登录
1. 绍兴市是文化名城,拥有数不清的历史文化和自然景观,是一个旅游胜地。每年都吸引众多海内外游客前来观光、旅游。据有关部门统计报道:2025年全年共接待游客约6854万人次。将6854万用科学记数法表示为 (
A.$68.54×10^{6}$
B.$6.854×10^{7}$
C.$0.6854×10^{8}$
D.$6.854×10^{3}$
B
)A.$68.54×10^{6}$
B.$6.854×10^{7}$
C.$0.6854×10^{8}$
D.$6.854×10^{3}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题步骤分两步走：第一步先把“6854万”换算为不带单位的普通整数，第二步根据科学记数法的规则确定$a$和$n$的值，再对照选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 单位换算：因为1万=10000，所以$6854万=6854×10000=68540000$。
2. 用科学记数法表示：
科学记数法要求$1≤ a＜10$，将68540000的小数点向左移动7位，得到$a=6.854$，符合取值要求。
小数点向左移动了7位，因此$n=7$。
所以6854万用科学记数法表示为$6.854×10^7$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法；单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题型，解题核心是牢记科学记数法的形式要求，注意带单位的数要先换算为原数再进行改写，避免因忽略单位直接换算出错。
【难度系数】
0.85
要解决这个问题，首先要明确科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题步骤分两步走：第一步先把“6854万”换算为不带单位的普通整数，第二步根据科学记数法的规则确定$a$和$n$的值，再对照选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 单位换算：因为1万=10000，所以$6854万=6854×10000=68540000$。
2. 用科学记数法表示：
科学记数法要求$1≤ a＜10$，将68540000的小数点向左移动7位，得到$a=6.854$，符合取值要求。
小数点向左移动了7位，因此$n=7$。
所以6854万用科学记数法表示为$6.854×10^7$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法；单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题型，解题核心是牢记科学记数法的形式要求，注意带单位的数要先换算为原数再进行改写，避免因忽略单位直接换算出错。
【难度系数】
0.85
2. 已知某快递公司的收费标准为:寄一件物品不超过5千克,收费13元;超过5千克的部分每千克加收2元。圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品,需要付费 (
A.17元
B.19元
C.21元
D.23元
B
)A.17元
B.19元
C.21元
D.23元
答案
B
解析
【分析】
这是分段计费类的应用题，解题时首先要判断物品重量是否超过基础收费的重量阈值5千克。本题中8千克大于5千克，因此总费用分为两部分计算：一是5千克以内的固定收费13元，二是超过5千克部分的加收费用，将两部分费用相加即可得到最终应付费用。
【解析】
第一步：计算超出5千克的重量
$8 - 5 = 3$（千克）
第二步：计算超出部分的加收费用
$3 × 2 = 6$（元）
第三步：计算总付费金额
$13 + 6 = 19$（元）
所以需要付费19元，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分段计费问题，有理数的混合运算
【点评】
本题结合生活中快递收费的实际场景出题，解题的核心是明确分段收费的规则，区分固定收费部分和超额收费部分的计算标准，准确进行运算即可得出正确结果，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
这是分段计费类的应用题，解题时首先要判断物品重量是否超过基础收费的重量阈值5千克。本题中8千克大于5千克，因此总费用分为两部分计算：一是5千克以内的固定收费13元，二是超过5千克部分的加收费用，将两部分费用相加即可得到最终应付费用。
【解析】
第一步：计算超出5千克的重量
$8 - 5 = 3$（千克）
第二步：计算超出部分的加收费用
$3 × 2 = 6$（元）
