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7.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，以点A为圆心、5为半径的圆与直线$y=-x$的位置关系是（
A.相离
B.相切
C.相交
D.以上都有可能
C
）A.相离
B.相切
C.相交
D.以上都有可能
答案
7.C
解析
【分析】
要判断圆与直线的位置关系，只需比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题已知圆心A的坐标、半径r、直线的解析式，解题思路为：①先将直线解析式整理为一般式；②用点到直线的距离公式计算圆心A到直线$y=-x$的距离d；③比较d和r=5的大小，即可得出位置关系。
【解析】
首先将直线$y=-x$整理为一般式：$x+y=0$。
根据点到直线的距离公式，点$A(3,4)$到直线$x+y=0$的距离：
$d=\frac{|1×3 + 1×4 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=\frac{|7|}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\approx4.95$
已知圆的半径$r=5$，可得$d＜r$，因此以A为圆心、5为半径的圆与直线$y=-x$相交。
【答案】
C
【知识点】
点到直线的距离计算；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础考查题，解题核心是掌握“比较圆心到直线距离与半径大小”的判定方法，计算时要注意点到直线距离公式的正确代入，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断圆与直线的位置关系，只需比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题已知圆心A的坐标、半径r、直线的解析式，解题思路为：①先将直线解析式整理为一般式；②用点到直线的距离公式计算圆心A到直线$y=-x$的距离d；③比较d和r=5的大小，即可得出位置关系。
【解析】
首先将直线$y=-x$整理为一般式：$x+y=0$。
根据点到直线的距离公式，点$A(3,4)$到直线$x+y=0$的距离：
$d=\frac{|1×3 + 1×4 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=\frac{|7|}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\approx4.95$
已知圆的半径$r=5$，可得$d＜r$，因此以A为圆心、5为半径的圆与直线$y=-x$相交。
【答案】
C
【知识点】
点到直线的距离计算；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础考查题，解题核心是掌握“比较圆心到直线距离与半径大小”的判定方法，计算时要注意点到直线距离公式的正确代入，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
8.如图，$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$AB=10$.$P$是$AC$上的动点($P$不与$A$,$C$重合),设$PC=x$,点$P$到$AB$的距离为$y$.
(1)求$y$与$x$的函数表达式.
(2)试讨论以$P$为圆心,半径长为$x$的圆与$AB$所在直线的位置关系,并指出相应的$x$的取值范围.
(1)求$y$与$x$的函数表达式.
(2)试讨论以$P$为圆心,半径长为$x$的圆与$AB$所在直线的位置关系,并指出相应的$x$的取值范围.
答案
8.解:(1)作$PH⊥AB$于H,如图,在$Rt△ABC$中,
$BC=\sqrt {10^{2}-8^{2}}=6,PC=x,PH=y$,则$PA=8-x,$
$\because ∠PAH=∠BAC,\therefore Rt△APH∽Rt△ABC,$
$\therefore \frac {PH}{BC}=\frac {AP}{AB}$,即$\frac {y}{6}=\frac {8-x}{10},$
$\therefore y=-\frac {3}{5}x+\frac {24}{5}(0＜x＜8).$
(2)当$PH=PC$时,$\odot P$与直线相切,
即$-\frac {3}{5}x+\frac {24}{5}=x$,解得$x=3;$
当$PH＜PC$时,$\odot P$与直线相交,
即$-\frac {3}{5}x+\frac {24}{5}＜x$,解得$x＞3;$
当$PH＞PC$时,$\odot P$与直线相离,
即$-\frac {3}{5}x+\frac {24}{5}＞x$,解得$x＜3;$
所以当$0＜x＜3$时,$\odot P$与 AB 所在直线相离;当$x=3$时,$\odot P$与 AB 所在直线相切;当$3＜x＜8$时,$\odot P$与 AB 所在直线相交.
