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|变式训练2| 如图，$l_1 // l_2$，平行四边形、三角形、梯形放置于$l_1$和$l_2$之间，它们的面积分别记为$S_1,S_2$，则下列结论正确的是（
A.$S_1 ＞ S_2 ＞ S_3$
B.$S_1 = S_2 ＞ S_3$
C.$S_1 ＞ S_2 = S_3$
D.$S_1 = S_2 = S_3$
D
）A.$S_1 ＞ S_2 ＞ S_3$
B.$S_1 = S_2 ＞ S_3$
C.$S_1 ＞ S_2 = S_3$
D.$S_1 = S_2 = S_3$
答案
D
解析
【分析】
首先观察到三个图形都在两条平行直线$l_1$和$l_2$之间，根据平行线的性质，两条平行线之间的距离处处相等，因此三个图形的高相等，我们设这个共同的高为$h$。接下来分别回忆平行四边形、三角形、梯形的面积公式，将已知的底、上下底长度代入公式计算三个面积，最后比较大小即可得出结论。
【解析】
解：设两条平行线$l_1$与$l_2$之间的距离为$h$，即三个图形的高均为$h$。
1. 平行四边形面积$S_1$：平行四边形面积=底×高，底长为$5\mathrm{cm}$，因此$S_1=5× h=5h$。
2. 三角形面积$S_2$：三角形面积=底×高÷2，底长为$10\mathrm{cm}$，因此$S_2=10× h÷2=5h$。
3. 梯形面积$S_3$：梯形面积=（上底+下底）×高÷2，上底$3\mathrm{cm}$，下底$7\mathrm{cm}$，因此$S_3=(3+7)× h÷2=5h$。
综上可得$S_1=S_2=S_3$。
【答案】
D
【知识点】
1.平行线间距离的性质
2.平行四边形面积公式
3.三角形与梯形面积公式
【点评】
本题解题核心是抓住夹在两条平行线间的图形高相等这一隐藏条件，再代入对应基础面积公式计算比较即可，侧重对基础性质和公式应用的考察。
【难度系数】
0.8
首先观察到三个图形都在两条平行直线$l_1$和$l_2$之间，根据平行线的性质，两条平行线之间的距离处处相等，因此三个图形的高相等，我们设这个共同的高为$h$。接下来分别回忆平行四边形、三角形、梯形的面积公式，将已知的底、上下底长度代入公式计算三个面积，最后比较大小即可得出结论。
【解析】
解：设两条平行线$l_1$与$l_2$之间的距离为$h$，即三个图形的高均为$h$。
1. 平行四边形面积$S_1$：平行四边形面积=底×高，底长为$5\mathrm{cm}$，因此$S_1=5× h=5h$。
2. 三角形面积$S_2$：三角形面积=底×高÷2，底长为$10\mathrm{cm}$，因此$S_2=10× h÷2=5h$。
3. 梯形面积$S_3$：梯形面积=（上底+下底）×高÷2，上底$3\mathrm{cm}$，下底$7\mathrm{cm}$，因此$S_3=(3+7)× h÷2=5h$。
综上可得$S_1=S_2=S_3$。
【答案】
D
【知识点】
1.平行线间距离的性质
2.平行四边形面积公式
3.三角形与梯形面积公式
【点评】
本题解题核心是抓住夹在两条平行线间的图形高相等这一隐藏条件，再代入对应基础面积公式计算比较即可，侧重对基础性质和公式应用的考察。
【难度系数】
0.8
1.体育课上体育老师测量跳远成绩的依据是
（
A.平行线间的距离相等
B.两点之间，线段最短
C.两点确定一条直线
D.垂线段最短
（
D
）A.平行线间的距离相等
B.两点之间，线段最短
C.两点确定一条直线
D.垂线段最短
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆跳远成绩的测量规则：跳远成绩是运动员落地后离起跳线最近的点到起跳线的垂直距离。接下来对应几何知识点逐一分析选项：明确各选项的适用场景，A是平行线的性质，和点到直线的距离测量无关；B是两点间的距离规律，不适用于点到直线的测量场景；C是确定直线位置的依据，和距离测量无关；D垂线段最短的性质正好对应跳远测量取垂直距离的依据，即可选出正确答案。
【解析】
测量跳远成绩时，需测量运动员落地后离起跳线最近的点（通常为脚后跟位置）到起跳线的垂直距离。
根据几何性质：直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短，我们测量的就是该垂线段的长度作为跳远成绩，因此测量依据是垂线段最短。
对选项逐一分析：
A. 平行线间的距离相等，该性质与跳远测量场景无关，排除；
B. 两点之间，线段最短，描述的是两点间的距离规律，不适用于点到直线的距离测量，排除；
C. 两点确定一条直线，是确定直线位置的依据，与距离测量无关，排除；
D. 垂线段最短，符合跳远成绩测量的原理，当选。
【答案】
D
【知识点】
