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9. 如图,两个相同的直角三角形部分重叠,CF长10厘米,EF长16厘米,BG长6厘米。求涂色部分的面积。
答案
9. $(16-6+16)×10÷2=130(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
两个直角三角形完全相同，面积相等，二者同时减去重叠的△DCG的面积后，剩余部分的面积仍然相等，即涂色部分的面积等于右侧梯形CGEF的面积，这样就把求不规则涂色部分面积的问题转化为求梯形面积的问题。接下来找梯形的各部分长度：梯形的下底是EF=16cm，高是CF=10cm，上底CG的长度等于BC减BG，而BC和EF是相同三角形的对应边，所以BC=EF=16cm，就可以求出上底长度，代入梯形面积公式就能得到结果。
【解析】
因为两个直角三角形完全相同，面积相等，同时减去重叠部分△DCG的面积，可得：
涂色部分面积 = 梯形CGEF的面积
梯形上底CG = BC - BG = EF - BG = 16 - 6 = 10(cm)
梯形下底EF=16cm，高CF=10cm，根据梯形面积公式$S=(上底+下底)×高÷2$，代入得：
$S=(16-6+16)×10÷2=26×10÷2=130(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$130\mathrm{cm}^2$
【知识点】
等积变形，梯形面积计算
【点评】
本题是巧算组合图形面积的典型题，解题核心是利用等积变形思想，将无法直接计算的涂色部分面积转化为规则梯形面积，降低了解题难度，需要学生具备一定的图形观察能力和等量转化思维。
【难度系数】
0.6
两个直角三角形完全相同，面积相等，二者同时减去重叠的△DCG的面积后，剩余部分的面积仍然相等，即涂色部分的面积等于右侧梯形CGEF的面积，这样就把求不规则涂色部分面积的问题转化为求梯形面积的问题。接下来找梯形的各部分长度：梯形的下底是EF=16cm，高是CF=10cm，上底CG的长度等于BC减BG，而BC和EF是相同三角形的对应边，所以BC=EF=16cm，就可以求出上底长度，代入梯形面积公式就能得到结果。
【解析】
因为两个直角三角形完全相同，面积相等，同时减去重叠部分△DCG的面积，可得：
涂色部分面积 = 梯形CGEF的面积
梯形上底CG = BC - BG = EF - BG = 16 - 6 = 10(cm)
梯形下底EF=16cm，高CF=10cm，根据梯形面积公式$S=(上底+下底)×高÷2$，代入得：
$S=(16-6+16)×10÷2=26×10÷2=130(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$130\mathrm{cm}^2$
【知识点】
等积变形，梯形面积计算
【点评】
本题是巧算组合图形面积的典型题，解题核心是利用等积变形思想，将无法直接计算的涂色部分面积转化为规则梯形面积，降低了解题难度，需要学生具备一定的图形观察能力和等量转化思维。
【难度系数】
0.6
10. 如图,大长方形长15厘米,宽10厘米。求涂色部分的面积。
答案
10. $15×10÷2=75(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：涂色部分均为三角形，大长方形被中间的水平线段分成上下两个小长方形。①上方的所有涂色三角形，高都等于上方小长方形的宽，所有三角形的底的长度之和刚好等于大长方形的长，根据三角形面积公式，多个高相同的三角形总面积=底的和×高÷2，因此上方涂色总面积是上方小长方形面积的一半；②同理，下方涂色三角形的总面积是下方小长方形面积的一半；③两者相加可得，总涂色面积就是整个大长方形面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
根据等积变形的规律，涂色部分的总面积等于大长方形面积的一半，列式计算：
$15×10÷2$
$=150÷2$
$=75(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$75\mathrm{平方厘米}$
【知识点】
