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1. (2024·绵阳)将一把折扇展开,可抽象成一个扇形,若该扇形的半径为2,弧长为$\frac {4π}{3}$,则扇形的圆心角度数为 (
A.$30^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$120^{\circ }$
D
)A.$30^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$120^{\circ }$
答案
1. D
解析
设扇形的圆心角度数为$n^{\circ}$。
已知扇形半径$r = 2$，弧长$l=\frac{4\pi}{3}$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，可得：
$\frac{n\pi×2}{180}=\frac{4\pi}{3}$
两边同时除以$\pi$：$\frac{2n}{180}=\frac{4}{3}$
化简：$\frac{n}{90}=\frac{4}{3}$
解得：$n = \frac{4}{3}×90 = 120$
D
已知扇形半径$r = 2$，弧长$l=\frac{4\pi}{3}$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，可得：
$\frac{n\pi×2}{180}=\frac{4\pi}{3}$
两边同时除以$\pi$：$\frac{2n}{180}=\frac{4}{3}$
化简：$\frac{n}{90}=\frac{4}{3}$
解得：$n = \frac{4}{3}×90 = 120$
D
2. (2024·无锡)已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为 (
A.6π
B.12π
C.15π
D.24π
B
)A.6π
B.12π
C.15π
D.24π
答案
2. B
解析
圆锥侧面积公式为$S = \pi r l$（其中$r$为底面半径，$l$为母线长）。
已知$r = 3$，$l = 4$，则$S = \pi × 3 × 4 = 12\pi$。
B
已知$r = 3$，$l = 4$，则$S = \pi × 3 × 4 = 12\pi$。
B
3. 有一张直径为24 mm的圆形纸片,用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大为 (
A.12 mm
B.$12\sqrt {3}$ mm
C.6 mm
D.$6\sqrt {3}$ mm
A
)A.12 mm
B.$12\sqrt {3}$ mm
C.6 mm
D.$6\sqrt {3}$ mm
答案
3. A
解析
要使圆形纸片能完全覆盖正六边形，正六边形的外接圆直径需小于或等于圆形纸片的直径。圆形纸片直径为24mm，其半径为12mm。
正六边形的外接圆半径等于其边长。当正六边形外接圆半径最大为12mm时，正六边形边长最大为12mm。
A
正六边形的外接圆半径等于其边长。当正六边形外接圆半径最大为12mm时，正六边形边长最大为12mm。
A
4. (2023·广安)如图,在等腰直角三角形ABC中,$∠ACB=90^{\circ },AC=BC=2\sqrt {2}$,以点A为圆心,AC为半径作弧,交AB于点E,以点B为圆心,BC为半径作弧,交AB于点F,则图中涂色部分的面积是 (
A.$π-2$
B.$2π-2$
C.$2π-4$
D.$4π-4$
C
)A.$π-2$
B.$2π-2$
C.$2π-4$
D.$4π-4$
答案
4. C
解析
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
∴∠A=∠B=45°，AB=√[(2√2)²+(2√2)²]=4。
S扇形ACE = (45°/360°)×π×(2√2)² = (1/8)×π×8 = π，
S扇形BCF = (45°/360°)×π×(2√2)² = π，
S△ABC = (1/2)×2√2×2√2 = 4。
涂色部分面积 = S扇形ACE + S扇形BCF - S△ABC = π + π - 4 = 2π - 4。
答案：C
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
∴∠A=∠B=45°，AB=√[(2√2)²+(2√2)²]=4。
S扇形ACE = (45°/360°)×π×(2√2)² = (1/8)×π×8 = π，
S扇形BCF = (45°/360°)×π×(2√2)² = π，
S△ABC = (1/2)×2√2×2√2 = 4。
涂色部分面积 = S扇形ACE + S扇形BCF - S△ABC = π + π - 4 = 2π - 4。
答案：C
5. (2023·十堰)如图,C为圆锥母线SB的中点,AB为底面圆的直径,$SB=6,AB=4$,一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从点A爬到点C,则蚂蚁爬行的最短路程为 (
A.5
B.$3\sqrt {3}$
C.$3\sqrt {2}$
D.$6\sqrt {3}$
B
)A.5
B.$3\sqrt {3}$
C.$3\sqrt {2}$
D.$6\sqrt {3}$
答案
5. B
解析
解：圆锥底面圆周长为$2\pi×\frac{AB}{2}=4\pi$。
将圆锥侧面展开，扇形弧长为$4\pi$，母线$SB=6$为扇形半径。
设扇形圆心角为$n°$，则$\frac{n\pi×6}{180}=4\pi$，解得$n=120$，即$\angle ASB=120°$。
C为SB中点，故$SC=\frac{SB}{2}=3$。
在$\triangle ASC$中，由余弦定理得：
$AC^2=SA^2+SC^2-2· SA· SC·\cos120°=6^2+3^2-2×6×3×(-\frac{1}{2})=27$，
则$AC=3\sqrt{3}$。
答案：B
将圆锥侧面展开，扇形弧长为$4\pi$，母线$SB=6$为扇形半径。
设扇形圆心角为$n°$，则$\frac{n\pi×6}{180}=4\pi$，解得$n=120$，即$\angle ASB=120°$。
C为SB中点，故$SC=\frac{SB}{2}=3$。
在$\triangle ASC$中，由余弦定理得：
$AC^2=SA^2+SC^2-2· SA· SC·\cos120°=6^2+3^2-2×6×3×(-\frac{1}{2})=27$，
则$AC=3\sqrt{3}$。
答案：B
6. (2024·德阳)已知正六边形ABCDEF的面积为$6\sqrt {3}$,则正六边形的边长为
2
.答案
6. 2
解析
设正六边形的边长为$a$。正六边形可分割为6个全等的等边三角形，每个等边三角形的边长为$a$。
