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例3 计算：
(1) $-2^2 - |-6| - 2 - 9 × (-\dfrac{1}{3})$；
(2) $[2 - (2 - 2.4 × \dfrac{2}{3})] × [-3^2 - (-2)^3]$。
防范点:有理数混合运算中注意运算顺序,特别是乘、除同级运算时,注意从左到右的运算顺序。
【反思】有理数的混合运算要注意运算的顺序不要搞错,$-3^2$的求值也是一个易错点。
(1) $-2^2 - |-6| - 2 - 9 × (-\dfrac{1}{3})$；
(2) $[2 - (2 - 2.4 × \dfrac{2}{3})] × [-3^2 - (-2)^3]$。
防范点:有理数混合运算中注意运算顺序,特别是乘、除同级运算时,注意从左到右的运算顺序。
【反思】有理数的混合运算要注意运算的顺序不要搞错,$-3^2$的求值也是一个易错点。
答案
(1)原式=-4-6-2+3=-9。
(2)原式=(2-2+1.6)×(-9+8)=1.6×(-1)=-1.6。
(2)原式=(2-2+1.6)×(-9+8)=1.6×(-1)=-1.6。
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，同级运算从左到右”的顺序。对于(1)，先分别计算乘方、绝对值、乘法，再按从左到右顺序计算加减，注意区分$-2^2$是负的2的平方，结果为-4，负数乘负数得正；对于(2)，先分别计算中括号和后一个括号内的运算，括号内同样先算乘方、乘法，再算加减，注意$-3^2=-9$，$(-2)^3=-8$，减去一个负数等于加上它的相反数，最后计算乘法即可。
【解析】
(1) 先计算乘方、绝对值、乘法：
$-2^2=-4$，$|-6|=6$，$9×(-\dfrac{1}{3})=-3$
$\begin{aligned}原式&=-4 - 6 - 2 - (-3)\\&=-4 - 6 - 2 + 3\\&=-12 + 3\\&=-9\end{aligned}$
(2) 先分别计算两个括号内的运算：
中括号内：先算最内层乘法$2.4×\dfrac{2}{3}=1.6$，再依次计算括号内加减：$2-(2-1.6)=2-2+1.6=1.6$
后一个括号内：先算乘方$-3^2=-9$，$(-2)^3=-8$，再算加减：$-9 - (-8)=-9 + 8=-1$
$\begin{aligned}原式&=1.6×(-1)\\&=-1.6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{-1.6}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值化简，乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，核心易错点在于带负号的乘方运算（如$-3^2$与$(-3)^2$的区别）、符号变化及运算顺序，计算时养成按步骤运算的习惯可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的混合运算，解题需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，同级运算从左到右”的顺序。对于(1)，先分别计算乘方、绝对值、乘法，再按从左到右顺序计算加减，注意区分$-2^2$是负的2的平方，结果为-4，负数乘负数得正；对于(2)，先分别计算中括号和后一个括号内的运算，括号内同样先算乘方、乘法，再算加减，注意$-3^2=-9$，$(-2)^3=-8$，减去一个负数等于加上它的相反数，最后计算乘法即可。
【解析】
(1) 先计算乘方、绝对值、乘法：
$-2^2=-4$，$|-6|=6$，$9×(-\dfrac{1}{3})=-3$
$\begin{aligned}原式&=-4 - 6 - 2 - (-3)\\&=-4 - 6 - 2 + 3\\&=-12 + 3\\&=-9\end{aligned}$
(2) 先分别计算两个括号内的运算：
中括号内：先算最内层乘法$2.4×\dfrac{2}{3}=1.6$，再依次计算括号内加减：$2-(2-1.6)=2-2+1.6=1.6$
后一个括号内：先算乘方$-3^2=-9$，$(-2)^3=-8$，再算加减：$-9 - (-8)=-9 + 8=-1$
$\begin{aligned}原式&=1.6×(-1)\\&=-1.6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{-1.6}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值化简，乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，核心易错点在于带负号的乘方运算（如$-3^2$与$(-3)^2$的区别）、符号变化及运算顺序，计算时养成按步骤运算的习惯可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
例4 用简便方法计算：
(1)$(-61\dfrac{3}{4})-(-5\dfrac{1}{2})+(1\dfrac{3}{4})-(+8.5)$；
(2)$(-\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{6})×(-36)$；
