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6. 有A,B,C,D四个数,每次去掉一个数,计算余下三个数的平均数,这样计算了4次,得到下面4个数:
23, 26, 30, 33。
问:A,B,C,D这四个数的平均数是多少?
23, 26, 30, 33。
问:A,B,C,D这四个数的平均数是多少?
答案
6. $(23+26+30+33)÷4=28$
解析
【分析】
首先回忆平均数的基本公式：平均数×对应个数=总和。每次去掉1个数计算余下3个数的平均数，那么每次得到的平均数乘3就是这3个数的总和。四次计算分别对应去掉A、B、C、D后的三个数的和，把这四个和相加后，A、B、C、D四个数每个都刚好被计算了3次，也就是3倍的四个数总总和等于四个平均数分别乘3的和，两边同时除以3就可以得到四个数的总总和，最后用总总和除以4就能得到四个数的平均数。
【解析】
解：根据平均数的定义，每次计算得到的平均数×3 = 对应三个数的总和。
四次计算的三个数总和相加为：
$23×3 + 26×3 + 30×3 + 33×3 = 3×(23+26+30+33)$
这个总和中，A、B、C、D四个数各被计算了3次，因此：
$3×(A+B+C+D) = 3×(23+26+30+33)$
两边同时除以3，可得四个数的总总和：
$A+B+C+D = 23+26+30+33 = 112$
四个数的平均数为总总和除以数的个数：
$112÷4 = 28$
【答案】
28
【知识点】
平均数的计算；总和与平均数的关系
【点评】
本题是平均数的典型变式题，解题核心是抓住四次运算的总求和与四个数总总和的关联，不需要单独计算每个数的数值，通过整体运算即可快速得到结果，能有效考察对平均数概念的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先回忆平均数的基本公式：平均数×对应个数=总和。每次去掉1个数计算余下3个数的平均数，那么每次得到的平均数乘3就是这3个数的总和。四次计算分别对应去掉A、B、C、D后的三个数的和，把这四个和相加后，A、B、C、D四个数每个都刚好被计算了3次，也就是3倍的四个数总总和等于四个平均数分别乘3的和，两边同时除以3就可以得到四个数的总总和，最后用总总和除以4就能得到四个数的平均数。
【解析】
解：根据平均数的定义，每次计算得到的平均数×3 = 对应三个数的总和。
四次计算的三个数总和相加为：
$23×3 + 26×3 + 30×3 + 33×3 = 3×(23+26+30+33)$
这个总和中，A、B、C、D四个数各被计算了3次，因此：
$3×(A+B+C+D) = 3×(23+26+30+33)$
两边同时除以3，可得四个数的总总和：
$A+B+C+D = 23+26+30+33 = 112$
四个数的平均数为总总和除以数的个数：
$112÷4 = 28$
【答案】
28
【知识点】
平均数的计算；总和与平均数的关系
【点评】
本题是平均数的典型变式题，解题核心是抓住四次运算的总求和与四个数总总和的关联，不需要单独计算每个数的数值，通过整体运算即可快速得到结果，能有效考察对平均数概念的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 一些同学分一些书，若平均每人分若干本，还余14本；若每人分9本，则最后一人分得6本。问：共有学生多少人？
答案
7. 17人
解析
【分析】
解题时首先抓住“书的总数量不变”这个核心等量关系，同时结合有余数除法的隐含规则：余数一定小于除数，也就是学生人数要比剩余的14本多。我们可以先设学生人数为x，第一次平均每人分的本数为a（a是正整数），根据两种分法的总书数相等列出等式，再结合17是质数的特点，就能推导出学生人数。
【解析】
解：设共有学生x人，第一种分法平均每人分a本（a为正整数）。
根据总书数相等列等式：
第一种分法总书数 = 第二种分法总书数
$ax + 14 = 9(x-1) + 6$
化简等式：
$ax + 14 = 9x - 9 + 6$
$ax + 14 = 9x - 3$
移项整理得：
$x(9 - a) = 17$
因为17是质数，正整数因数只有1和17；同时根据有余数除法的性质，余数14小于除数x，即$x＞14$，且$9-a$是正整数，所以只能取$9-a=1$，$x=17$。
验证：总书数为$9×(17-1)+6=150$本，$150÷17=8$（本）……14（本），符合题意。
【答案】
17人
【知识点】
有余数除法的性质，质数的认识，列方程解应用题
【点评】