第三步：计算总付费金额
$13 + 6 = 19$（元）
所以需要付费19元，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分段计费问题，有理数的混合运算
【点评】
本题结合生活中快递收费的实际场景出题，解题的核心是明确分段收费的规则，区分固定收费部分和超额收费部分的计算标准，准确进行运算即可得出正确结果，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
3. 有理数的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是 (
A.$a+b+c＞0$
B.$|a+b|＜c$
C.$|a-c|=|a|+c$
D.$|b-c|＞|c-a|$
C
)A.$a+b+c＞0$
B.$|a+b|＜c$
C.$|a-c|=|a|+c$
D.$|b-c|＞|c-a|$
答案
C
解析
【分析】
首先根据数轴的性质：数轴上从左到右的数逐渐增大，可得$a＜b＜0＜c$，且$|a|＞|b|$、$|a|＞c$。接下来我们可以通过举符合条件的反例排除错误选项，再结合绝对值的性质验证正确选项即可。
【解析】
由数轴可得：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$|a| ＞ |b|$，$|a| ＞ c$。我们逐个分析选项：
选项A：取$a=-5$，$b=-3$，$c=2$，则$a+b+c=-5-3+2=-6＜0$，故该式不一定成立，排除；
选项B：取$a=-5$，$b=-3$，$c=2$，则$|a+b|=|-8|=8＞c$，故该式不一定成立，排除；
选项C：因为$a＜0$、$c＞0$，所以$a-c＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|a-c|=-(a-c)=-a+c$，又因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，因此$|a-c|=|a|+c$，该式一定成立；
选项D：取$a=-5$，$b=-3$，$c=2$，则$|b-c|=|-3-2|=5$，$|c-a|=|2-(-5)|=7$，此时$|b-c|＜|c-a|$，故该式不一定成立，排除。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；有理数大小比较
【点评】
本题考查结合数轴判断有理数的大小和绝对值的化简，解题关键是先根据数轴确定各数的正负和绝对值的大致大小关系，再通过举反例或绝对值性质逐一判断选项，排除法是解决这类选择题的常用方法。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴的性质：数轴上从左到右的数逐渐增大，可得$a＜b＜0＜c$，且$|a|＞|b|$、$|a|＞c$。接下来我们可以通过举符合条件的反例排除错误选项，再结合绝对值的性质验证正确选项即可。
【解析】
由数轴可得：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$|a| ＞ |b|$，$|a| ＞ c$。我们逐个分析选项：
选项A：取$a=-5$，$b=-3$，$c=2$，则$a+b+c=-5-3+2=-6＜0$，故该式不一定成立，排除；
选项B：取$a=-5$，$b=-3$，$c=2$，则$|a+b|=|-8|=8＞c$，故该式不一定成立，排除；
选项C：因为$a＜0$、$c＞0$，所以$a-c＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|a-c|=-(a-c)=-a+c$，又因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，因此$|a-c|=|a|+c$，该式一定成立；
选项D：取$a=-5$，$b=-3$，$c=2$，则$|b-c|=|-3-2|=5$，$|c-a|=|2-(-5)|=7$，此时$|b-c|＜|c-a|$，故该式不一定成立，排除。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；有理数大小比较
【点评】
本题考查结合数轴判断有理数的大小和绝对值的化简，解题关键是先根据数轴确定各数的正负和绝对值的大致大小关系，再通过举反例或绝对值性质逐一判断选项，排除法是解决这类选择题的常用方法。
【难度系数】
0.7
4. 由四舍五入得到的近似数0.50，精确到
百分
位，它表示大于或等于0.495
且小于0.505
的数。答案
精确到百分位，它表示大于或等于0.495且小于0.505的数。
解析
【分析】
