9. 一个装满牛奶的长方体牛奶盒，长 6 厘米，宽 4 厘米，高 12 厘米。小亮倒出一些牛奶后，盒中空出的部分如图所示。小亮倒出了()毫升牛奶。(盒子厚度忽略不计)

96

空出部分为三棱柱，底面直角三角形两条直角边分别为6厘米和8厘米（由勾股定理6²+8²=10²得另一直角边8厘米），底面积=6×8÷2=24平方厘米，三棱柱高为长方体宽4厘米，体积=24×4=96立方厘米，即倒出96毫升牛奶。

10. 将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为 1 立方厘米的小正方体，其中两面涂色的有 24 块，原来正方体的体积是()立方厘米，一面涂色的小正方体有()块。

$64$；$24$。

本题可根据正方体分割后小正方体涂色情况的特点来求解原正方体的棱长，进而求出原正方体的体积和一面涂色的小正方体的数量。
步骤一：求原正方体的棱长
在正方体分割成若干个小正方体后，两面涂色的小正方体在每条棱除两端外的位置。
设原正方体每条棱上有$n$个小正方体，则每条棱上两面涂色的小正方体有$(n - 2)$个，而正方体有$12$条棱，那么两面涂色的小正方体总共有$12×(n - 2)$块。
已知两面涂色的有$24$块，则可列出方程$12×(n - 2)=24$，
解方程可得$n - 2 = 2$，$n = 4$，即原正方体每条棱上有$4$个小正方体。
因为每个小正方体的体积为$1$立方厘米，所以原正方体的棱长为$4$厘米。
步骤二：求原正方体的体积
根据正方体的体积公式$V=a^3$（其中$V$为正方体体积，$a$为正方体棱长），可得原正方体体积为$4^3 = 64$立方厘米。
步骤三：求一面涂色的小正方体的数量
一面涂色的小正方体在每个面中间部分，每个面一面涂色的小正方体有$(n - 2)^2$个，而正方体有$6$个面，则一面涂色的小正方体总共有$6×(n - 2)^2$块。
把$n = 4$代入可得：$6×(4 - 2)^2=6×4 = 24$块。

11. 如图，长方体的长是 20 厘米，高是 4 厘米，阴影部分两个面的面积之和是 120 平方厘米。这个长方体的体积是()立方厘米。

400

设长方体的宽为$b$厘米。阴影部分两个面为底面（长×宽）和侧面（宽×高），面积之和为$20b + 4b = 24b$。由题意得$24b = 120$，解得$b = 5$。体积为$20×5×4 = 400$立方厘米。

12. 下图中每个正方体的棱长是 $ a $。

表面积：$ 6a^{2} $         $ 10a^{2} $ () ()

$14a^{2}$；$402a^{2}$

1个正方体表面积：$6a^{2}$；2个正方体拼接，重合2个面，表面积为$6a^{2}×2 - 2a^{2}=10a^{2}$。规律：每增加1个正方体，表面积增加$4a^{2}$（因重合2个面，减少$2a^{2}$，实际增加$6a^{2}-2a^{2}=4a^{2}$）。故n个正方体表面积公式为$6a^{2}+4(n-1)a^{2}=(4n+2)a^{2}$。3个正方体：$4×3+2=14$，表面积$14a^{2}$；100个正方体：$4×100+2=402$，表面积$402a^{2}$。

二、明辨是非。
1. 如果两个长方体体积相等，那么它们的长、宽、高一定都相等。()
2. 把一个表面积为 6 平方分米的木块放在桌面上，木块所占桌面的面积是 1 平方分米。()
3. 把 3 个棱长是 1 分米的正方体拼成一个长方体后，表面积比原来减少了 4 平方分米。()
4. 至少需要 4 个完全一样的小正方体才能拼成一个较大的正方体。()
5. 一个厚玻璃瓶的体积是 3 立方分米，瓶里一定能装 3 升水。()
6. 用 27 块 1 立方厘米的小正方体拼成一个大正方体，任意拿走一个小正方体，表面积都不变。()
7. 将一个长方体切成两个相同的小正方体，每个小正方体的表面积是原来长方体表面积的一半。()

×
×
√
×
×
×
×

表面积为6平方分米的木块，若为正方体，每个面面积为1平方分米，此时放在桌面所占面积是1平方分米；但木块不一定是正方体，若为其他形状，所占桌面面积不一定是1平方分米。故题目说法错误。


3个正方体拼成长方体，减少4个正方形面，每个面面积1×1=1平方分米，减少面积4×1=4平方分米。


要拼成一个较大的正方体，每条棱上至少需要2个小正方体，所以至少需要$2×2×2 = 8$个完全一样的小正方体。


要判断厚玻璃瓶的体积是3立方分米时，瓶里是否能一定装3升水，需要明确体积和容积的概念。体积是指物体所占空间的大小，而容积是指容器所能容纳物体的体积。由于玻璃瓶是厚的，玻璃本身占据了一定的体积，所以瓶子的容积一定小于它的体积3立方分米。因为1立方分米 = 1升，所以该瓶里不能一定能装3升水。


27块1立方厘米的小正方体拼成的大正方体棱长为3厘米。大正方体表面的小正方体每个外露3个面，拿走后会露出原来被遮挡的3个面，表面积不变；但位于顶点的小正方体（每个顶点1个，共8个）拿走后，原来外露3个面，拿走后会露出3个面，表面积不变；而位于棱上（非顶点）的小正方体（每条棱有1个，共12个）拿走后，原来外露2个面，拿走后会露出4个面，表面积增加；位于面上（非棱上）的小正方体（每个面中心1个，共6个）拿走后，原来外露1个面，拿走后会露出5个面，表面积增加；正方体中心的1个小正方体拿走后，原来不外露，拿走后会露出6个面，表面积增加。所以不是任意拿走一个小正方体表面积都不变，原题说法错误。


设小正方体棱长为a，则原长方体长=2a，宽=高=a。小正方体表面积=6a²，原长方体表面积=(2a×a+2a×a+a×a)×2=10a²。10a²的一半为5a²，6a²≠5a²，故错误。

三、精挑细选。
1. 一个正方体的六个面上分别写着字母 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $，$ e $，$ f $，根据下列四种不同的摆法，判断 $ c $ 的对面是()。


A.$ d $
B.$ e $
C.$ f $

A

根据正方体相邻面不相对的性质，分析各摆法中与c相邻的字母：
第一个摆法：c与a、e相邻，排除a、e；
第二个摆法：c与a、b相邻，排除b；
第三个摆法：c与e、f相邻，排除f；
与c相邻的字母为a、b、e、f，剩余字母d即为c的对面。