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1.成语是中国文化的瑰宝.下列成语描述的事件是不可能事件的是()
A.守株待兔
B.水中捞月
C.旭日东升
D.水涨船高
A.守株待兔
B.水中捞月
C.旭日东升
D.水涨船高
答案
B
解析
根据不可能事件的定义：一定不会发生的事件叫做不可能事件，逐一分析选项：
选项A：守株待兔，事件可能发生也可能不发生，属于随机事件；
选项B：水中捞月，水中不存在真实的月亮，该事件一定不会发生，属于不可能事件；
选项C：旭日东升是必然会发生的自然现象，属于必然事件；
选项D：水涨船高是符合物理规律的必然现象，属于必然事件。
综上，答案是B。
选项A：守株待兔，事件可能发生也可能不发生，属于随机事件；
选项B：水中捞月，水中不存在真实的月亮，该事件一定不会发生，属于不可能事件；
选项C：旭日东升是必然会发生的自然现象，属于必然事件；
选项D：水涨船高是符合物理规律的必然现象，属于必然事件。
综上，答案是B。
2.通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{5}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{5}$
答案
C
解析
根据用频率估计概率的知识点，在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定到某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。本题中钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，而0.75=$\frac{3}{4}$，因此可估计钉尖朝上的概率为$\frac{3}{4}$。
3. 将一枚质地均匀的硬币抛掷5次，有3次反面朝上，2次正面朝上。那么，将这枚硬币再抛掷一次，第6次反面朝上的可能性是（）
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
D
解析
质地均匀的硬币每次抛掷的结果相互独立，不受前5次抛掷结果的影响，抛掷一枚均匀硬币时，反面朝上和正面朝上的可能性相等，因此第6次反面朝上的可能性为$\frac{1}{2}$。
4.若有甲、乙、丙、丁四名运动员参加$4×100\ \mathrm{m}$接力赛，丁已定为第四棒的运动员，则四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有种.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：已知丁固定为第四棒，只需对甲、乙、丙三名运动员安排第一、二、三棒的顺序。
第一棒有3种不同的选择，选定第一棒后，第二棒剩余2种选择，选定第二棒后，第三棒仅剩1种选择。
因此接棒顺序的总种数为 $3×2×1=6$。
最终
第一棒有3种不同的选择，选定第一棒后，第二棒剩余2种选择，选定第二棒后，第三棒仅剩1种选择。
因此接棒顺序的总种数为 $3×2×1=6$。
最终
5.如图,四边形ABCD是平行四边形,从①$AC=BD$;②$AC⊥ BD$;③$AB=BC$这三个条件中任意选取两个,能使$□ ABCD$成为正方形的概率为.
答案
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
解析
解：
从三个条件中任意选取两个，所有等可能的结果为：①②、①③、②③，共3种。
逐一验证：
1. 选取①②：平行四边形$ABCD$中，$AC=BD$可判定$ABCD$是矩形，结合$AC⊥ BD$，可得矩形$ABCD$是正方形，符合要求；
2. 选取①③：平行四边形$ABCD$中，$AC=BD$可判定$ABCD$是矩形，结合$AB=BC$，可得邻边相等的矩形$ABCD$是正方形，符合要求；
3. 选取②③：平行四边形$ABCD$中，$AC⊥ BD$可判定$ABCD$是菱形，$AB=BC$同样只能判定$ABCD$是菱形，无法得到其为正方形，不符合要求。
符合要求的结果共2种，因此所求概率为$\frac{2}{3}$。
最终
从三个条件中任意选取两个，所有等可能的结果为：①②、①③、②③，共3种。
逐一验证：
1. 选取①②：平行四边形$ABCD$中，$AC=BD$可判定$ABCD$是矩形，结合$AC⊥ BD$，可得矩形$ABCD$是正方形，符合要求；
2. 选取①③：平行四边形$ABCD$中，$AC=BD$可判定$ABCD$是矩形，结合$AB=BC$，可得邻边相等的矩形$ABCD$是正方形，符合要求；
3. 选取②③：平行四边形$ABCD$中，$AC⊥ BD$可判定$ABCD$是菱形，$AB=BC$同样只能判定$ABCD$是菱形，无法得到其为正方形，不符合要求。
符合要求的结果共2种，因此所求概率为$\frac{2}{3}$。
最终
6.如图,在直径BC为$2\sqrt{2}$的圆内有一个圆心角为$90°$的扇形BAC,随机地往圆内投一粒米,该粒米落在扇形内的概率为.
