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1. (2024·宿城期末)多项式 $12a^{3}b - 8ab^{2}c$ 的公因式为(
A.$4a^{2}$
B.$4abc$
C.$2a^{2}$
D.$4ab$
D
)A.$4a^{2}$
B.$4abc$
C.$2a^{2}$
D.$4ab$
答案
1. D
解析
12a³b - 8ab²c中，系数12和8的最大公约数是4；字母部分a的最低次幂是a¹，b的最低次幂是b¹，c只在第二项出现，故公因式为4ab。
D
D
2. 多项式 $am - an + ap^{2}$ 提取公因式 $a$ 后，另一个因式为(
A.$m - n + p$
B.$m - n$
C.$m - n + p^{2}$
D.$m - n + 1$
C
)A.$m - n + p$
B.$m - n$
C.$m - n + p^{2}$
D.$m - n + 1$
答案
2. C
解析
多项式 $am - an + ap^2$ 提取公因式 $a$ 后，可得 $a(m - n + p^2)$，另一个因式为 $m - n + p^2$。
C
C
3. 把 $2x(a - b) - 4y(b - a)$ 因式分解，提取公因式为
$ 2(a - b) $
.答案
3. $ 2(a - b) $
4. 写出一个公因式为 $3xy$ 且次数为 $3$ 的多项式：
$ 3xy - 6xy^{2} $（答案不唯一）
.答案
4. $ 3xy - 6xy^{2} $（答案不唯一）
5. 分解因式：
(1)(2025·湖南)$a^{2} + 13a =$
(2)(2025·宿城一模)$a^{2}b - 5ab =$
(1)(2025·湖南)$a^{2} + 13a =$
$ a(a + 13) $
；(2)(2025·宿城一模)$a^{2}b - 5ab =$
$ ab(a - 5) $
.答案
5. （1）$ a(a + 13) $ （2）$ ab(a - 5) $
解析
(1) $a(a + 13)$；
(2) $ab(a - 5)$
(2) $ab(a - 5)$
6. 把下列各式分解因式：
（1）$4a^{2}b^{3} - 14ab^{2}c$；
（2）$4x^{2}y^{3} + 16x^{2}y^{2}z - 12xy^{2}z$；
（3）$-6x^{3} + 18x^{2} - 6x$；
（4）$2(b - a)^{2} - 6a(a - b)$.
（1）$4a^{2}b^{3} - 14ab^{2}c$；
（2）$4x^{2}y^{3} + 16x^{2}y^{2}z - 12xy^{2}z$；
（3）$-6x^{3} + 18x^{2} - 6x$；
（4）$2(b - a)^{2} - 6a(a - b)$.
答案
6. （1）$ 2ab^{2}(2ab - 7c) $ （2）$ 4xy^{2}(xy + 4xz - 3z) $ （3）$ -6x(x^{2} - 3x + 1) $ （4）$ -2(a - b)(2a + b) $
解析
（1）$4a^{2}b^{3} - 14ab^{2}c = 2ab^{2}(2ab - 7c)$；
（2）$4x^{2}y^{3} + 16x^{2}y^{2}z - 12xy^{2}z = 4xy^{2}(xy + 4xz - 3z)$；
（3）$-6x^{3} + 18x^{2} - 6x = -6x(x^{2} - 3x + 1)$；
（4）$2(b - a)^{2} - 6a(a - b) = 2(a - b)^{2} - 6a(a - b) = (a - b)(2(a - b) - 6a) = (a - b)(2a - 2b - 6a) = (a - b)(-4a - 2b) = -2(a - b)(2a + b)$。
（2）$4x^{2}y^{3} + 16x^{2}y^{2}z - 12xy^{2}z = 4xy^{2}(xy + 4xz - 3z)$；
（3）$-6x^{3} + 18x^{2} - 6x = -6x(x^{2} - 3x + 1)$；
（4）$2(b - a)^{2} - 6a(a - b) = 2(a - b)^{2} - 6a(a - b) = (a - b)(2(a - b) - 6a) = (a - b)(2a - 2b - 6a) = (a - b)(-4a - 2b) = -2(a - b)(2a + b)$。
7. 分解因式 $mn(m - n) - m(n - m)$ 的结果为(
A.$m(m - n)(n + 1)$
B.$m(n - m)(n + 1)$
C.$m(m - n)(n - 1)$
D.$m(n - m)(n - 1)$
A
)A.$m(m - n)(n + 1)$
B.$m(n - m)(n + 1)$
C.$m(m - n)(n - 1)$
D.$m(n - m)(n - 1)$
答案
7. A
解析
$mn(m - n) - m(n - m)$
$=mn(m - n) + m(m - n)$
$=m(m - n)(n + 1)$
A
$=mn(m - n) + m(m - n)$
$=m(m - n)(n + 1)$
A
8. 已知多项式 $4x^{3}y - M$ 可分解因式为 $4xy(x^{2} - y^{2} + ab)$，则 $M$ 等于(
