11.如图,四边形ABCD都是平行四边形,设它的面积为S。
(1)如图(1),点M为AD上任意一点,若△BCM的面积为S₁,则S₁:S=;
(2)如图(2),点P为平行四边形ABCD内任意一点时,记△PAB的面积为S',△PCD的面积为S'',猜想S',S''的和与S的数量关系式为;
(3)如图(3),已知点P为ABCD内任意一点,△PAB的面积为3,△PBC的面积为7,求△PBD的面积。

解:(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,$AD//BC$,$AB//CD$，
∴△BCM与$□ABCD$等底等高，
∴$S_1:S=1:2$。
故答案为$1:2$。
(2)过点P作$PE⊥AB$于点E,延长EP交CD于点F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB//CD$,$AB=CD$，
∴$PF⊥CD$，
∴$S'+S''=\frac{1}{2}AB· PE+\frac{1}{2}CD· PF=\frac{1}{2}AB· (PE+PF)=\frac{1}{2}AB· EF=\frac{1}{2}S$。
故答案为$S'+S''=\frac{1}{2}S$。
(3)$\because S_{△ PAB}+S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S=S_{△ BCD}$,$S_{△ PAB}=3$,$S_{△ PBC}=7$，
$\therefore S_{△ PBD}=S_{四边形PBCD}-S_{△ BCD}=S_{△ PBC}+S_{△ PCD}-S_{△ BCD}$，
即 $S_{△ PBD}=7+(\frac{1}{2}S-3)-\frac{1}{2}S=7-3=4$。

【分析】
(1) 要得到$S_1:S$的比值，先利用平行四边形对边平行的性质，可知$△ BCM$与平行四边形$ABCD$同底为$BC$，高均为平行线$AD$与$BC$之间的距离，结合三角形和平行四边形的面积公式即可得到面积比。
(2) 探究$S'$、$S''$的和与$S$的关系，可过点$P$作$AB$的垂线，结合平行四边形$AB// CD$的性质，可知该垂线也垂直于$CD$，$△ PAB$和$△ PCD$的高之和即为平行四边形$AB$边上的高，结合两者底相等的特点，即可推导面积和与$S$的关系。
(3) 求$△ PBD$的面积，可利用(2)的结论，先得到$S_{△ PAB}+S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S=S_{△ BCD}$，再通过面积和差将$S_{△ PBD}$转化为$S_{△ PBC}+S_{△ PCD}-S_{△ BCD}$，代入已知数值消去$S$即可求得结果。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，$AD//BC$，$AB//CD$，
∴$△ BCM$与$□ABCD$等底等高，
∴$S_1:S=1:2$。
(2)过点P作$PE⊥AB$于点E，延长EP交CD于点F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB//CD$，$AB=CD$，
∴$PF⊥CD$，
∴$S'+S''=\frac{1}{2}AB· PE+\frac{1}{2}CD· PF=\frac{1}{2}AB· (PE+PF)=\frac{1}{2}AB· EF=\frac{1}{2}S$。
(3)$\because S_{△ PAB}+S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S=S_{△ BCD}$，$S_{△ PAB}=3$，$S_{△ PBC}=7$，
$\therefore S_{△ PBD}=S_{四边形PBCD}-S_{△ BCD}=S_{△ PBC}+S_{△ PCD}-S_{△ BCD}$，
即 $S_{△ PBD}=7+(\frac{1}{2}S-3)-\frac{1}{2}S=7-3=4$。
【答案】
(1)$1:2$
(2)$S'+S''=\frac{1}{2}S$
(3)$4$
【知识点】
平行四边形的性质、三角形面积计算、面积和差计算
【点评】
本题是平行四边形面积相关的典型题型，核心是利用平行四边形对边平行的性质，结合同底等高的三角形与平行四边形的面积关系求解，解题时要学会通过作辅助线转化高的数量关系，灵活运用面积和差推导未知面积。
【难度系数】
0.7