解析
【分析】
(1) 首先在$Rt△ABC$中，已知斜边AB和直角边AC的长度，可先通过勾股定理求出另一条直角边BC的长。要求点P到AB的距离y，过点P作$PH⊥AB$于H，可发现$Rt△APH$和$Rt△ABC$有公共角$∠A$，满足相似三角形的判定条件，利用相似三角形对应边成比例即可建立y与x的函数关系，再结合P的运动范围确定x的取值范围。
(2) 判断圆与直线AB的位置关系，只需比较圆心P到直线AB的距离（即PH=y）和圆的半径x的大小：当距离等于半径时，圆与直线相切；当距离小于半径时，圆与直线相交；当距离大于半径时，圆与直线相离，分别列方程或不等式求解即可得到对应x的取值范围。
【解析】
(1) 过点P作$PH⊥AB$于H，如图。
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=8$，$AB=10$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
已知$PC=x$，$PH=y$，则$PA=AC-PC=8-x$。
∵$∠PAH=∠BAC$，$∠PHA=∠ACB=90°$，
∴$Rt△APH∽Rt△ABC$，
∴$\frac{PH}{BC}=\frac{AP}{AB}$，代入得$\frac{y}{6}=\frac{8-x}{10}$，
整理得$y=-\frac{3}{5}x+\frac{24}{5}$，又
∵P不与A、C重合，
∴$0＜x＜8$。
(2) 直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d和半径r的大小关系决定，本题中$d=PH=y$，$r=PC=x$：
① 当$d=r$即$y=x$时，$\odot P$与AB所在直线相切，
列方程：$-\frac{3}{5}x+\frac{24}{5}=x$，解得$x=3$；
② 当$d＜r$即$y＜x$时，$\odot P$与AB所在直线相交，
列不等式：$-\frac{3}{5}x+\frac{24}{5}＜x$，解得$x＞3$；
③ 当$d＞r$即$y＞x$时，$\odot P$与AB所在直线相离，
列不等式：$-\frac{3}{5}x+\frac{24}{5}＞x$，解得$x＜3$。
结合x的取值范围$0＜x＜8$，即可得到不同位置关系对应的x范围。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{5}x+\frac{24}{5}(0＜x＜8)$
(2) 当$0＜x＜3$时，$\odot P$与AB所在直线相离；当$x=3$时，$\odot P$与AB所在直线相切；当$3＜x＜8$时，$\odot P$与AB所在直线相交。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定与性质；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是几何动点综合题，将相似三角形的应用与直线和圆的位置关系判定相结合，解题时需先通过相似得到距离的函数表达式，再结合分类讨论思想，根据圆心到直线距离与半径的大小关系判断位置关系，能够较好地巩固相关基础知识点，锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先在$Rt△ABC$中，已知斜边AB和直角边AC的长度，可先通过勾股定理求出另一条直角边BC的长。要求点P到AB的距离y，过点P作$PH⊥AB$于H，可发现$Rt△APH$和$Rt△ABC$有公共角$∠A$，满足相似三角形的判定条件，利用相似三角形对应边成比例即可建立y与x的函数关系，再结合P的运动范围确定x的取值范围。
(2) 判断圆与直线AB的位置关系，只需比较圆心P到直线AB的距离（即PH=y）和圆的半径x的大小：当距离等于半径时，圆与直线相切；当距离小于半径时，圆与直线相交；当距离大于半径时，圆与直线相离，分别列方程或不等式求解即可得到对应x的取值范围。
【解析】
(1) 过点P作$PH⊥AB$于H，如图。
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=8$，$AB=10$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
已知$PC=x$，$PH=y$，则$PA=AC-PC=8-x$。
∵$∠PAH=∠BAC$，$∠PHA=∠ACB=90°$，
∴$Rt△APH∽Rt△ABC$，
∴$\frac{PH}{BC}=\frac{AP}{AB}$，代入得$\frac{y}{6}=\frac{8-x}{10}$，