答案
解：
∵ BC是圆的直径，BC=2√2，
∴ 该圆的半径为√2，圆的面积$S_{\mathrm{圆}}=π· (\sqrt{2})^2=2π$。
∵ 扇形BAC的圆心角$∠ BAC=90°$，且AB=AC，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=(2\sqrt{2})^2=8$，
解得$AB=2$。
∴ 扇形BAC的面积$S_{\mathrm{扇形}}=\dfrac{90π· AB^2}{360}=\dfrac{90π×4}{360}=π$。
∴ 该粒米落在扇形内的概率$P=\dfrac{S_{\mathrm{扇形}}}{S_{\mathrm{圆}}}=\dfrac{π}{2π}=\dfrac{1}{2}$。
$\dfrac{1}{2}$
∵ BC是圆的直径，BC=2√2，
∴ 该圆的半径为√2，圆的面积$S_{\mathrm{圆}}=π· (\sqrt{2})^2=2π$。
∵ 扇形BAC的圆心角$∠ BAC=90°$，且AB=AC，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=(2\sqrt{2})^2=8$，
解得$AB=2$。
∴ 扇形BAC的面积$S_{\mathrm{扇形}}=\dfrac{90π· AB^2}{360}=\dfrac{90π×4}{360}=π$。
∴ 该粒米落在扇形内的概率$P=\dfrac{S_{\mathrm{扇形}}}{S_{\mathrm{圆}}}=\dfrac{π}{2π}=\dfrac{1}{2}$。
$\dfrac{1}{2}$
7.如图,管中放置着三根同样的绳子$AA_1,BB_1,CC_1$.
（1）小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子$AA_1$的概率是；
（2）小明先从左端$A,B,C$三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端$A_1,B_1,C_1$三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.
（1）小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子$AA_1$的概率是；
（2）小明先从左端$A,B,C$三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端$A_1,B_1,C_1$三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.
答案
解：
(1) 共有3根等可能被选中的绳子，恰好选中绳子$AA_1$的概率是$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；
(2) 左端从$A,B,C$三个绳头中随机选两个打结的所有等可能结果为：$AB$、$AC$、$BC$，共3种；
右端从$A_1,B_1,C_1$三个绳头中随机选两个打结的所有等可能结果为：$A_1B_1$、$A_1C_1$、$B_1C_1$，共3种。
所有等可能的组合结果共有$3×3=9$种。
其中能将三根绳子连接成一根长绳的结果共6种，分别为：$(AB,A_1C_1)$、$(AB,B_1C_1)$、$(AC,A_1B_1)$、$(AC,B_1C_1)$、$(BC,A_1B_1)$、$(BC,A_1C_1)$。
因此这三根绳子能连接成一根长绳的概率为$P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
(1) 共有3根等可能被选中的绳子，恰好选中绳子$AA_1$的概率是$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；
(2) 左端从$A,B,C$三个绳头中随机选两个打结的所有等可能结果为：$AB$、$AC$、$BC$，共3种；
右端从$A_1,B_1,C_1$三个绳头中随机选两个打结的所有等可能结果为：$A_1B_1$、$A_1C_1$、$B_1C_1$，共3种。
所有等可能的组合结果共有$3×3=9$种。
其中能将三根绳子连接成一根长绳的结果共6种，分别为：$(AB,A_1C_1)$、$(AB,B_1C_1)$、$(AC,A_1B_1)$、$(AC,B_1C_1)$、$(BC,A_1B_1)$、$(BC,A_1C_1)$。
因此这三根绳子能连接成一根长绳的概率为$P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
