12. (2024·江西)如图,AB是半圆O的直径,D是弦AC的延长线上一点,连接BD、BC,$∠D=∠ABC=60^{\circ }$.
(1) 求证:BD是半圆O的切线;
(2) 当$BC=3$时,求$\widehat {AC}$的长.

(1) $\because AB$ 是半圆 $O$ 的直径，$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle ACB$ 中，$\angle A + \angle ABC = 90^{\circ}$。$\because \angle D = \angle ABC$，$\therefore \angle D + \angle A = 90^{\circ}$，$\therefore$ 在 $\triangle ABD$ 中，$\angle ABD = 90^{\circ}$。$\because AB$ 是半圆 $O$ 的直径，$\therefore BD$ 是半圆 $O$ 的切线 (2) 连接 $OC$。$\because \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AC}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\therefore \angle AOC = 2\angle ABC = 120^{\circ}$。$\because OC = OB$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle BOC$ 是等边三角形，$\therefore OC = BC = 3$，$\therefore \overset{\frown}{AC}$ 的长为 $\frac{120\pi × 3}{180} = 2\pi$

(1) 证明：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，∠A+∠ABC=90°。
∵∠D=∠ABC=60°，
∴∠D+∠A=90°，
∴在△ABD中，∠ABD=180°-(∠A+∠D)=90°。
∵AB是半圆O的直径，
∴BD是半圆O的切线。
(2) 解：
连接OC。
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°。
∵OC=OB，∠ABC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC=BC=3。
∴$\widehat{AC}$的长为$\frac{120\pi×3}{180}=2\pi$。

13. 如图,在$\odot O$中,如果作两条互相垂直的直径AB、CD,那么弦AC是$\odot O$的内接正方形的一边;以点A为圆心,OA为半径作弧,与$\odot O$相交于点E、F,连接AE、BE、CE、EF. 求证:弦AE、CE、EF分别是$\odot O$的内接正六边形、正十二边形、正三角形的一边.

13. 如图，连接 $OE$、$OF$。$\because AB \perp CD$，$\therefore \angle AOC = 90^{\circ}$。$\because OA = AE = OE$，$\therefore \triangle AOE$ 为等边三角形，$\therefore \angle AOE = 60^{\circ}$，$\therefore \frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$，即弦 $AE$ 是 $\odot O$ 的内接正六边形的一边。$\because \angle AOE = 60^{\circ}$，$\therefore \angle EOC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，$\therefore \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} = 12$，即弦 $CE$ 是 $\odot O$ 的内接正十二边形的一边。$\because$ 易知 $\angle AOF = 60^{\circ}$，$\therefore \angle EOF = 60^{\circ} × 2 = 120^{\circ}$，$\therefore \frac{360^{\circ}}{120^{\circ}} = 3$，即弦 $EF$ 是 $\odot O$ 的内接正三角形的一边

14. (2024·菏泽)如图,在四边形ABCD中,$AD// BC,∠DAB=60^{\circ },AB=BC=2AD=2$.以点A为圆心,AD为半径作$\widehat {DE}$交AB于点E,以点B为圆心,BE为半径作$\widehat {EF}$交BC于点F,连接FD交$\widehat {EF}$于另一点G,连接CG.
(1) 求证:CG为$\widehat {EF}$所在圆的切线;
(2) 求图中涂色部分的面积.

14. (1) 如图，连接 $BG$。$\because AB = BC = 2AD = 2$，$\therefore AD = AE = 1$，$BE = BF = CF = 1$。$\therefore AD = BF$。$\because AD // BC$，即 $AD // BF$，$\therefore$ 四边形 $ABFD$ 是平行四边形，$\therefore \angle BFD = \angle DAB = 60^{\circ}$。$\because BG = BF$，$\therefore \triangle BFG$ 是等边三角形，$\therefore GF = BF$，$\therefore GF = BF = FC$，$\therefore$ 点 $G$ 在以 $BC$ 为直径的圆上，$\therefore \angle BGC = 90^{\circ}$。$\because BG$ 为 $\overset{\frown}{EF}$ 所在圆的半径，$\therefore CG$ 为 $\overset{\frown}{EF}$ 所在圆的切线 (2) 如图，过点 $D$ 作 $DH \perp AB$ 于点 $H$。$\because$ 在 $Rt\triangle AHD$ 中，$\angle DAB = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ADH = 30^{\circ}$，$\therefore$ 易得 $AH = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}$，$\therefore DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$。$\because$ 四边形 $ABFD$ 是平行四边形，$\therefore DF = AB = 2$，$\angle ABF = 180^{\circ} - \angle A = 120^{\circ}$。$\because \triangle BFG$ 是等边三角形，$\therefore \angle GBF = 60^{\circ}$，$GF = BF = BG = 1$，$\therefore \angle EBG = \angle ABF - \angle GBF = 60^{\circ}$，$DG = DF - GF = 1$，$\therefore S_{涂色部分} = S_{梯形ABGD} - S_{扇形ADE} - S_{扇形BEG} = \frac{1}{2} × (1 + 2) × \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{60\pi × 1^2}{360} - \frac{60\pi × 1^2}{360} = \frac{3}{4}\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$