7. 如图所示，直线$AE// BD$，点$C$在$BD$上，若$AE=7$，$BD=3$，$△ ABD$的面积为12，求$△ ACE$的面积。

解:在△ABD中,当BD为底时,设高为h。
在△AEC中,当AE为底时,设高为$h'$。
∵$AE// BD$,$\therefore h=h'$。
∵△ABD的面积为12,BD=3，
∴$h=8$，
∴△ACE的面积为$\frac{1}{2}×7×8=28$。

【分析】
解题时先明确核心思路：首先利用平行线的性质得到两个三角形的高相等，再借助已知三角形的面积求出高，最后代入待求三角形的面积公式计算即可。具体思考步骤：①已知$AE// BD$，根据“平行线间的距离处处相等”，可知$△ ABD$以$BD$为底时的高，和$△ ACE$以$AE$为底时的高是相等的；②先通过$△ ABD$的面积和底$BD$的长度，求出这个公共高；③将高和$AE$的长度代入三角形面积公式，就能算出$△ ACE$的面积。
【解析】
在$△ ABD$中，以$BD$为底，设该底对应的高为$h$；
在$△ ACE$中，以$AE$为底，设该底对应的高为$h'$。
$\because AE// BD$，平行线间的距离处处相等，$\therefore h=h'$。
已知$△ ABD$的面积为12，$BD=3$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}× BD× h=12$，即$\frac{1}{2}×3× h=12$，解得$h=8$。
$\therefore h'=h=8$，则$△ ACE$的面积为$\frac{1}{2}× AE× h'=\frac{1}{2}×7×8=28$。
【答案】
28
【知识点】
平行线间距离的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是找到两个三角形高相等的隐含条件，只要掌握平行线的基本性质和三角形面积公式就能顺利求解，解题时要注意找准三角形对应的底和高的关系。
【难度系数】
0.7

8.如图,在平行四边形ABCD中,E为AB边上的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点F。
(1)求证:AD=BF;
(2)若平行四边形ABCD的面积为32,试求四边形EBCD的面积。

解:(1)
∵E是AB边上的中点，
∴$AE=BE$。
∵$AD// BC$,$\therefore ∠ADE=∠F$。
在△ADE和△BFE中,$∠ADE=∠F$,$∠DEA=∠FEB$，$AE=BE$，
∴$△ ADE≌△ BFE$。
∴$AD=BF$。
(2)过点D作$DM⊥AB$于M,则DM同时也是平行四边形ABCD的高。
∴$S_{△ AED}=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}AB· DM=\frac{1}{4}AB· DM=\frac{1}{4}×32=8$，
∴$S_{四边形EBCD}=32-8=24$。

【分析】
(1) 要证明AD=BF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先由E是AB中点可得AE=BE，再结合平行四边形对边平行的性质得到AD//BC，推出内错角∠ADE=∠F，结合对顶角∠DEA=∠FEB，即可通过AAS判定△ADE≌△BFE，进而得到AD=BF。
(2) 求四边形EBCD的面积可采用割补法，用平行四边形ABCD的总面积减去△AED的面积即可。过点D作AB边上的高DM，DM也是平行四边形的高，△AED的底AE是AB的一半，高与平行四边形的高相同，因此△AED的面积是平行四边形面积的$\frac{1}{4}$，代入总面积计算即可得到四边形EBCD的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵E是AB边上的中点，
∴$AE=BE$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ ADE=∠ F$。
在$△ ADE$和$△ BFE$中：
$\begin{cases}∠ ADE=∠ F \\∠ DEA=∠ FEB \\AE=BE\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ BFE$（AAS），
∴$AD=BF$。
(2) 解：过点D作$DM⊥ AB$于M，则DM同时也是平行四边形ABCD的高。
平行四边形ABCD的面积$S_{ABCD}=AB· DM=32$，
∵E为AB中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，
∴$S_{△ AED}=\frac{1}{2}× AE× DM=\frac{1}{2}× \frac{1}{2}AB× DM=\frac{1}{4}AB· DM=\frac{1}{4}×32=8$，
∴$S_{四边形EBCD}=S_{ABCD}-S_{△ AED}=32-8=24$。
【答案】
(1)
∵E是AB边上的中点，
∴$AE=BE$。
∵$AD// BC$,$\therefore ∠ADE=∠F$。
在△ADE和△BFE中,$∠ADE=∠F$,$∠DEA=∠FEB$，$AE=BE$，
∴$△ ADE≌△ BFE$。
∴$AD=BF$。
(2)过点D作$DM⊥AB$于M,则DM同时也是平行四边形ABCD的高。
∴$S_{△ AED}=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}AB· DM=\frac{1}{4}AB· DM=\frac{1}{4}×32=8$，
∴$S_{四边形EBCD}=32-8=24$。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、图形面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形性质、全等三角形判定与面积计算相结合，第一问的关键是找准全等三角形的对应相等条件，第二问用割补法求解面积更为简便，能较好地考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

9. 在平面直角坐标系中，点$A(2,m+1)$和点$B(m+3,-4)$都在直线$l$上，且$l// x$轴。
(1)求$A,B$两点间的距离；
(2)若过点$P(-1,2)$的直线$l'$与直线$l$垂直于点$C$，求垂足$C$点的坐标。