解题时需分两步思考：①判断近似数的精确位：近似数的最后一位数字所在的数位就是它的精确位；②推导近似数的取值范围：结合四舍五入的规则，分“四舍”和“五入”两种情况讨论边界值，“四舍”得到该近似数时原数小于上限，“五入”得到该近似数时原数大于等于下限。
【解析】
1. 确定精确位：近似数0.50的最后一位数字是0，对应数位是百分位，因此该近似数精确到百分位。
2. 推导取值范围：
若原数是“四舍”得到0.50，说明原数千分位数字小于5，此时原数最大小于0.505；
若原数是“五入”得到0.50，说明原数千分位数字大于等于5，且原数的十分位为4、百分位为9，此时原数最小大于等于0.495。
因此该近似数表示的数的范围是大于或等于0.495且小于0.505。
【答案】
百分；0.495；0.505
【知识点】
近似数的精确度；四舍五入法
【点评】
本题是近似数板块的基础题，主要考查精确度的判断和四舍五入规则的应用，易错点是容易忽略0.50末尾0的意义，误判为精确到十分位，取值范围计算时需注意边界值的取舍规则。
【难度系数】
0.7
解题时需分两步思考：①判断近似数的精确位：近似数的最后一位数字所在的数位就是它的精确位；②推导近似数的取值范围：结合四舍五入的规则，分“四舍”和“五入”两种情况讨论边界值，“四舍”得到该近似数时原数小于上限，“五入”得到该近似数时原数大于等于下限。
【解析】
1. 确定精确位：近似数0.50的最后一位数字是0，对应数位是百分位，因此该近似数精确到百分位。
2. 推导取值范围：
若原数是“四舍”得到0.50，说明原数千分位数字小于5，此时原数最大小于0.505；
若原数是“五入”得到0.50，说明原数千分位数字大于等于5，且原数的十分位为4、百分位为9，此时原数最小大于等于0.495。
因此该近似数表示的数的范围是大于或等于0.495且小于0.505。
【答案】
百分；0.495；0.505
【知识点】
近似数的精确度；四舍五入法
【点评】
本题是近似数板块的基础题，主要考查精确度的判断和四舍五入规则的应用，易错点是容易忽略0.50末尾0的意义，误判为精确到十分位，取值范围计算时需注意边界值的取舍规则。
【难度系数】
0.7
5. 计算:(1)$-3 - | -8 | - 2×(-4)$；
(2)$-1^{2026} - \frac{1}{2}×[3 + (-3)^2]$；
(3)$\frac{1}{4}×(-\frac{6}{7})÷(2 - \frac{1}{2})$；
(4)$-100×\frac{1}{8} - 0.125×35.5 + 14.5×(-12.5\%)$。
(2)$-1^{2026} - \frac{1}{2}×[3 + (-3)^2]$；
(3)$\frac{1}{4}×(-\frac{6}{7})÷(2 - \frac{1}{2})$；
(4)$-100×\frac{1}{8} - 0.125×35.5 + 14.5×(-12.5\%)$。
答案
(1)原式=-3-8+8=-3。
(2)原式=$-1-\dfrac{1}{2}×(3+9)=-1-6=-7$。
(3)原式=$\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{6}{7})÷\dfrac{3}{2}=-(\dfrac{1}{4}×\dfrac{6}{7}×\dfrac{2}{3})=-\dfrac{1}{7}$。
(4)原式=$\dfrac{1}{8}×(-100-35.5-14.5)=\dfrac{1}{8}×(-150)=-\dfrac{75}{4}$。
(2)原式=$-1-\dfrac{1}{2}×(3+9)=-1-6=-7$。
(3)原式=$\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{6}{7})÷\dfrac{3}{2}=-(\dfrac{1}{4}×\dfrac{6}{7}×\dfrac{2}{3})=-\dfrac{1}{7}$。
(4)原式=$\dfrac{1}{8}×(-100-35.5-14.5)=\dfrac{1}{8}×(-150)=-\dfrac{75}{4}$。
解析
【分析】
有理数混合运算遵循如下规则：先算乘方与绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算；同级运算从左到右依次计算；能运用运算律简便计算的优先使用运算律简化计算。
各小题解题思路：
(1)先计算绝对值，再计算乘法运算，最后依次计算加减即可；
(2)先计算乘方，再计算括号内的加法，接着计算乘法，最后计算减法；
(3)先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，根据符号规则确定结果符号后约分计算即可；
(4)先将小数、百分数统一转化为分数$\frac{1}{8}$，逆用乘法分配律提取公因式后简化计算。