垂线段的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何基本性质的应用，要求学生能准确区分不同几何公理、性质的适用场景，学会用数学知识解释生活中的常见操作原理。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆跳远成绩的测量规则：跳远成绩是运动员落地后离起跳线最近的点到起跳线的垂直距离。接下来对应几何知识点逐一分析选项：明确各选项的适用场景，A是平行线的性质，和点到直线的距离测量无关；B是两点间的距离规律，不适用于点到直线的测量场景；C是确定直线位置的依据，和距离测量无关；D垂线段最短的性质正好对应跳远测量取垂直距离的依据，即可选出正确答案。
【解析】
测量跳远成绩时，需测量运动员落地后离起跳线最近的点（通常为脚后跟位置）到起跳线的垂直距离。
根据几何性质：直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短，我们测量的就是该垂线段的长度作为跳远成绩，因此测量依据是垂线段最短。
对选项逐一分析：
A. 平行线间的距离相等，该性质与跳远测量场景无关，排除；
B. 两点之间，线段最短，描述的是两点间的距离规律，不适用于点到直线的距离测量，排除；
C. 两点确定一条直线，是确定直线位置的依据，与距离测量无关，排除；
D. 垂线段最短，符合跳远成绩测量的原理，当选。
【答案】
D
【知识点】
垂线段的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何基本性质的应用，要求学生能准确区分不同几何公理、性质的适用场景，学会用数学知识解释生活中的常见操作原理。
【难度系数】
0.8
2.如图,已知直线$m// n$,则下列能表示直线$m,n$之间距离的是 (
A.线段AB的长
B.线段AC的长
C.线段AD的长
D.线段DE的长
B
)A.线段AB的长
B.线段AC的长
C.线段AD的长
D.线段DE的长
答案
2.B
解析
【分析】
解题首先要回忆平行线之间距离的定义，其核心满足两个条件：①线段的两个端点分别在两条平行线上；②线段是两条平行线的公垂线段（即和两条平行线都垂直）。接下来逐一核对每个选项的线段是否符合这两个条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
两条平行线之间的距离指的是两条平行线的公垂线段的长度，也就是从一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线，该点到垂足之间的线段长度。
已知直线$m//n$：
选项A：线段AB不垂直于直线m、n，不是公垂线段，不符合要求；
选项B：线段AC垂直于直线n，由$m//n$可知AC也垂直于m，且端点A在m上、端点C在n上，是两条平行线的公垂线段，其长度可以表示m、n之间的距离；
选项C：线段AD不垂直于直线m、n，不是公垂线段，不符合要求；
选项D：线段DE不垂直于直线m、n，不是公垂线段，不符合要求。
因此符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行线间的距离、垂线的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确理解平行线间距离的定义，牢记只有两条平行线的公垂线段的长度才能表示平行线之间的距离。
【难度系数】
0.9
解题首先要回忆平行线之间距离的定义，其核心满足两个条件：①线段的两个端点分别在两条平行线上；②线段是两条平行线的公垂线段（即和两条平行线都垂直）。接下来逐一核对每个选项的线段是否符合这两个条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
两条平行线之间的距离指的是两条平行线的公垂线段的长度，也就是从一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线，该点到垂足之间的线段长度。
已知直线$m//n$：
选项A：线段AB不垂直于直线m、n，不是公垂线段，不符合要求；
选项B：线段AC垂直于直线n，由$m//n$可知AC也垂直于m，且端点A在m上、端点C在n上，是两条平行线的公垂线段，其长度可以表示m、n之间的距离；
选项C：线段AD不垂直于直线m、n，不是公垂线段，不符合要求；
选项D：线段DE不垂直于直线m、n，不是公垂线段，不符合要求。
因此符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行线间的距离、垂线的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确理解平行线间距离的定义，牢记只有两条平行线的公垂线段的长度才能表示平行线之间的距离。
【难度系数】
0.9
3.如图，已知$l_1 // l_2$，那么下列式子中不正确的是（
A.$S_{△ A_1BC}=S_{△ A_2BC}$
B.$S_{△ BA_1A_2}=S_{△ CA_1A_2}$
C.$S_{△ A_1BO}=S_{△ A_2CO}$
