登录
1.如图，AB是$\odot O$的直径，直线PA与$\odot O$相切于点A，PO交$\odot O$于点C，连结BC.若$∠ P=40°$，则$∠ ABC$的度数为 （
A.$20°$
B.$25°$
C.$40°$
D.$50°$
B
）A.$20°$
B.$25°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先根据切线的性质得到垂直关系，在直角三角形中求出圆心角$∠ POA$的度数，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质，即可求出$∠ ABC$的度数。首先看到直线PA是圆的切线，切点为A，根据切线性质可知PA垂直于半径OA，得到直角$△ PAO$，已知$∠ P$的度数，可计算出$∠ POA$的度数；再观察$∠ POA$是$△ OBC$的外角，且$OB=OC$，$△ OBC$是等腰三角形，两个底角相等，由此可推出$∠ ABC$的度数。
【解析】
解：
∵直线PA与$\odot O$相切于点A，AB是$\odot O$的直径，
∴$PA⊥ OA$，即$∠ PAO=90°$。
在$Rt△ PAO$中，$∠ P=40°$，
∴$∠ POA=90° - ∠ P=90° -40°=50°$。
∵$OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴$∠ ABC=∠ OCB$。
又
∵$∠ POA$是$△ OBC$的外角，
∴$∠ POA=∠ ABC + ∠ OCB=2∠ ABC$，
∴$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ POA=\frac{1}{2}×50°=25°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，结合三角形的角度相关性质推导所求角的度数，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先根据切线的性质得到垂直关系，在直角三角形中求出圆心角$∠ POA$的度数，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质，即可求出$∠ ABC$的度数。首先看到直线PA是圆的切线，切点为A，根据切线性质可知PA垂直于半径OA，得到直角$△ PAO$，已知$∠ P$的度数，可计算出$∠ POA$的度数；再观察$∠ POA$是$△ OBC$的外角，且$OB=OC$，$△ OBC$是等腰三角形，两个底角相等，由此可推出$∠ ABC$的度数。
【解析】
解：
∵直线PA与$\odot O$相切于点A，AB是$\odot O$的直径，
∴$PA⊥ OA$，即$∠ PAO=90°$。
在$Rt△ PAO$中，$∠ P=40°$，
∴$∠ POA=90° - ∠ P=90° -40°=50°$。
∵$OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴$∠ ABC=∠ OCB$。
又
∵$∠ POA$是$△ OBC$的外角，
∴$∠ POA=∠ ABC + ∠ OCB=2∠ ABC$，
∴$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ POA=\frac{1}{2}×50°=25°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，结合三角形的角度相关性质推导所求角的度数，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
2.如图,点 P 为$\odot O$外一点,PA 为$\odot O$的切线,A 为切点,PO 交$\odot O$于点 B,$∠P=30°,OB=3$,则线段 BP 的长为 （
A.3
B.$3\sqrt{3}$
C.6
D.9
A
）A.3
B.$3\sqrt{3}$
C.6
D.9
答案
2.A
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先考虑连接过切点的半径，利用“切线垂直于过切点的半径”构造直角三角形。本题中先连接OA得到Rt△OAP，再结合已知∠P=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出OP的长度，最后用OP减去OB的长度即可得到BP的长。
【解析】
连接OA，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB=3，
在Rt△OAP中，∠P=30°，
∴OP=2OA=2×3=6，
∴BP=OP - OB=6 - 3=3。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；圆的半径相等
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，解题的核心是掌握切线的性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
遇到圆的切线问题，首先考虑连接过切点的半径，利用“切线垂直于过切点的半径”构造直角三角形。本题中先连接OA得到Rt△OAP，再结合已知∠P=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出OP的长度，最后用OP减去OB的长度即可得到BP的长。
【解析】
连接OA，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB=3，
在Rt△OAP中，∠P=30°，
∴OP=2OA=2×3=6，
∴BP=OP - OB=6 - 3=3。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；圆的半径相等
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，解题的核心是掌握切线的性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
3.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为$90°$.将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求.图2是过球心及A，B，E三点的截面示意图，已知$\odot O$的直径就是铁球的直径，AB是$\odot O$的弦，CD切$\odot O$于点E，$AC⊥ CD$，$BD⊥ CD$.若$CD=16\ \mathrm{cm}$，$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$，则这种铁球的直径为（
A.$10\ \mathrm{cm}$
B.$15\ \mathrm{cm}$
C.$20\ \mathrm{cm}$
D.$24\ \mathrm{cm}$
C
）A.$10\ \mathrm{cm}$