【解析】
(1)先算绝对值$|-8|=8$，再算乘法$2×(-4)=-8$，代入计算：
$\begin{aligned}原式&=-3 - 8 - (-8)\\&=-3-8+8\\&=-3\end{aligned}$
(2)先算乘方：$-1^{2026}=-1$，$(-3)^2=9$，再算括号内$3+9=12$，代入计算：
$\begin{aligned}原式&=-1 - \frac{1}{2}×12\\&=-1 -6\\&=-7\end{aligned}$
(3)先算括号内：$2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，除法转化为乘法：除以$\frac{3}{2}$等于乘$\frac{2}{3}$，代入计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×(-\frac{6}{7})×\frac{2}{3}\\&=-(\frac{1}{4}×\frac{6}{7}×\frac{2}{3})\\&=-\frac{1}{7}\end{aligned}$
(4)先统一形式：$0.125=\frac{1}{8}$，$12.5\%=\frac{1}{8}$，逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=-100×\frac{1}{8} - 35.5×\frac{1}{8} -14.5×\frac{1}{8}\\&=\frac{1}{8}×(-100 -35.5 -14.5)\\&=\frac{1}{8}×(-150)\\&=-\frac{75}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-3}$；(2)$\boldsymbol{-7}$；(3)$\boldsymbol{-\dfrac{1}{7}}$；(4)$\boldsymbol{-\dfrac{75}{4}}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值运算，乘法分配律应用
【点评】
本题侧重考察有理数运算的基本规则，计算过程中要重点关注符号的判断，合理运用运算律可简化计算步骤，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
有理数混合运算遵循如下规则：先算乘方与绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算；同级运算从左到右依次计算；能运用运算律简便计算的优先使用运算律简化计算。
各小题解题思路：
(1)先计算绝对值，再计算乘法运算，最后依次计算加减即可；
(2)先计算乘方，再计算括号内的加法，接着计算乘法，最后计算减法；
(3)先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，根据符号规则确定结果符号后约分计算即可；
(4)先将小数、百分数统一转化为分数$\frac{1}{8}$，逆用乘法分配律提取公因式后简化计算。
【解析】
(1)先算绝对值$|-8|=8$，再算乘法$2×(-4)=-8$，代入计算：
$\begin{aligned}原式&=-3 - 8 - (-8)\\&=-3-8+8\\&=-3\end{aligned}$
(2)先算乘方：$-1^{2026}=-1$，$(-3)^2=9$，再算括号内$3+9=12$，代入计算：
$\begin{aligned}原式&=-1 - \frac{1}{2}×12\\&=-1 -6\\&=-7\end{aligned}$
(3)先算括号内：$2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，除法转化为乘法：除以$\frac{3}{2}$等于乘$\frac{2}{3}$，代入计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×(-\frac{6}{7})×\frac{2}{3}\\&=-(\frac{1}{4}×\frac{6}{7}×\frac{2}{3})\\&=-\frac{1}{7}\end{aligned}$
(4)先统一形式：$0.125=\frac{1}{8}$，$12.5\%=\frac{1}{8}$，逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=-100×\frac{1}{8} - 35.5×\frac{1}{8} -14.5×\frac{1}{8}\\&=\frac{1}{8}×(-100 -35.5 -14.5)\\&=\frac{1}{8}×(-150)\\&=-\frac{75}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-3}$；(2)$\boldsymbol{-7}$；(3)$\boldsymbol{-\dfrac{1}{7}}$；(4)$\boldsymbol{-\dfrac{75}{4}}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值运算，乘法分配律应用