(3)$17×25-6×25+7×(-2)-13×25$；
(4)$15×(-\dfrac{3}{4})-15×1.5+25\%×15$；
(5)$19\dfrac{98}{99}×(-11)$。
【反思】合理地利用加法和乘法的运算律可以加快计算速度，分配律和分配律的逆向使用也是简便计算的一种重要的方法。
(1)$(-61\dfrac{3}{4})-(-5\dfrac{1}{2})+(1\dfrac{3}{4})-(+8.5)$；
(2)$(-\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{6})×(-36)$；
(3)$17×25-6×25+7×(-2)-13×25$；
(4)$15×(-\dfrac{3}{4})-15×1.5+25\%×15$；
(5)$19\dfrac{98}{99}×(-11)$。
【反思】合理地利用加法和乘法的运算律可以加快计算速度，分配律和分配律的逆向使用也是简便计算的一种重要的方法。
答案
(1)-63 (2)-2 (3)-64 (4)-30 (5)$-219\dfrac{8}{9}$
解析
【分析】
这是一组有理数简便运算题，解题核心是灵活运用加法交换律、结合律，乘法分配律及其逆用，通过凑整、合并同特征项简化计算：
1. 第(1)题先去括号，将小数统一为分数，再把同分母的带分数、分数分别分组凑整计算；
2. 第(2)题括号内分数的分母都是36的因数，直接用乘法分配律展开计算更简便；
3. 第(3)题先提取相同因数25，逆用分配律计算含25的项，再计算剩余项后合并；
4. 第(4)题先将百分数、小数统一为分数，提取相同因数15后逆用分配律计算；
5. 第(5)题将接近整十的带分数拆成整数减真分数的形式，再用乘法分配律展开计算。
【解析】
(1) 先去括号，将$8.5$化为$8\dfrac{1}{2}$：
原式$=-61\dfrac{3}{4}+5\dfrac{1}{2}+1\dfrac{3}{4}-8\dfrac{1}{2}$
分组凑整：$=(-61\dfrac{3}{4}+1\dfrac{3}{4})+(5\dfrac{1}{2}-8\dfrac{1}{2})$
$=-60+(-3)=-63$
(2) 运用乘法分配律展开：
原式$=(-\dfrac{1}{12})×(-36)+(-\dfrac{1}{36})×(-36)+\dfrac{1}{6}×(-36)$
$=3+1-6=-2$
(3) 逆用乘法分配律提取公因数25：
原式$=25×(17-6-13)+7×(-2)$
$=25×(-2)-14$
$=-50-14=-64$
(4) 将$1.5$化为$\dfrac{3}{2}$，$25\%$化为$\dfrac{1}{4}$，逆用乘法分配律提取公因数15：
原式$=15×(-\dfrac{3}{4})-15×\dfrac{3}{2}+15×\dfrac{1}{4}$
$=15×(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4})$
$=15×(-2)=-30$
(5) 将$19\dfrac{98}{99}$拆为$20-\dfrac{1}{99}$，再用乘法分配律展开：
原式$=(20-\dfrac{1}{99})×(-11)$
$=20×(-11)-\dfrac{1}{99}×(-11)$
$=-220+\dfrac{1}{9}=-219\dfrac{8}{9}$
【答案】
(1)$-63$；(2)$-2$；(3)$-64$；(4)$-30$；(5)$-219\dfrac{8}{9}$
【知识点】
有理数运算律，简便运算，乘法分配律
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，重点考察运算律的灵活运用，掌握凑整、提取公因数、带分数拆分等技巧，能有效提升运算效率和准确率，避免复杂运算导致的错误。
【难度系数】
0.7
这是一组有理数简便运算题，解题核心是灵活运用加法交换律、结合律，乘法分配律及其逆用，通过凑整、合并同特征项简化计算：
1. 第(1)题先去括号，将小数统一为分数，再把同分母的带分数、分数分别分组凑整计算；
2. 第(2)题括号内分数的分母都是36的因数，直接用乘法分配律展开计算更简便；
3. 第(3)题先提取相同因数25，逆用分配律计算含25的项，再计算剩余项后合并；
4. 第(4)题先将百分数、小数统一为分数，提取相同因数15后逆用分配律计算；
5. 第(5)题将接近整十的带分数拆成整数减真分数的形式，再用乘法分配律展开计算。
【解析】
(1) 先去括号，将$8.5$化为$8\dfrac{1}{2}$：
原式$=-61\dfrac{3}{4}+5\dfrac{1}{2}+1\dfrac{3}{4}-8\dfrac{1}{2}$
分组凑整：$=(-61\dfrac{3}{4}+1\dfrac{3}{4})+(5\dfrac{1}{2}-8\dfrac{1}{2})$
$=-60+(-3)=-63$
(2) 运用乘法分配律展开：
原式$=(-\dfrac{1}{12})×(-36)+(-\dfrac{1}{36})×(-36)+\dfrac{1}{6}×(-36)$
$=3+1-6=-2$
(3) 逆用乘法分配律提取公因数25：
原式$=25×(17-6-13)+7×(-2)$
$=25×(-2)-14$
$=-50-14=-64$