等积变形、三角形面积计算、长方形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，不需要单独计算每个涂色三角形的面积，通过整体观察图形特征，利用等积变形的规律即可快速得出结果，能够很好地锻炼对图形面积公式的灵活运用能力和整体观察能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：涂色部分均为三角形，大长方形被中间的水平线段分成上下两个小长方形。①上方的所有涂色三角形，高都等于上方小长方形的宽，所有三角形的底的长度之和刚好等于大长方形的长，根据三角形面积公式，多个高相同的三角形总面积=底的和×高÷2，因此上方涂色总面积是上方小长方形面积的一半；②同理，下方涂色三角形的总面积是下方小长方形面积的一半；③两者相加可得，总涂色面积就是整个大长方形面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
根据等积变形的规律，涂色部分的总面积等于大长方形面积的一半，列式计算：
$15×10÷2$
$=150÷2$
$=75(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$75\mathrm{平方厘米}$
【知识点】
等积变形、三角形面积计算、长方形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，不需要单独计算每个涂色三角形的面积，通过整体观察图形特征，利用等积变形的规律即可快速得出结果，能够很好地锻炼对图形面积公式的灵活运用能力和整体观察能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图，大、小两个正方形拼在一起，已知大正方形的面积是180平方厘米。求涂色部分的面积。
答案
11. $180÷2=90(\mathrm{cm}^2)$（提示：如图，连接CF，△DCF与△BCF面积相等，可知△BCG与△DGF面积相等）
解析
【分析】
遇到未给出小正方形边长、求拼接图形阴影面积的问题时，优先考虑等积变形思路，将不规则的阴影面积转化为容易计算的规则图形面积。首先连接辅助线CF，观察正方形对角线特征：大正方形对角线BD和小正方形对角线CF与底边BE的夹角均为45°，因此BD和CF互相平行，平行线之间距离处处相等。由此可知，以BD为底时，点F和点C到BD的高度相等，即阴影所在的△BDF与△BDC是同底等高的三角形，二者面积相等，而△BDC的面积恰好是大正方形面积的一半，代入大正方形面积即可算出结果。
【解析】
解：如图，连接辅助线CF。
正方形的对角线与边的夹角为45°，因此大正方形对角线BD和小正方形对角线CF互相平行，平行线间距离处处相等。
△BDF和△BDC共用底BD，且高相等，因此二者面积相等。
△BDC是大正方形被对角线平分得到的三角形，面积为大正方形的一半，已知大正方形面积为180cm²，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BDC}=180÷2=90(\mathrm{cm}^2)$
也可推导：△DCF和△BCF同底等高，面积相等，两个三角形同时减去公共部分△CGF的面积，可得△BCG与△DGF面积相等，因此阴影面积可转化为△BCD的面积，即大正方形面积的一半。
【答案】
$180÷2=90(\mathrm{cm}^2)$（提示：如图，连接CF，△DCF与△BCF面积相等，可知△BCG与△DGF面积相等）
【知识点】
等积变形，正方形特征，三角形面积计算
【点评】
本题是等积变形的典型应用题，解题核心是通过添加辅助线找到平行的对角线，将无法直接计算的阴影面积转化为大正方形面积的一半，不需要用到小正方形的相关数据，有效考查学生的图形转化思维和对几何特征的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到未给出小正方形边长、求拼接图形阴影面积的问题时，优先考虑等积变形思路，将不规则的阴影面积转化为容易计算的规则图形面积。首先连接辅助线CF，观察正方形对角线特征：大正方形对角线BD和小正方形对角线CF与底边BE的夹角均为45°，因此BD和CF互相平行，平行线之间距离处处相等。由此可知，以BD为底时，点F和点C到BD的高度相等，即阴影所在的△BDF与△BDC是同底等高的三角形，二者面积相等，而△BDC的面积恰好是大正方形面积的一半，代入大正方形面积即可算出结果。
【解析】
解：如图，连接辅助线CF。