A.$-4xy^{3} + 4abxy$
B.$-4xy^{3} - 4abxy$
C.$4xy^{3} + 4abxy$
D.$4xy^{3} - 4abxy$
D
)A.$-4xy^{3} + 4abxy$
B.$-4xy^{3} - 4abxy$
C.$4xy^{3} + 4abxy$
D.$4xy^{3} - 4abxy$
答案
8. D
解析
因为多项式$4x^{3}y - M$可分解因式为$4xy(x^{2} - y^{2} + ab)$，所以$4x^{3}y - M=4xy(x^{2} - y^{2} + ab)$。
展开右边可得：$4xy · x^{2} - 4xy · y^{2} + 4xy · ab = 4x^{3}y - 4xy^{3} + 4abxy$。
则$4x^{3}y - M = 4x^{3}y - 4xy^{3} + 4abxy$，移项可得$M = 4x^{3}y - (4x^{3}y - 4xy^{3} + 4abxy) = 4xy^{3} - 4abxy$。
D
展开右边可得：$4xy · x^{2} - 4xy · y^{2} + 4xy · ab = 4x^{3}y - 4xy^{3} + 4abxy$。
则$4x^{3}y - M = 4x^{3}y - 4xy^{3} + 4abxy$，移项可得$M = 4x^{3}y - (4x^{3}y - 4xy^{3} + 4abxy) = 4xy^{3} - 4abxy$。
D
9. (2025·宿迁模拟)若实数 $a$，$b$ 满足 $a + b = 5$，$a^{2}b + ab^{2} = -15$，则 $ab$ 的值是
$ -3 $
.答案
9. $ -3 $
解析
解：因为$a + b = 5$，$a^{2}b + ab^{2} = -15$，
而$a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b)$，
所以$ab(a + b) = -15$，
将$a + b = 5$代入上式，得$5ab = -15$，
解得$ab = -3$。
$-3$
而$a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b)$，
所以$ab(a + b) = -15$，
将$a + b = 5$代入上式，得$5ab = -15$，
解得$ab = -3$。
$-3$
10. 把下列各式分解因式：
（1）$-5a^{2}b^{3} + 20ab^{2} - 5ab$；
（2）$(2x - y)(x + 3y) - (x + y)(y - 2x)$；
（3）$(x + y)(x - y) - (x + y)^{2}$；
（4）$5x(x - 2y)^{2} - 20(2y - x)^{3}$.
（1）$-5a^{2}b^{3} + 20ab^{2} - 5ab$；
（2）$(2x - y)(x + 3y) - (x + y)(y - 2x)$；
（3）$(x + y)(x - y) - (x + y)^{2}$；
（4）$5x(x - 2y)^{2} - 20(2y - x)^{3}$.
答案
10. （1）$ -5ab(ab^{2} - 4b + 1) $ （2）$ 2(2x - y)(x + 2y) $ （3）$ -2y · (x + y) $ （4）$ 5(x - 2y)^{2}(5x - 8y) $
解析
（1）$-5a^{2}b^{3} + 20ab^{2} - 5ab = -5ab(ab^{2} - 4b + 1)$；
（2）$(2x - y)(x + 3y) - (x + y)(y - 2x) = (2x - y)(x + 3y) + (x + y)(2x - y) = (2x - y)[(x + 3y) + (x + y)] = (2x - y)(2x + 4y) = 2(2x - y)(x + 2y)$；
（3）$(x + y)(x - y) - (x + y)^{2} = (x + y)[(x - y) - (x + y)] = (x + y)(-2y) = -2y(x + y)$；
（4）$5x(x - 2y)^{2} - 20(2y - x)^{3} = 5x(x - 2y)^{2} + 20(x - 2y)^{3} = 5(x - 2y)^{2}[x + 4(x - 2y)] = 5(x - 2y)^{2}(5x - 8y)$
（2）$(2x - y)(x + 3y) - (x + y)(y - 2x) = (2x - y)(x + 3y) + (x + y)(2x - y) = (2x - y)[(x + 3y) + (x + y)] = (2x - y)(2x + 4y) = 2(2x - y)(x + 2y)$；
（3）$(x + y)(x - y) - (x + y)^{2} = (x + y)[(x - y) - (x + y)] = (x + y)(-2y) = -2y(x + y)$；
（4）$5x(x - 2y)^{2} - 20(2y - x)^{3} = 5x(x - 2y)^{2} + 20(x - 2y)^{3} = 5(x - 2y)^{2}[x + 4(x - 2y)] = 5(x - 2y)^{2}(5x - 8y)$