D.$S_{△ A_1OA_2}=S_{△ BOC}$
D
）A.$S_{△ A_1BC}=S_{△ A_2BC}$
B.$S_{△ BA_1A_2}=S_{△ CA_1A_2}$
C.$S_{△ A_1BO}=S_{△ A_2CO}$
D.$S_{△ A_1OA_2}=S_{△ BOC}$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先利用“平行线间的距离处处相等”的性质，结合三角形面积公式“三角形面积=1/2×底×高”，逐一验证选项：
1. 验证A、B选项时，直接判断两个三角形是否同底、高是否为两平行线的距离，即可判断面积是否相等；
2. 验证C选项时，利用A选项的结论，两个面积相等的三角形同时减去公共部分△BOC的面积，剩余部分面积仍相等；
3. 验证D选项时，没有已知条件能推导两个三角形面积相等，即可得出不正确的选项。
【解析】
已知$l_1 // l_2$，因此$l_1$和$l_2$之间的距离处处相等。
选项A：$△ A_1BC$和$△ A_2BC$同底为$BC$，高均为$l_1$与$l_2$之间的距离，因此$S_{△ A_1BC}=S_{△ A_2BC}$，该选项正确，不符合题意；
选项B：$△ BA_1A_2$和$△ CA_1A_2$同底为$A_1A_2$，高均为$l_1$与$l_2$之间的距离，因此$S_{△ BA_1A_2}=S_{△ CA_1A_2}$，该选项正确，不符合题意；
选项C：由$S_{△ A_1BC}=S_{△ A_2BC}$，两个三角形同时减去公共部分$△ BOC$的面积，可得$S_{△ A_1BC}-S_{△ BOC}=S_{△ A_2BC}-S_{△ BOC}$，即$S_{△ A_1BO}=S_{△ A_2CO}$，该选项正确，不符合题意；
选项D：无对应条件可证明$S_{△ A_1OA_2}$与$S_{△ BOC}$相等，该选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线间的距离，三角形面积计算，同底等高三角形面积关系
【点评】
本题是平行线性质与三角形面积结合的基础题，解题核心是抓住同底等高的三角形面积相等的规律，同时要学会利用面积和差关系推导间接相等的三角形面积。
【难度系数】
0.7
解题时先利用“平行线间的距离处处相等”的性质，结合三角形面积公式“三角形面积=1/2×底×高”，逐一验证选项：
1. 验证A、B选项时，直接判断两个三角形是否同底、高是否为两平行线的距离，即可判断面积是否相等；
2. 验证C选项时，利用A选项的结论，两个面积相等的三角形同时减去公共部分△BOC的面积，剩余部分面积仍相等；
3. 验证D选项时，没有已知条件能推导两个三角形面积相等，即可得出不正确的选项。
【解析】
已知$l_1 // l_2$，因此$l_1$和$l_2$之间的距离处处相等。
选项A：$△ A_1BC$和$△ A_2BC$同底为$BC$，高均为$l_1$与$l_2$之间的距离，因此$S_{△ A_1BC}=S_{△ A_2BC}$，该选项正确，不符合题意；
选项B：$△ BA_1A_2$和$△ CA_1A_2$同底为$A_1A_2$，高均为$l_1$与$l_2$之间的距离，因此$S_{△ BA_1A_2}=S_{△ CA_1A_2}$，该选项正确，不符合题意；
选项C：由$S_{△ A_1BC}=S_{△ A_2BC}$，两个三角形同时减去公共部分$△ BOC$的面积，可得$S_{△ A_1BC}-S_{△ BOC}=S_{△ A_2BC}-S_{△ BOC}$，即$S_{△ A_1BO}=S_{△ A_2CO}$，该选项正确，不符合题意；
选项D：无对应条件可证明$S_{△ A_1OA_2}$与$S_{△ BOC}$相等，该选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线间的距离，三角形面积计算，同底等高三角形面积关系
【点评】
本题是平行线性质与三角形面积结合的基础题，解题核心是抓住同底等高的三角形面积相等的规律，同时要学会利用面积和差关系推导间接相等的三角形面积。
【难度系数】
0.7
4. 如图$□ ABCD$中，$∠ D=30°$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，若点$P$是$□ ABCD$上$CD$上任意一点，那么$△ PAB$的面积是 （
A.$12\ \mathrm{cm}^2$
B.$16\ \mathrm{cm}^2$
C.$24\ \mathrm{cm}^2$
D.$48\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$12\ \mathrm{cm}^2$
B.$16\ \mathrm{cm}^2$
C.$24\ \mathrm{cm}^2$
D.$48\ \mathrm{cm}^2$
答案
4.C
解析
【分析】