本题解题的关键是抓住总书数不变建立等量关系，同时需要挖掘“余数小于除数”的隐含条件，结合质数的特殊性推导结果，能够有效锻炼学生分析隐含条件、综合运用知识点的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住“书的总数量不变”这个核心等量关系，同时结合有余数除法的隐含规则：余数一定小于除数，也就是学生人数要比剩余的14本多。我们可以先设学生人数为x，第一次平均每人分的本数为a（a是正整数），根据两种分法的总书数相等列出等式，再结合17是质数的特点，就能推导出学生人数。
【解析】
解：设共有学生x人，第一种分法平均每人分a本（a为正整数）。
根据总书数相等列等式：
第一种分法总书数 = 第二种分法总书数
$ax + 14 = 9(x-1) + 6$
化简等式：
$ax + 14 = 9x - 9 + 6$
$ax + 14 = 9x - 3$
移项整理得：
$x(9 - a) = 17$
因为17是质数，正整数因数只有1和17；同时根据有余数除法的性质，余数14小于除数x，即$x＞14$，且$9-a$是正整数，所以只能取$9-a=1$，$x=17$。
验证：总书数为$9×(17-1)+6=150$本，$150÷17=8$（本）……14（本），符合题意。
【答案】
17人
【知识点】
有余数除法的性质，质数的认识，列方程解应用题
【点评】
本题解题的关键是抓住总书数不变建立等量关系，同时需要挖掘“余数小于除数”的隐含条件，结合质数的特殊性推导结果，能够有效锻炼学生分析隐含条件、综合运用知识点的能力。
【难度系数】
0.6
8. 五位裁判员给一名体操运动员评分后，去掉一个最高分和一个最低分，平均得 9.58 分；只去掉一个最高分，平均得 9.46 分；只去掉一个最低分，平均得 9.66 分。这个运动员的最高分与最低分相差多少？
答案
8. 最低分:$9.46×4−9.58×3=9.10$(分)
最高分:$9.66×4−9.58×3=9.90$(分)
最高分与最低分相差:$9.90−9.10=0.8$(分)
最高分:$9.66×4−9.58×3=9.90$(分)
最高分与最低分相差:$9.90−9.10=0.8$(分)
解析
【分析】
解题时先明确不同评分规则对应的裁判人数和总分构成：首先去掉一个最高分和一个最低分后，剩余3位裁判的平均分为9.58分，可先算出这3个中间分的总分；只去掉一个最高分的4个得分包含最低分和3个中间分，用这4个的总分减去3个中间分的总分就能得到最低分；只去掉一个最低分的4个得分包含最高分和3个中间分，用这4个的总分减去3个中间分的总分就能得到最高分；最后计算最高分与最低分的差值即可。
【解析】
第一步：计算去掉最高分、最低分后，中间3位裁判的总分：
$9.58 × 3 = 28.74$（分）
第二步：计算最低分：
只去掉最高分后4位裁判的总分：$9.46 × 4 = 37.84$（分）
最低分：$37.84 - 28.74 = 9.10$（分）
第三步：计算最高分：
只去掉最低分后4位裁判的总分：$9.66 × 4 = 38.64$（分）
最高分：$38.64 - 28.74 = 9.90$（分）
第四步：计算最高分与最低分的差：
$9.90 - 9.10 = 0.8$（分）
【答案】
0.8分
【知识点】
平均数的应用，总分与平均分的关系
【点评】
这道题考查平均数知识的灵活运用，解题的关键是找到不变的中间3个得分的总分作为计算桥梁，理清不同筛选条件下的总分构成，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.6
解题时先明确不同评分规则对应的裁判人数和总分构成：首先去掉一个最高分和一个最低分后，剩余3位裁判的平均分为9.58分，可先算出这3个中间分的总分；只去掉一个最高分的4个得分包含最低分和3个中间分，用这4个的总分减去3个中间分的总分就能得到最低分；只去掉一个最低分的4个得分包含最高分和3个中间分，用这4个的总分减去3个中间分的总分就能得到最高分；最后计算最高分与最低分的差值即可。
【解析】
第一步：计算去掉最高分、最低分后，中间3位裁判的总分：
$9.58 × 3 = 28.74$（分）
第二步：计算最低分：
只去掉最高分后4位裁判的总分：$9.46 × 4 = 37.84$（分）
最低分：$37.84 - 28.74 = 9.10$（分）
第三步：计算最高分：
只去掉最低分后4位裁判的总分：$9.66 × 4 = 38.64$（分）
最高分：$38.64 - 28.74 = 9.90$（分）
第四步：计算最高分与最低分的差：
$9.90 - 9.10 = 0.8$（分）
【答案】
0.8分
【知识点】
平均数的应用，总分与平均分的关系
【点评】
这道题考查平均数知识的灵活运用，解题的关键是找到不变的中间3个得分的总分作为计算桥梁，理清不同筛选条件下的总分构成，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.6