等边三角形面积公式为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，则6个等边三角形面积之和为$6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
已知正六边形面积为$6\sqrt{3}$，则$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 6\sqrt{3}$，解得$a^2=4$，$a=2$（边长为正，负值舍去）。
2
等边三角形面积公式为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，则6个等边三角形面积之和为$6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
已知正六边形面积为$6\sqrt{3}$，则$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 6\sqrt{3}$，解得$a^2=4$，$a=2$（边长为正，负值舍去）。
2
7. (2024·镇江)如图,四边形ABCD为平行四边形,以点A为圆心,AB为半径画弧,交BC于点E,连接AE.若$AB=1,∠D=60^{\circ }$,则$\widehat {BE}$的长为
$\frac{1}{3}\pi$
.答案
7. $\frac{1}{3}\pi$
解析
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $\angle B = \angle D = 60°$，且 $AB = CD$，$AD // BC$。
∵ 以点 $A$ 为圆心，$AB$ 为半径画弧交 $BC$ 于点 $E$，
∴ $AE = AB = 1$，
∴ $\triangle ABE$ 是等腰三角形，即 $AB = AE$。
∴ $\angle AEB = \angle B = 60°$。
在 $\triangle ABE$ 中，$\angle BAE = 180° - \angle B - \angle AEB = 180° - 60° - 60° = 60°$。
∴ $\widehat{BE}$ 的圆心角为 $60°$，半径 $AB = 1$。
弧长公式为 $l = \frac{n\pi r}{180}$（其中 $n$ 为圆心角度数，$r$ 为半径），
∴ $\widehat{BE}$ 的长为 $\frac{60\pi × 1}{180} = \frac{\pi}{3}$。
$\frac{\pi}{3}$
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $\angle B = \angle D = 60°$，且 $AB = CD$，$AD // BC$。
∵ 以点 $A$ 为圆心，$AB$ 为半径画弧交 $BC$ 于点 $E$，
∴ $AE = AB = 1$，
∴ $\triangle ABE$ 是等腰三角形，即 $AB = AE$。
∴ $\angle AEB = \angle B = 60°$。
在 $\triangle ABE$ 中，$\angle BAE = 180° - \angle B - \angle AEB = 180° - 60° - 60° = 60°$。
∴ $\widehat{BE}$ 的圆心角为 $60°$，半径 $AB = 1$。
弧长公式为 $l = \frac{n\pi r}{180}$（其中 $n$ 为圆心角度数，$r$ 为半径），
∴ $\widehat{BE}$ 的长为 $\frac{60\pi × 1}{180} = \frac{\pi}{3}$。
$\frac{\pi}{3}$
8. (2024·齐齐哈尔)若圆锥的底面圆半径是1 cm,它的侧面展开图的圆心角是直角,则该圆锥的高为
$\sqrt{15}$
cm.答案
8. $\sqrt{15}$
解析
解：圆锥底面周长为$2\pi×1 = 2\pi$cm。
侧面展开图扇形的弧长等于底面周长，设圆锥母线长为$l$cm，圆心角为直角即$\frac{\pi}{2}$弧度，弧长公式$l_{弧}=\alpha l$（$\alpha$为圆心角弧度数），则$2\pi=\frac{\pi}{2}l$，解得$l = 4$cm。
圆锥的高$h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{16 - 1}=\sqrt{15}$cm。
$\sqrt{15}$
侧面展开图扇形的弧长等于底面周长，设圆锥母线长为$l$cm，圆心角为直角即$\frac{\pi}{2}$弧度，弧长公式$l_{弧}=\alpha l$（$\alpha$为圆心角弧度数），则$2\pi=\frac{\pi}{2}l$，解得$l = 4$cm。
圆锥的高$h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{16 - 1}=\sqrt{15}$cm。
$\sqrt{15}$
9. (2023·衡阳)如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是
10
.答案
9. 10
解析
解：正五边形的每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
设共需要$n$个正五边形，每个正五边形在圆心处形成的圆心角为$\alpha$，则$n\alpha=360°$。
相邻两个正五边形公共顶点处的两个内角与圆心角$\alpha$构成周角，即$2×108°+\alpha=360°$，解得$\alpha=360° - 216°=144°$。
所以$n=\frac{360°}{144°}=10$。
10
设共需要$n$个正五边形，每个正五边形在圆心处形成的圆心角为$\alpha$，则$n\alpha=360°$。
相邻两个正五边形公共顶点处的两个内角与圆心角$\alpha$构成周角，即$2×108°+\alpha=360°$，解得$\alpha=360° - 216°=144°$。
所以$n=\frac{360°}{144°}=10$。
10
10. (2023·仙桃)如图,在$3×3$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中的圆弧为格点三角形ABC外接圆的一部分,则图中涂色部分的面积为
$\frac{5\pi - 14}{4}$
.答案
10. $\frac{5\pi - 14}{4}$
11. 如图,半径为2 cm的$\odot O$与边长为2 cm的正方形ABCD的边AB相切于点E,点F为正方形ABCD的中心,直线OE过点F.当正方形ABCD沿直线OF以$(2-\sqrt {3})cm/s$的速度向左运动
1 或 $(11 + 6\sqrt{3})$
s时,$\odot O$与正方形重叠部分的面积为$(\frac {2π}{3}-\sqrt {3})cm^{2}$.答案
11. 1 或 $(11 + 6\sqrt{3})$