解决本题首先利用平行四边形的性质：对边平行且相等，可知AB//CD，AD=BC=8cm，因此CD上任意一点P到AB的距离都相等，即△PAB的高为定值，等于平行四边形AB边上的高。接下来结合∠D=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出高的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8cm，AB//CD，
过点A作AE⊥CD，垂足为E，
在Rt△ADE中，∠D=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×8=4cm，
∵AB//CD，
∴点P到AB的距离等于AE的长度（平行线间的距离处处相等），
∴$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×AB×AE=\frac{1}{2}×12×4=24\ \mathrm{cm}^2$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是明确平行线间距离处处相等，确定所求三角形的高为固定值，结合特殊直角三角形的性质求出高后代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
解决本题首先利用平行四边形的性质：对边平行且相等，可知AB//CD，AD=BC=8cm，因此CD上任意一点P到AB的距离都相等，即△PAB的高为定值，等于平行四边形AB边上的高。接下来结合∠D=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出高的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8cm，AB//CD，
过点A作AE⊥CD，垂足为E，
在Rt△ADE中，∠D=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×8=4cm，
∵AB//CD，
∴点P到AB的距离等于AE的长度（平行线间的距离处处相等），
∴$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×AB×AE=\frac{1}{2}×12×4=24\ \mathrm{cm}^2$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是明确平行线间距离处处相等，确定所求三角形的高为固定值，结合特殊直角三角形的性质求出高后代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
5.如图，F为正方形ABCD边上一点，以BF为斜边向正方形外部作等腰$\mathrm{Rt}△ BEF$，若$△ DEF$的面积为9，则$△ BEF$的面积为
9
。答案
5.9
解析
【分析】
解题时我们可以从特殊图形的角度特征入手：首先等腰直角△BEF的锐角都是45°，正方形对角线与边的夹角也为45°，我们可以通过角度相等证明两条直线平行，再利用平行线间距离处处相等的性质，判断△BEF和△DEF是否同底等高，进而得到两个三角形的面积关系，就能求出△BEF的面积。
【解析】
1. 连接BD
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ABD=45°
∵△BEF是等腰直角三角形，BF为斜边，
∴∠EFB=45°
2. 由∠EFB=∠ABD=45°，根据内错角相等，两直线平行，可得$EF// BD$
3. 根据平行线间的距离处处相等，可知点B、点D到直线EF的距离相等
4. △BEF和△DEF同以EF为底，底相等、高也相等，因此两个三角形面积相等，即$S_{△ BEF}=S_{△ DEF}$
5. 已知$S_{△ DEF}=9$，所以$S_{△ BEF}=9$
【答案】
9
【知识点】
正方形的性质、等腰直角三角形的性质、同底等高三角形面积相等
【点评】
本题不需要复杂的边长计算，核心是通过角度关系证明平行线，再利用同底等高的性质转化三角形面积，体现了几何解题中的转化思想，能够很好地考察学生对特殊图形性质和三角形面积规律的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以从特殊图形的角度特征入手：首先等腰直角△BEF的锐角都是45°，正方形对角线与边的夹角也为45°，我们可以通过角度相等证明两条直线平行，再利用平行线间距离处处相等的性质，判断△BEF和△DEF是否同底等高，进而得到两个三角形的面积关系，就能求出△BEF的面积。
【解析】
1. 连接BD
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ABD=45°
∵△BEF是等腰直角三角形，BF为斜边，
∴∠EFB=45°