整理得$y=-\frac{3}{5}x+\frac{24}{5}$，又
∵P不与A、C重合，
∴$0＜x＜8$。
(2) 直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d和半径r的大小关系决定，本题中$d=PH=y$，$r=PC=x$：
① 当$d=r$即$y=x$时，$\odot P$与AB所在直线相切，
列方程：$-\frac{3}{5}x+\frac{24}{5}=x$，解得$x=3$；
② 当$d＜r$即$y＜x$时，$\odot P$与AB所在直线相交，
列不等式：$-\frac{3}{5}x+\frac{24}{5}＜x$，解得$x＞3$；
③ 当$d＞r$即$y＞x$时，$\odot P$与AB所在直线相离，
列不等式：$-\frac{3}{5}x+\frac{24}{5}＞x$，解得$x＜3$。
结合x的取值范围$0＜x＜8$，即可得到不同位置关系对应的x范围。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{5}x+\frac{24}{5}(0＜x＜8)$
(2) 当$0＜x＜3$时，$\odot P$与AB所在直线相离；当$x=3$时，$\odot P$与AB所在直线相切；当$3＜x＜8$时，$\odot P$与AB所在直线相交。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定与性质；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是几何动点综合题，将相似三角形的应用与直线和圆的位置关系判定相结合，解题时需先通过相似得到距离的函数表达式，再结合分类讨论思想，根据圆心到直线距离与半径的大小关系判断位置关系，能够较好地巩固相关基础知识点，锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
9.点 P 是平面直角坐标系中第一象限上的一点,过点 P 向 x 轴,y 轴作垂线段,若垂线段的长度的和为 4,则点 P 叫作“垂距点”.例如:下图中的 P(1,3)是“垂距点”.
(1)在点 A(2,2),B($\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$),C(4,4)中,是“垂距点”的点为
(2)⊙T 的圆心 T 的坐标为(1,0),半径为 r.若⊙T 上存在“垂距点”,求 r 的取值范围.
(1)在点 A(2,2),B($\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$),C(4,4)中,是“垂距点”的点为
A,B
.(2)⊙T 的圆心 T 的坐标为(1,0),半径为 r.若⊙T 上存在“垂距点”,求 r 的取值范围.
答案
9.解:(1)A,B.
(2)设点 P 坐标为$(x,y),\because x＞0,y＞0$时,$x+y=4$,
即$y=-x+4(0＜x＜4)$;画出该函数图象,如图所示.
过点 T 作$TN⊥$直线 DE 于点 N,
易证$△DNT$为等腰直角三角形,
$\therefore TN=\frac {\sqrt {2}}{2}TD=\frac {\sqrt {2}}{2}×|4-1|=\frac {3\sqrt {2}}{2};$
当$\odot T$过点$E(0,4)$时,$\odot T$上不存在“垂距点”,
$\therefore$ 若$\odot T$上存在“垂距点”,则 r 的取值范围是$\frac {3\sqrt {2}}{2}≤r＜4.$
解析
【分析】
(1) 根据“垂距点”的定义：第一象限内的点，横、纵坐标的和为4，只需逐一计算各点横纵坐标之和，判断是否等于4且横纵坐标均大于0即可。
(2) 先将“垂距点”的条件转化为函数关系，得到其轨迹是直线$y=-x+4$在第一象限内的开线段（不含端点）；要使$\odot T$上存在“垂距点”，即$\odot T$与该线段有交点：半径的最小值为圆心$T$到直线的垂线段长度，半径最大值需考虑端点不属于垂距点，故取不到端点对应的半径值。
【解析】
(1) 计算各点横纵坐标之和：
点$A(2,2)$：$2+2=4$，且$2＞0$，$2＞0$，符合“垂距点”定义；
点$B(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$：$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$，且$\frac{3}{2}＞0$，$\frac{5}{2}＞0$，符合“垂距点”定义；
