的高作为等量桥梁，结合勾股定理建立关于x、y的方程，化简后消去二次项即可得到定值，有效考查了转化思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
11.如图，点 P，Q 是$□ ABCD$的边 AB，AD上的点，且$PC=CD$，DP，BQ相交于 R，连接 RC，且 RC 恰好平分$∠ BRD$，若$AB=5$，$BQ=8$，则点 C 到 BQ 的距离为多少？
答案
11.解:过点C作CE⊥BQ于点E,CF⊥PD于点F，
∵RC平分∠BRD,CE⊥BQ,CF⊥PD，
∴CF=CE。
∵四边形ABCD是平行四边形,且点P,Q是平行四边形ABCD的边AB,AD上的点，
∴CD=AB=5,$S_{△ BCQ}=\frac{1}{2}S_{平行四边形ABCD}$，
$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{平行四边形ABCD}$，
∴$S_{△ BCQ}=S_{△ PCD}$，
∴$\frac{1}{2}PD· CF=\frac{1}{2}BQ· CE$，
∴PD=BQ=8。
∵CF⊥PD,PC=CD，
∴$DF=\frac{1}{2}PD=4$，
∴$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=3$，
∴CE=3，
∴点C到BQ的距离为3。
解析
【分析】
要求点C到BQ的距离，即求点C向BQ作的垂线段长度，可按以下思路推导：第一步，结合RC平分∠BRD的条件，联想到角平分线的性质，过点C分别向BQ、PD作垂线段CE、CF，可得两条垂线段长度相等；第二步，利用平行四边形的面积性质：同底且顶点在对边上的三角形面积是平行四边形面积的一半，可证△BCQ和△PCD的面积相等；第三步，结合两个三角形的面积公式，且高CE=CF，可推出底PD=BQ=8；第四步，已知PC=CD，可知△PCD是等腰三角形，CF是PD边上的高，由等腰三角形三线合一可得PD中点，最后用勾股定理算出CF的长度，即为所求CE的长度。
【解析】
过点C作CE⊥BQ于点E，CF⊥PD于点F，
∵RC平分∠BRD，CE⊥BQ，CF⊥PD，
∴CF=CE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，且△BCQ与平行四边形ABCD同底BC、高等于AD到BC的距离，△PCD与平行四边形ABCD同底CD、高等于AB到CD的距离，
∴$S_{△ BCQ}=\frac{1}{2}S_{平行四边形ABCD}$，$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{平行四边形ABCD}$，
∴$S_{△ BCQ}=S_{△ PCD}$。
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}BQ· CE=\frac{1}{2}PD· CF$，
又
∵CF=CE，
∴PD=BQ=8。
∵PC=CD，CF⊥PD，
∴F为PD中点（等腰三角形三线合一），
∴$DF=\frac{1}{2}PD=4$。
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴CE=CF=3，即点C到BQ的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，解题的突破口是通过作辅助线，结合平行四边形中三角形的面积等量关系建立PD和BQ的联系，再结合等腰三角形和勾股定理求出垂线段长度，需要学生熟练掌握常见几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
要求点C到BQ的距离，即求点C向BQ作的垂线段长度，可按以下思路推导：第一步，结合RC平分∠BRD的条件，联想到角平分线的性质，过点C分别向BQ、PD作垂线段CE、CF，可得两条垂线段长度相等；第二步，利用平行四边形的面积性质：同底且顶点在对边上的三角形面积是平行四边形面积的一半，可证△BCQ和△PCD的面积相等；第三步，结合两个三角形的面积公式，且高CE=CF，可推出底PD=BQ=8；第四步，已知PC=CD，可知△PCD是等腰三角形，CF是PD边上的高，由等腰三角形三线合一可得PD中点，最后用勾股定理算出CF的长度，即为所求CE的长度。
【解析】
过点C作CE⊥BQ于点E，CF⊥PD于点F，
∵RC平分∠BRD，CE⊥BQ，CF⊥PD，
∴CF=CE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，且△BCQ与平行四边形ABCD同底BC、高等于AD到BC的距离，△PCD与平行四边形ABCD同底CD、高等于AB到CD的距离，
∴$S_{△ BCQ}=\frac{1}{2}S_{平行四边形ABCD}$，$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{平行四边形ABCD}$，
∴$S_{△ BCQ}=S_{△ PCD}$。
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}BQ· CE=\frac{1}{2}PD· CF$，
又
∵CF=CE，
∴PD=BQ=8。
∵PC=CD，CF⊥PD，
∴F为PD中点（等腰三角形三线合一），
∴$DF=\frac{1}{2}PD=4$。
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴CE=CF=3，即点C到BQ的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，解题的突破口是通过作辅助线，结合平行四边形中三角形的面积等量关系建立PD和BQ的联系，再结合等腰三角形和勾股定理求出垂线段长度，需要学生熟练掌握常见几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