正方形的对角线与边的夹角为45°，因此大正方形对角线BD和小正方形对角线CF互相平行，平行线间距离处处相等。
△BDF和△BDC共用底BD，且高相等，因此二者面积相等。
△BDC是大正方形被对角线平分得到的三角形，面积为大正方形的一半，已知大正方形面积为180cm²，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BDC}=180÷2=90(\mathrm{cm}^2)$
也可推导：△DCF和△BCF同底等高，面积相等，两个三角形同时减去公共部分△CGF的面积，可得△BCG与△DGF面积相等，因此阴影面积可转化为△BCD的面积，即大正方形面积的一半。
【答案】
$180÷2=90(\mathrm{cm}^2)$（提示：如图，连接CF，△DCF与△BCF面积相等，可知△BCG与△DGF面积相等）
【知识点】
等积变形，正方形特征，三角形面积计算
【点评】
本题是等积变形的典型应用题，解题核心是通过添加辅助线找到平行的对角线，将无法直接计算的阴影面积转化为大正方形面积的一半，不需要用到小正方形的相关数据，有效考查学生的图形转化思维和对几何特征的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
12. 如图，ABCD 是平行四边形，BC 长 8 厘米，CE 长 7 厘米，涂色部分的面积比△EFG 的面积大 12 平方厘米。求平行四边形的面积。
答案
12. $8×7÷2+12=40(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
解题时我们可以利用“公共部分”转化面积差：首先观察图形，涂色部分加上中间的梯形FBCG就是平行四边形ABCD的面积，△EFG加上梯形FBCG就是直角△EBC的面积。已知涂色部分面积比△EFG大12平方厘米，那么平行四边形的面积就比△EBC的面积大12平方厘米。我们先算出直角△EBC的面积，再加12平方厘米就能得到平行四边形的面积。
【解析】
首先计算直角△EBC的面积：
△EBC的底BC=8厘米，高CE=7厘米，根据三角形面积公式可得：
$S_{△ EBC}=底×高÷2=8×7÷2=28$（平方厘米）
由题意可知，$\mathrm{涂色部分面积}-S_{△ EFG}=12$平方厘米，
又因为$S_{平行四边形ABCD}=\mathrm{涂色部分面积} + S_{梯形FBCG}$，$S_{△ EBC}=S_{△ EFG}+S_{梯形FBCG}$，
两式相减可得：$S_{平行四边形ABCD}-S_{△ EBC}=12$平方厘米，
因此平行四边形面积为：$28+12=40$（平方厘米）
【答案】
$40\mathrm{cm}^2$
【知识点】
等积变形、三角形面积计算
【点评】
本题的核心是通过公共梯形部分将两个未知的面积差转化为平行四边形和直角三角形的面积差，将复杂的阴影面积计算转化为已知边长的三角形面积计算，降低了解题难度。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以利用“公共部分”转化面积差：首先观察图形，涂色部分加上中间的梯形FBCG就是平行四边形ABCD的面积，△EFG加上梯形FBCG就是直角△EBC的面积。已知涂色部分面积比△EFG大12平方厘米，那么平行四边形的面积就比△EBC的面积大12平方厘米。我们先算出直角△EBC的面积，再加12平方厘米就能得到平行四边形的面积。
【解析】
首先计算直角△EBC的面积：
△EBC的底BC=8厘米，高CE=7厘米，根据三角形面积公式可得：
$S_{△ EBC}=底×高÷2=8×7÷2=28$（平方厘米）
由题意可知，$\mathrm{涂色部分面积}-S_{△ EFG}=12$平方厘米，
又因为$S_{平行四边形ABCD}=\mathrm{涂色部分面积} + S_{梯形FBCG}$，$S_{△ EBC}=S_{△ EFG}+S_{梯形FBCG}$，
两式相减可得：$S_{平行四边形ABCD}-S_{△ EBC}=12$平方厘米，
因此平行四边形面积为：$28+12=40$（平方厘米）
【答案】
$40\mathrm{cm}^2$
【知识点】
等积变形、三角形面积计算
【点评】
本题的核心是通过公共梯形部分将两个未知的面积差转化为平行四边形和直角三角形的面积差，将复杂的阴影面积计算转化为已知边长的三角形面积计算，降低了解题难度。
【难度系数】
0.6