解:(1)
∵直线$l//x$轴，
∴$m+1=-4$,解得$m=-5$，
∴$A(2,-4)$,$B(-2,-4)$，
∴A,B两点间的距离$=2-(-2)=4$。
(2)
∵直线$l'$与直线$l$垂直于点C，
∴直线$l'$平行y轴，
∴C点的横坐标为$-1$，
而直线l上的纵坐标都为$-4$，
∴$C(-1,-4)$。

【分析】
解题的核心是利用平行于x轴的直线的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等。
(1)首先根据直线$l//x$轴，可得A、B两点纵坐标相等，列方程求出$m$的值，得到A、B的具体坐标，再根据平行于x轴的两点间距离等于横坐标差的绝对值计算距离即可。
(2)垂直于x轴的直线平行于y轴，平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，因此垂足C的横坐标与点P的横坐标相同，再结合C在直线$l$上，纵坐标与l上点的纵坐标一致，即可求出C的坐标。
【解析】
(1) 因为直线$l//x$轴，所以直线$l$上所有点的纵坐标相等，
可得 $m+1=-4$，解得$m=-5$，
所以点A坐标为$(2,-4)$，点B坐标为$(-5+3,-4)$即$(-2,-4)$，
A、B两点间的距离为$2 - (-2)=4$。
(2) 因为直线$l//x$轴，直线$l'$与$l$垂直，所以直线$l'$平行于y轴，
平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，因此点C的横坐标与点$P(-1,2)$的横坐标相同，为$-1$，
又因为点C在直线$l$上，直线$l$上点的纵坐标均为$-4$，
所以垂足C的坐标为$(-1,-4)$。
【答案】
解:(1)
∵直线$l//x$轴，
∴$m+1=-4$,解得$m=-5$，
∴$A(2,-4)$,$B(-2,-4)$，
∴A,B两点间的距离$=2-(-2)=4$。
(2)
∵直线$l'$与直线$l$垂直于点C，
∴直线$l'$平行y轴，
∴C点的横坐标为$-1$，
而直线l上的纵坐标都为$-4$，
∴$C(-1,-4)$。
【知识点】
1. 平行于坐标轴的直线性质
2. 两点间距离计算
3. 坐标系垂线特征
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，侧重考查平行、垂直于坐标轴的直线上点的坐标规律，难度较低，熟练掌握相关坐标特征即可快速解题，有助于巩固坐标系基础知识点。
【难度系数】
0.8

10.阅读下列材料，解决问题。
如图(1)，直线$ l_1 // l_2 $，点C在$ l_1 $上运动。
我们在学习平行线时知道“平行线间的距离处处相等”，所以由三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}ah $，可知当C点在$ l_1 $运动时，$△ ABC$的面积不变，即$ S_{△ ABC_1}=S_{△ ABC_2}=S_{△ ABC_3}=\dots=S_{△ ABC_n} $。
问题：如图(2)，有一四边形ABCD，请通过作图，将它转化成一个与其面积相等的三角形，并说明理由。

解:①连接BD。
②过C作$CE//BD$交AD的延长线于E，
③连接BE。
因为△BDC与△BDE面积相等,所以△ABE与四边形ABCD面积相等。

【分析】
要将四边形转化为和它面积相等的三角形，可结合材料给出的“平行线间同底等高的三角形面积相等”的结论，用等积替换的思路求解：首先连接四边形的对角线BD，将四边形拆分为$△ ABD$和$△ BCD$两部分；接下来只需把$△ BCD$替换为和它面积相等、且能与$△ ABD$拼接为一个大三角形的图形即可：以BD为底，过点C作BD的平行线，根据平行线间距离处处相等，平行线上任意一点与BD组成的三角形都和$△ BCD$面积相等，延长AD与平行线交于点E，此时$△ BDE$和$△ BCD$面积相等，$△ BDE$和$△ ABD$拼接得到的$△ ABE$，面积就和原四边形面积相等。
【解析】
作图步骤：
1. 连接BD；
2. 过点C作$CE// BD$，交AD的延长线于点E；
3. 连接BE，得到的$△ ABE$即为所求三角形。
理由：
因为$CE// BD$，根据平行线间的距离处处相等，可知点C和点E到线段BD的距离相等。$△ BDC$和$△ BDE$同底为BD，高相等，由三角形面积公式可得$S_{△ BDC}=S_{△ BDE}$。
因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BDC}=S_{△ ABD}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}$，即$△ ABE$与四边形$ABCD$面积相等。
【答案】
①连接BD。
②过C作$CE//BD$交AD的延长线于E，
③连接BE。
因为△BDC与△BDE面积相等,所以△ABE与四边形ABCD面积相等。
【知识点】
平行线的性质；三角形面积计算；等积变换
【点评】
本题属于材料应用型题目，核心是利用平行线的性质构造同底等高的等面积三角形，通过等积替换实现图形的转化，能够很好地考查学生的知识迁移能力和对转化思想的运用。
【难度系数】
0.7