(4) 将$1.5$化为$\dfrac{3}{2}$，$25\%$化为$\dfrac{1}{4}$，逆用乘法分配律提取公因数15：
原式$=15×(-\dfrac{3}{4})-15×\dfrac{3}{2}+15×\dfrac{1}{4}$
$=15×(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4})$
$=15×(-2)=-30$
(5) 将$19\dfrac{98}{99}$拆为$20-\dfrac{1}{99}$，再用乘法分配律展开：
原式$=(20-\dfrac{1}{99})×(-11)$
$=20×(-11)-\dfrac{1}{99}×(-11)$
$=-220+\dfrac{1}{9}=-219\dfrac{8}{9}$
【答案】
(1)$-63$；(2)$-2$；(3)$-64$；(4)$-30$；(5)$-219\dfrac{8}{9}$
【知识点】
有理数运算律，简便运算，乘法分配律
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，重点考察运算律的灵活运用，掌握凑整、提取公因数、带分数拆分等技巧，能有效提升运算效率和准确率，避免复杂运算导致的错误。
【难度系数】
0.7
例5 (1)用四舍五入法将数18.49精确到个位,其近似值为
(2)据2024年人口变动抽样调查结果推算,浙江省常住人口6670万人,比上年增长43万人。数据6670万用科学记数法表示为 (
A. $6.670×10^7$ B. $66.70×10^6$
C. $667×10^5$ D. $6670×10^4$
【反思】(1)掌握四舍五入的方法；(2)对于大于10的数,可以写成$a×10^n$的形式,其中$1≤a＜10$,n为正整数,n的值比原数的位数少1。
18
。(2)据2024年人口变动抽样调查结果推算,浙江省常住人口6670万人,比上年增长43万人。数据6670万用科学记数法表示为 (
A
)A. $6.670×10^7$ B. $66.70×10^6$
C. $667×10^5$ D. $6670×10^4$
【反思】(1)掌握四舍五入的方法；(2)对于大于10的数,可以写成$a×10^n$的形式,其中$1≤a＜10$,n为正整数,n的值比原数的位数少1。
答案
(1)18 (2)A
解析
【分析】
(1)要将数精确到个位，需遵循四舍五入规则：看精确位的下一位（即十分位）的数字，若数字小于5则舍去后面的数，若大于等于5则向精确位进1。(2)用科学记数法表示数时，首先要明确科学记数法的形式为$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，n等于原数的整数位数减1；遇到带“万”这类单位的数，要先还原为普通整数再计算。
【解析】
(1)18.49精确到个位，观察十分位上的数字是4，4＜5，因此舍去十分位及后面的所有数字，得到近似值18。
(2)先将6670万还原为原数：6670万=66700000，原数是8位整数。根据科学记数法规则，$a=6.670$（满足$1≤6.670＜10$），$n=8-1=7$，因此6670万用科学记数法表示为$6.670×10^7$，对应选项A。
【答案】
(1)18；(2)A
【知识点】
近似数的四舍五入；科学记数法的表示
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考察四舍五入取近似值的规则和科学记数法的表示方法，都是有理数章节的常规考点。解题时要注意：取近似值时仅需判断精确位的下一位数字即可；表示带单位的数的科学记数法时，要先还原原数再确定a和n的值，避免出错。
【难度系数】
0.9
(1)要将数精确到个位，需遵循四舍五入规则：看精确位的下一位（即十分位）的数字，若数字小于5则舍去后面的数，若大于等于5则向精确位进1。(2)用科学记数法表示数时，首先要明确科学记数法的形式为$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，n等于原数的整数位数减1；遇到带“万”这类单位的数，要先还原为普通整数再计算。
【解析】
(1)18.49精确到个位，观察十分位上的数字是4，4＜5，因此舍去十分位及后面的所有数字，得到近似值18。
(2)先将6670万还原为原数：6670万=66700000，原数是8位整数。根据科学记数法规则，$a=6.670$（满足$1≤6.670＜10$），$n=8-1=7$，因此6670万用科学记数法表示为$6.670×10^7$，对应选项A。
【答案】
(1)18；(2)A
【知识点】
近似数的四舍五入；科学记数法的表示
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考察四舍五入取近似值的规则和科学记数法的表示方法，都是有理数章节的常规考点。解题时要注意：取近似值时仅需判断精确位的下一位数字即可；表示带单位的数的科学记数法时，要先还原原数再确定a和n的值，避免出错。
【难度系数】
0.9
例6 为了增强体质,小明给自己设定:以每天跳绳数量a个为基准,超过的部分记为正,不足的部分记为负。手机应用程序记录小明一周跳绳数量情况记录如下:
星期 一 二 三 四 五 六 日
与基准a的差/个 +20 +80
-40 -80 +120 +40
小明周六和周日共跳了1160个。
(1)求a的值。
(2)小明本周共跳绳多少个?