【点评】
本题侧重考察有理数运算的基本规则，计算过程中要重点关注符号的判断，合理运用运算律可简化计算步骤，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
6. 已知$ x,y $为有理数,现规定一种新运算※,满足$ x※y=xy+1 $。
(1)求$ 2※3 $的值。
(2)求$ (3※5)※(-2) $的值。
(3)探索$ a※(b+c) $与$ a※b+a※c $的关系,并用等式把它们表达出来。
(1)求$ 2※3 $的值。
(2)求$ (3※5)※(-2) $的值。
(3)探索$ a※(b+c) $与$ a※b+a※c $的关系,并用等式把它们表达出来。
答案
(1)7
(2)-31
(3)因为$a※(b+c)=a(b+c)+1=ab+ac+1$,$a※b+a※c=ab+1+ac+1$,所以$a※(b+c)+1=a※b+a※c$。
(2)-31
(3)因为$a※(b+c)=a(b+c)+1=ab+ac+1$,$a※b+a※c=ab+1+ac+1$,所以$a※(b+c)+1=a※b+a※c$。
解析
【分析】
解决新定义运算类题目的核心是先准确理解给定的运算规则：本题中$x※y$表示两个运算数的乘积加1。
(1)直接将$x=2$、$y=3$代入新运算公式计算即可；
(2)遵循有理数混合运算的顺序，有括号先算括号内的，先计算$3※5$的结果，再将该结果作为第一个运算数，与$-2$进行新运算即可；
(3)分别按照新运算规则把$a※(b+c)$和$a※b+a※c$展开化简，对比两个化简结果的差异，即可得到二者的等量关系。
【解析】
(1)根据新运算规则$x※y=xy+1$，代入$x=2,y=3$：
$2※3=2×3+1=6+1=7$
(2)先计算括号内的运算：
$3※5=3×5+1=15+1=16$
再计算$16※(-2)$：
$16※(-2)=16×(-2)+1=-32+1=-31$
(3)分别展开两个代数式：
$a※(b+c)=a(b+c)+1=ab+ac+1$
$a※b+a※c=(ab+1)+(ac+1)=ab+ac+2$
对比两个化简结果可得：$ab+ac+1 +1 = ab+ac+2$，即$a※(b+c)+1=a※b+a※c$
【答案】
(1)$7$
(2)$-31$
(3)$a※(b+c)+1=a※b+a※c$
【知识点】
定义新运算、有理数混合运算、代数式化简
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题的关键是严格遵循给定的运算规则代入计算，运算时注意运算顺序及符号的正确性，探索关系类问题只需分别化简对应式子再对比即可，是运算类知识的常见考察形式。
【难度系数】
0.75
解决新定义运算类题目的核心是先准确理解给定的运算规则：本题中$x※y$表示两个运算数的乘积加1。
(1)直接将$x=2$、$y=3$代入新运算公式计算即可；
(2)遵循有理数混合运算的顺序，有括号先算括号内的，先计算$3※5$的结果，再将该结果作为第一个运算数，与$-2$进行新运算即可；
(3)分别按照新运算规则把$a※(b+c)$和$a※b+a※c$展开化简，对比两个化简结果的差异，即可得到二者的等量关系。
【解析】
(1)根据新运算规则$x※y=xy+1$，代入$x=2,y=3$：
$2※3=2×3+1=6+1=7$
(2)先计算括号内的运算：
$3※5=3×5+1=15+1=16$
再计算$16※(-2)$：
$16※(-2)=16×(-2)+1=-32+1=-31$
(3)分别展开两个代数式：
$a※(b+c)=a(b+c)+1=ab+ac+1$
$a※b+a※c=(ab+1)+(ac+1)=ab+ac+2$
对比两个化简结果可得：$ab+ac+1 +1 = ab+ac+2$，即$a※(b+c)+1=a※b+a※c$
【答案】
(1)$7$
(2)$-31$
(3)$a※(b+c)+1=a※b+a※c$
【知识点】
定义新运算、有理数混合运算、代数式化简
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题的关键是严格遵循给定的运算规则代入计算，运算时注意运算顺序及符号的正确性，探索关系类问题只需分别化简对应式子再对比即可，是运算类知识的常见考察形式。
【难度系数】
0.75