2. 由∠EFB=∠ABD=45°，根据内错角相等，两直线平行，可得$EF// BD$
3. 根据平行线间的距离处处相等，可知点B、点D到直线EF的距离相等
4. △BEF和△DEF同以EF为底，底相等、高也相等，因此两个三角形面积相等，即$S_{△ BEF}=S_{△ DEF}$
5. 已知$S_{△ DEF}=9$，所以$S_{△ BEF}=9$
【答案】
9
【知识点】
正方形的性质、等腰直角三角形的性质、同底等高三角形面积相等
【点评】
本题不需要复杂的边长计算，核心是通过角度关系证明平行线，再利用同底等高的性质转化三角形面积，体现了几何解题中的转化思想，能够很好地考察学生对特殊图形性质和三角形面积规律的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
6.如图,在平行四边形ABCD中,∠A=120°,BC=4,点E在边AB上,连接ED,EC,以EC,ED为邻边作$□ EDFC$,连接EF,则EF长的最小值为
$4\sqrt{3}$
。答案
6.$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解决本题的核心是将EF的最值转化为线段的最值：首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，可知在平行四边形EDFC中，EF与CD互相平分，设CD中点为定点O，则EF=2EO，因此求EF的最小值等价于求EO的最小值；再结合平行四边形ABCD中AB//CD的性质，点E在AB上运动，根据垂线段最短，EO的最小值就是AB、CD这组平行线之间的距离，最后结合已知条件算出该距离即可求出EF的最小值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，AB//CD，
已知∠A=120°，
∴∠B=180°-120°=60°，
过点C作CH⊥AB于点H，CH即为AB与CD之间的距离，
在Rt△BCH中，∠B=60°，BC=4，
∴∠BCH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=2，
由勾股定理得：$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵四边形EDFC是平行四边形，
∴EF与CD互相平分，设CD的中点为O，则O为定点，且EF=2EO，
根据垂线段最短，当EO⊥AB时，EO取得最小值，最小值为平行线AB与CD的距离$2\sqrt{3}$，
∴EF的最小值为$2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题将平行四边形的性质与最值问题结合，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质把EF的最小值转化为点到直线的最短距离，渗透了转化的数学思想，需要学生具备一定的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是将EF的最值转化为线段的最值：首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，可知在平行四边形EDFC中，EF与CD互相平分，设CD中点为定点O，则EF=2EO，因此求EF的最小值等价于求EO的最小值；再结合平行四边形ABCD中AB//CD的性质，点E在AB上运动，根据垂线段最短，EO的最小值就是AB、CD这组平行线之间的距离，最后结合已知条件算出该距离即可求出EF的最小值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，AB//CD，
已知∠A=120°，
∴∠B=180°-120°=60°，
过点C作CH⊥AB于点H，CH即为AB与CD之间的距离，
在Rt△BCH中，∠B=60°，BC=4，
∴∠BCH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=2，
由勾股定理得：$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵四边形EDFC是平行四边形，
∴EF与CD互相平分，设CD的中点为O，则O为定点，且EF=2EO，
根据垂线段最短，当EO⊥AB时，EO取得最小值，最小值为平行线AB与CD的距离$2\sqrt{3}$，
∴EF的最小值为$2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题将平行四边形的性质与最值问题结合，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质把EF的最小值转化为点到直线的最短距离，渗透了转化的数学思想，需要学生具备一定的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