点$C(4,4)$：$4+4=8≠4$，不符合定义。
故“垂距点”为$A$、$B$。
(2) 设“垂距点”$P$的坐标为$(x,y)$，由题意得$x＞0$，$y＞0$，且$x+y=4$，整理得$y=-x+4$（$0＜x＜4$），即“垂距点”的轨迹是直线$y=-x+4$在第一象限内的开线段$DE$，如图所示。
过点$T(1,0)$作$TN⊥$直线$DE$于点$N$，直线$DE$斜率为$-1$，故$∠ EDO=45°$，$△ DNT$为等腰直角三角形。
$TD$的长度为$|4-1|=3$，因此$TN=\frac{\sqrt{2}}{2}TD=\frac{\sqrt{2}}{2}×3=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，这是圆心$T$到直线$DE$的最短距离，当$r=\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，圆与直线$DE$相切，切点在线段$DE$上，符合要求。
当$\odot T$过点$E(0,4)$时，点$E$横坐标为$0$，不属于第一象限，不是“垂距点”，因此半径需小于$4$。
综上，$r$的取值范围是$\frac{3\sqrt{2}}{2}≤r＜4$。
【答案】
(1)$A$，$B$；
(2)$\frac{3\sqrt{2}}{2}≤r＜4$，图象如图。
【知识点】
新定义问题，直线与圆的位置关系，一次函数的图象
【点评】
本题结合新定义考查一次函数与圆的综合应用，解题的关键是将新定义转化为熟悉的数学模型，将点的存在性问题转化为直线与圆的交点问题，注意端点是否符合定义是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
(1) 根据“垂距点”的定义：第一象限内的点，横、纵坐标的和为4，只需逐一计算各点横纵坐标之和，判断是否等于4且横纵坐标均大于0即可。
(2) 先将“垂距点”的条件转化为函数关系，得到其轨迹是直线$y=-x+4$在第一象限内的开线段（不含端点）；要使$\odot T$上存在“垂距点”，即$\odot T$与该线段有交点：半径的最小值为圆心$T$到直线的垂线段长度，半径最大值需考虑端点不属于垂距点，故取不到端点对应的半径值。
【解析】
(1) 计算各点横纵坐标之和：
点$A(2,2)$：$2+2=4$，且$2＞0$，$2＞0$，符合“垂距点”定义；
点$B(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$：$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$，且$\frac{3}{2}＞0$，$\frac{5}{2}＞0$，符合“垂距点”定义；
点$C(4,4)$：$4+4=8≠4$，不符合定义。
故“垂距点”为$A$、$B$。
(2) 设“垂距点”$P$的坐标为$(x,y)$，由题意得$x＞0$，$y＞0$，且$x+y=4$，整理得$y=-x+4$（$0＜x＜4$），即“垂距点”的轨迹是直线$y=-x+4$在第一象限内的开线段$DE$，如图所示
。过点$T(1,0)$作$TN⊥$直线$DE$于点$N$，直线$DE$斜率为$-1$，故$∠ EDO=45°$，$△ DNT$为等腰直角三角形。
$TD$的长度为$|4-1|=3$，因此$TN=\frac{\sqrt{2}}{2}TD=\frac{\sqrt{2}}{2}×3=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，这是圆心$T$到直线$DE$的最短距离，当$r=\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，圆与直线$DE$相切，切点在线段$DE$上，符合要求。
当$\odot T$过点$E(0,4)$时，点$E$横坐标为$0$，不属于第一象限，不是“垂距点”，因此半径需小于$4$。
综上，$r$的取值范围是$\frac{3\sqrt{2}}{2}≤r＜4$。
【答案】
(1)$A$，$B$；
(2)$\frac{3\sqrt{2}}{2}≤r＜4$，图象如图
。【知识点】
新定义问题，直线与圆的位置关系，一次函数的图象
【点评】
本题结合新定义考查一次函数与圆的综合应用，解题的关键是将新定义转化为熟悉的数学模型，将点的存在性问题转化为直线与圆的交点问题，注意端点是否符合定义是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