【反思】本题要审清题意,注意正、负所表达的含义,抓住题中各数量之间的关系。
星期 一 二 三 四 五 六 日
与基准a的差/个 +20 +80
-40 -80 +120 +40小明周六和周日共跳了1160个。
(1)求a的值。
(2)小明本周共跳绳多少个?
【反思】本题要审清题意,注意正、负所表达的含义,抓住题中各数量之间的关系。
答案
(1)$a=(1160-120-40)÷2=1000÷2=500$。
(2)$500×7+(20+80+80-40-80+120+40)=3500+220=3720$(个),即小明本周共跳绳3720个。
(2)$500×7+(20+80+80-40-80+120+40)=3500+220=3720$(个),即小明本周共跳绳3720个。
解析
【分析】
（1）首先理解“与基准a的差”的含义：正数表示比基准a多对应的数量，负数表示比基准a少对应的数量。周六跳绳数为$(a+120)$个，周日跳绳数为$(a+40)$个，已知两天总数量为1160个，将两天数量相加等于总数量，即可求出a的值。
（2）本周总跳绳数等于7天的基准总数量（即$7a$），加上7天与基准差的总和，先计算所有差值的和，再和基准总量相加即可得到总数量。
【解析】
解：(1) 由题意得，周六跳绳$(a+120)$个，周日跳绳$(a+40)$个，两天合计1160个：
$a=(1160-120-40)÷2=1000÷2=500$
(2) 先计算7天与基准的差的总和：
$20+80+80-40-80+120+40=220$（个）
本周总跳绳数为基准总量加差值总和：
$500×7+220=3500+220=3720$（个）
【答案】
(1) $a=500$
(2) 小明本周共跳绳3720个
【知识点】
正负数的实际应用；有理数加减运算；代数式求值
【点评】
本题重点考查正负数在实际场景中的应用，解题关键是明确正负号的含义，理清数量间的关系，计算时要注意正负号的运算规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
（1）首先理解“与基准a的差”的含义：正数表示比基准a多对应的数量，负数表示比基准a少对应的数量。周六跳绳数为$(a+120)$个，周日跳绳数为$(a+40)$个，已知两天总数量为1160个，将两天数量相加等于总数量，即可求出a的值。
（2）本周总跳绳数等于7天的基准总数量（即$7a$），加上7天与基准差的总和，先计算所有差值的和，再和基准总量相加即可得到总数量。
【解析】
解：(1) 由题意得，周六跳绳$(a+120)$个，周日跳绳$(a+40)$个，两天合计1160个：
$a=(1160-120-40)÷2=1000÷2=500$
(2) 先计算7天与基准的差的总和：
$20+80+80-40-80+120+40=220$（个）
本周总跳绳数为基准总量加差值总和：
$500×7+220=3500+220=3720$（个）
【答案】
(1) $a=500$
(2) 小明本周共跳绳3720个
【知识点】
正负数的实际应用；有理数加减运算；代数式求值
【点评】
本题重点考查正负数在实际场景中的应用，解题关键是明确正负号的含义，理清数量间的关系，计算时要注意正负号的运算规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