B.$15\ \mathrm{cm}$
C.$20\ \mathrm{cm}$
D.$24\ \mathrm{cm}$
答案
3.C
解析
【分析】
要求铁球的直径，即求$\odot O$的直径，可先设$\odot O$的半径为$r$，通过构造直角三角形利用勾股定理列方程求解。首先由$AC⊥ CD$、$BD⊥ CD$且$AC=BD$，可判断四边形$ACDB$是矩形，得到$AB=CD$、$AB// CD$；再结合切线的性质可得$OE⊥ CD$，进而推出$OE⊥ AB$，结合垂径定理得到$AF$的长度；最后在$Rt△ OAF$中用勾股定理列方程求出半径，即可得到直径。
【解析】
连接$OA$、$OE$，设$OE$交$AB$于点$F$。
1. 因为$AC⊥ CD$，$BD⊥ CD$，所以$AC// BD$，又$AC=BD$，所以四边形$ACDB$是矩形，因此$AB=CD=16\ \mathrm{cm}$，且$AB// CD$。
2. 因为$CD$切$\odot O$于点$E$，根据切线的性质，$OE⊥ CD$，结合$AB// CD$，可得$OE⊥ AB$。根据垂径定理，$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
3. 易知四边形$ACEF$是矩形，所以$EF=AC=4\ \mathrm{cm}$。设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OA=r$，$OF=OE-EF=r-4$。
4. 在$Rt△ OAF$中，由勾股定理得：$OA^2=AF^2+OF^2$，代入得$r^2=8^2+(r-4)^2$。
展开计算：$r^2=64+r^2-8r+16$，化简得$8r=80$，解得$r=10$。
因此铁球的直径为$2r=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的实际应用类题目，解题的核心是通过切线性质和垂径定理构造直角三角形，结合方程思想求解半径，这类题型是圆与几何计算结合的常见考法。
【难度系数】
0.7
要求铁球的直径，即求$\odot O$的直径，可先设$\odot O$的半径为$r$，通过构造直角三角形利用勾股定理列方程求解。首先由$AC⊥ CD$、$BD⊥ CD$且$AC=BD$，可判断四边形$ACDB$是矩形，得到$AB=CD$、$AB// CD$；再结合切线的性质可得$OE⊥ CD$，进而推出$OE⊥ AB$，结合垂径定理得到$AF$的长度；最后在$Rt△ OAF$中用勾股定理列方程求出半径，即可得到直径。
【解析】
连接$OA$、$OE$，设$OE$交$AB$于点$F$。
1. 因为$AC⊥ CD$，$BD⊥ CD$，所以$AC// BD$，又$AC=BD$，所以四边形$ACDB$是矩形，因此$AB=CD=16\ \mathrm{cm}$，且$AB// CD$。
2. 因为$CD$切$\odot O$于点$E$，根据切线的性质，$OE⊥ CD$，结合$AB// CD$，可得$OE⊥ AB$。根据垂径定理，$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
3. 易知四边形$ACEF$是矩形，所以$EF=AC=4\ \mathrm{cm}$。设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OA=r$，$OF=OE-EF=r-4$。
4. 在$Rt△ OAF$中，由勾股定理得：$OA^2=AF^2+OF^2$，代入得$r^2=8^2+(r-4)^2$。
展开计算：$r^2=64+r^2-8r+16$，化简得$8r=80$，解得$r=10$。
因此铁球的直径为$2r=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的实际应用类题目，解题的核心是通过切线性质和垂径定理构造直角三角形，结合方程思想求解半径，这类题型是圆与几何计算结合的常见考法。
【难度系数】
0.7
如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=
答案
4.45
解析
【分析】
解题时首先回忆切线相关的常用辅助线：连接圆心和切点，利用切线的性质得到垂直关系。再结合平行四边形对边平行、对角相等的性质，推导出OD与AB垂直，进而得到△AOD是等腰直角三角形，求出∠A的度数，最后利用平行四边形对角相等的性质得到∠C的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵CD是以AB为直径的圆的切线，切点为D，
∴OD⊥CD（圆的切线垂直于过切点的半径），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠C=∠A，
∴OD⊥AB，即∠AOD=90°，
又
∵OA=OD（同圆的半径相等），
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠A=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠C=∠A=45°。
【答案】
45°
【知识点】
1.切线的性质
2.平行四边形的性质
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与四边形结合的基础题，解题关键是熟练掌握切线的性质，会正确连接圆心与切点作为辅助线，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆切线相关的常用辅助线：连接圆心和切点，利用切线的性质得到垂直关系。再结合平行四边形对边平行、对角相等的性质，推导出OD与AB垂直，进而得到△AOD是等腰直角三角形，求出∠A的度数，最后利用平行四边形对角相等的性质得到∠C的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵CD是以AB为直径的圆的切线，切点为D，
∴OD⊥CD（圆的切线垂直于过切点的半径），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠C=∠A，
∴OD⊥AB，即∠AOD=90°，
又
∵OA=OD（同圆的半径相等），
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠A=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠C=∠A=45°。
【答案】
45°
【知识点】
1.切线的性质
2.平行四边形的性质
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与四边形结合的基础题，解题关键是熟练掌握切线的性质，会正确连接圆心与切点作为辅助线，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$\odot O$中,AB,CD是直径,BE是切线,B为切点,连结AD,BC,BD.
(1)求证:$△ ABD≌△ CDB$.
