14. (2024·自贡)在$Rt\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ },\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆,切点分别为D、E、F.
(1) 如图①,若$AC=3,BC=4$,则$\odot O$的半径为.
(2) 如图②,延长AC到点M,使$AM=AB$,过点M作$MN⊥AB$于点N.求证:MN是$\odot O$的切线.

14. (1) 1 (2) 如图,过点 $ O $ 作 $ O H \perp M N $ 于点 $ H $,连接 $ O D $、$ O E $、$ O F $. $ \because \odot O $ 是 $ \triangle A B C $ 的内切圆, $ \therefore O E \perp B C $, $ O F \perp A C $. $ \because \angle A C B = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore $ 四边形 $ E C F O $ 为矩形, $ \therefore O E = C F $. 同理可证四边形 $ H O D N $ 为矩形. $ \therefore O H = D N $. $ \because M N \perp A B $, $ \therefore \angle A N M = \angle A C B = 90 ^ { \circ } $. $ \because \angle A = \angle A $, $ A M = A B $, $ \therefore \triangle A M N \cong \triangle A B C $, $ \therefore A N = A C $. $ \because \odot O $ 是 $ \triangle A B C $ 的内切圆, $ \therefore A D = A F $, $ \therefore A N - A D = A C - A F $,即 $ D N = C F $, $ \therefore O H = O E $,即 $ O H $ 是 $ \odot O $ 的半径, $ \therefore M N $ 是 $ \odot O $ 的切线

15. (2024·宿迁)如图,在$\odot O$中,AB是直径,CD是弦,且$AB⊥CD$,垂足为E,$AB=20,CD=12$,在BA的延长线上取一点F,连接CF,使$∠FCD=2∠B$.
(1) 求证:CF是$\odot O$的切线;
(2) 求EF的长.

15. (1) 如图,连接 $ O C $. $ \because O C = O B $, $ \therefore \angle B = \angle B C O $. $ \because \angle A O C $ 是 $ \triangle B O C $ 的外角, $ \therefore \angle A O C = \angle B + \angle B C O = 2 \angle B $. $ \because \angle F C D = 2 \angle B $, $ \therefore \angle F C D = \angle A O C $. $ \because A B \perp C D $, $ \therefore \angle C E O = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore $ 在 $ \mathrm { Rt } \triangle C E O $ 中, $ \angle A O C + \angle O C D = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore \angle F C D + \angle O C D = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore \angle O C F = 90 ^ { \circ } $,即 $ O C \perp C F $. $ \because O C $ 是 $ \odot O $ 的半径, $ \therefore C F $ 是 $ \odot O $ 的切线 (2) $ \because A B $ 是 $ \odot O $ 的直径, $ C D $ 是 $ \odot O $ 的弦,且 $ A B \perp C D $, $ \therefore C E = \frac { 1 } { 2 } C D = 6 $. $ \because A B = 20 $, $ \therefore O C = 10 $, $ \therefore $ 在 $ \mathrm { Rt } \triangle C E O $ 中, $ O E = \sqrt { O C ^ { 2 } - C E ^ { 2 } } = 8 $. $ \because O C \perp C F $, $ \therefore $ 在 $ \mathrm { Rt } \triangle F C O $ 中, $ C F ^ { 2 } = O F ^ { 2 } - O C ^ { 2 } = ( E F + 8 ) ^ { 2 } - 100 $. $ \because \mathrm { Rt } \triangle C E F $ 中, $ C F ^ { 2 } = E F ^ { 2 } + C E ^ { 2 } = E F ^ { 2 } + 36 $. $ \therefore ( E F + 8 ) ^ { 2 } - 100 = E F ^ { 2 } + 36 $,解得 $ E F = \frac { 9 } { 2 } $, $ \therefore E F $ 的长为 $ \frac { 9 } { 2 } $