(2)若$∠ DBE=37°$,求$∠ ADC$的度数.
(1)求证:$△ ABD≌△ CDB$.
(2)若$∠ DBE=37°$,求$∠ ADC$的度数.
答案
5.解:(1)证明:
∵AB,CD 是直径，
∴∠ADB=∠CBD=90°，
在 Rt△ABD 和 Rt△CDB 中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ BD=DB, \end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)；
(2)
∵BE 是切线，
∴∠ABD+∠DBE=90°，
∵CD 是直径，
∴∠CBA+∠ABD=90°，
∴∠ABC=∠DBE，
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴∠CBA=∠CDA，
∴∠ADC=∠DBE，
∵∠DBE=37°，∠ADC 的度数为 37°.
∵AB,CD 是直径，
∴∠ADB=∠CBD=90°，
在 Rt△ABD 和 Rt△CDB 中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ BD=DB, \end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)；
(2)
∵BE 是切线，
∴∠ABD+∠DBE=90°，
∵CD 是直径，
∴∠CBA+∠ABD=90°，
∴∠ABC=∠DBE，
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴∠CBA=∠CDA，
∴∠ADC=∠DBE，
∵∠DBE=37°，∠ADC 的度数为 37°.
解析
【分析】
（1）要证明$△ ABD≌△ CDB$，首先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，可判定两个三角形都是直角三角形；再结合同圆直径相等、公共边相等的条件，即可用HL定理证明全等。
（2）求$∠ ADC$的度数，先根据切线的性质得到切线与过切点的直径垂直，推出$∠ DBE$与$∠ ABD$互余；再结合直径所对圆周角为直角，得到$∠ ABC$与$∠ ABD$互余，由同角的余角相等推出$∠ ABC=∠ DBE$；最后利用同弧所对圆周角相等，将$∠ ADC$转化为$∠ ABC$，代入已知角度即可求解。
【解析】
(1) 证明：
$\because$AB，CD是$\odot O$的直径，
$\therefore$直径所对的圆周角为直角，即$∠ ADB=∠ CBD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中，
$\begin{cases} AB=CD（同圆的直径相等）, \\ BD=DB（公共边）, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CDB(\mathrm{HL})$。
(2) 解：
$\because$BE是$\odot O$的切线，B为切点，AB是过切点的直径，
$\therefore AB⊥ BE$，即$∠ ABE=90°$，
$\therefore ∠ ABD+∠ DBE=90°$，
$\because$CD是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ CBD=90°$，即$∠ CBA+∠ ABD=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ ABC=∠ DBE$，
又$\because \overset{\frown}{AC}$是$∠ ABC$和$∠ ADC$共同对应的弧，
$\therefore$同弧所对的圆周角相等，即$∠ CBA=∠ CDA$，
$\therefore ∠ ADC=∠ DBE$，
已知$∠ DBE=37°$，故$∠ ADC=37°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{37°}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 切线的性质
3. 全等三角形的判定（HL）
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆和全等三角形的基础性质，解题关键是熟练掌握直径的性质、切线的性质、圆周角定理，能准确进行角的等量转化，对基础逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$△ ABD≌△ CDB$，首先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，可判定两个三角形都是直角三角形；再结合同圆直径相等、公共边相等的条件，即可用HL定理证明全等。
（2）求$∠ ADC$的度数，先根据切线的性质得到切线与过切点的直径垂直，推出$∠ DBE$与$∠ ABD$互余；再结合直径所对圆周角为直角，得到$∠ ABC$与$∠ ABD$互余，由同角的余角相等推出$∠ ABC=∠ DBE$；最后利用同弧所对圆周角相等，将$∠ ADC$转化为$∠ ABC$，代入已知角度即可求解。
【解析】
(1) 证明：
$\because$AB，CD是$\odot O$的直径，
$\therefore$直径所对的圆周角为直角，即$∠ ADB=∠ CBD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$中，
$\begin{cases} AB=CD（同圆的直径相等）, \\ BD=DB（公共边）, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CDB(\mathrm{HL})$。
(2) 解：
$\because$BE是$\odot O$的切线，B为切点，AB是过切点的直径，
$\therefore AB⊥ BE$，即$∠ ABE=90°$，
$\therefore ∠ ABD+∠ DBE=90°$，
$\because$CD是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ CBD=90°$，即$∠ CBA+∠ ABD=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ ABC=∠ DBE$，
又$\because \overset{\frown}{AC}$是$∠ ABC$和$∠ ADC$共同对应的弧，
$\therefore$同弧所对的圆周角相等，即$∠ CBA=∠ CDA$，
$\therefore ∠ ADC=∠ DBE$，
已知$∠ DBE=37°$，故$∠ ADC=37°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{37°}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 切线的性质
3. 全等三角形的判定（HL）
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆和全等三角形的基础性质，解题关键是熟练掌握直径的性质、切线的性质、圆周角定理，能准确进行角的等量转化，对基础逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
