15. 如图J2-7, 在平面直角坐标系xOy中, 正方形ABCD的顶点D在y轴上, 且A(-3, 0), B(2, b), 则正方形ABCD的面积是。

15. 34

【分析】
解决本题的核心是利用正方形的性质构造全等三角形：首先正方形的邻边相等且夹角为90°，过点B作x轴的垂线，可得到两个直角三角形，通过同角的余角相等推出一组角相等，结合边相等即可证明三角形全等，再把坐标转化为线段长度，用勾股定理求出边长的平方，也就是正方形的面积。
【解析】
过点B作$BE⊥ x$轴，垂足为E。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore AD=AB$，$∠ DAB=90°$，
$\therefore ∠ DAO + ∠ BAE=90°$。
又$\because ∠ DOA=90°$，
$\therefore ∠ DAO + ∠ ADO=90°$，
$\therefore ∠ ADO=∠ BAE$。
在$△ DAO$和$△ ABE$中：
$\begin{cases}∠ DOA=∠ AEB=90° \\∠ ADO=∠ BAE \\AD=AB\end{cases}$
$\therefore △ DAO≌△ ABE(\mathrm{AAS})$。
$\because A(-3,0)$，$\therefore OA=3$，由全等得$BE=OA=3$，$AE=OD$。
$\because B$的横坐标为2，$\therefore AE=2-(-3)=5$，即$OD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ DAO$中，$AD^2=OA^2+OD^2=3^2+5^2=34$，
正方形的面积等于边长的平方，即面积为$AD^2=34$。
【答案】
34
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的典型习题，解题关键是作辅助线构造全等三角形，将坐标信息转化为线段长度求解，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65

三、解答题
16. 计算：$(2\sqrt{6} + \sqrt{\dfrac{2}{3}}) × \sqrt{3} - \sqrt{32}$

16.$3\sqrt{2}$

【分析】
本题是二次根式的混合运算，解题思路如下：首先观察算式结构，可利用乘法分配律去掉括号，将括号内的两个项分别与$\sqrt{3}$相乘，简化计算过程；接下来按照二次根式的乘法法则计算每一项的乘积，再把所有二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果，计算时要注意二次根式化简的准确性。
【解析】
解：原式$=2\sqrt{6}×\sqrt{3} + \sqrt{\dfrac{2}{3}}×\sqrt{3} - \sqrt{32}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，计算各项：
第一项：$2\sqrt{6×3}=2\sqrt{18}=2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
第二项：$\sqrt{\dfrac{2}{3}×3}=\sqrt{2}$
第三项：化简$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$
代入原式合并同类二次根式：
$6\sqrt{2}+\sqrt{2}-4\sqrt{2}=(6+1-4)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
1.二次根式乘法运算 2.最简二次根式化简 3.同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查运算律在二次根式计算中的灵活运用，以及二次根式化简、合并的基本技能，计算时熟练运用乘法分配律可有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8

17. 如图 J2-8，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，直线 $ l_1: y = kx - 1 $ 与直线 $ l_2: y = \frac{1}{2}x + 2 $ 交于点 $ A(m, 1) $。
(1) 求 $ m $ 的值和直线 $ l_1 $ 对应的函数解析式；
(2) 设直线 $ l_1, l_2 $ 分别与 y 轴交于点 B，C，求 $ △ ABC $ 的面积；
(3) 直接写出不等式 $ kx - 1 ＜ \frac{1}{2}x + 2 $ 的解集。

图 J2-8

17. (1)$m=-2$，直线$l_1$对应的函数解析式为$y=-x-1$ (2)3 (3)$x＞-2$

【分析】
1. 第(1)问：交点坐标同时满足两条直线的解析式，先将A(m,1)代入l₂的解析式即可求出m的值，得到A点完整坐标后，再代入l₁的解析式求出k，即可得到l₁的函数解析式。
2. 第(2)问：直线与y轴交点的横坐标为0，分别将x=0代入两条直线解析式得到B、C的坐标，算出BC的长度后，以BC为底，点A到y轴的水平距离为高，用三角形面积公式即可求出面积。
3. 第(3)问：不等式$kx-1 ＜ \frac{1}{2}x+2 $的几何意义是直线l₁的图像在l₂图像下方时对应的x取值范围，结合两直线交点的横坐标即可直接写出解集。
【解析】
(1)
∵ 点$A(m,1)$在直线$ l_2: y=\frac{1}{2}x+2 $上
∴ 将$ y=1 $代入解析式得：$ 1=\frac{1}{2}m+2 $
解得：$ m=-2 $，即A点坐标为$(-2,1)$
将$ A(-2,1) $代入$ l_1:y=kx-1 $得：$ 1=-2k-1 $
解得：$ k=-1 $
∴ 直线$ l_1 $对应的函数解析式为$ y=-x-1 $
(2) 对于$ l_1:y=-x-1 $，令$ x=0 $，得$ y=-1 $，
∴ B点坐标为$(0,-1)$
对于$ l_2:y=\frac{1}{2}x+2 $，令$ x=0 $，得$ y=2 $，
∴ C点坐标为$(0,2)$
∴ $ BC=2-(-1)=3 $
点A到y轴的距离为$ |-2|=2 $，即BC边上的高为2
∴ $ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × 2 = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3 $
(3) 不等式$ kx-1＜\frac{1}{2}x+2 $表示直线$ l_1 $的函数值小于直线$ l_2 $的函数值，结合图像可知交点右侧满足该关系，因此解集为$ x＞-2 $
【答案】
(1)$ m=-2 $，直线$ l_1 $对应的函数解析式为$ y=-x-1 $；(2)$ 3 $；(3)$ x＞-2 $
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数与不等式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了一次函数交点性质、解析式求解、不等式的几何意义以及面积计算，解题时结合数形结合思想可提高解题效率。
【难度系数】
0.7

18. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程.
已知: 如图 , 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°$, O 为 AC 的中点.
求作: 四边形 ABCD, 使其为矩形.
作法: ①连接 BO, 在线段 BO 的延长线上取点 D, 使得 $DO=BO$;
②连接 AD, CD, 则四边形 ABCD 为矩形.
根据小丁设计的尺规作图过程, 完成下面内容:
(1) 使用直尺(不带刻度)和圆规, 在图 J2-9 中补全图形(保留作图痕迹);
(2) 证明: 因为点 O 为 AC 的中点, 所以 $AO=CO$.
又因为 $DO=BO$,
所以四边形 ABCD 为平行四边形()(填推理依据).
因为 $∠ ABC=90°$,
所以 $□ ABCD$ 为矩形()(填推理依据).

18. (1)
(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形

【分析】
(1) 作图部分：首先连接BO，再延长BO，用圆规以O为圆心、BO的长度为半径画弧，在BO的延长线上截取线段使得DO=BO得到点D，最后连接AD、CD即可，作图时要保留对应的痕迹。
(2) 证明部分：首先回忆平行四边形的判定规则，已知AO=CO、DO=BO，说明四边形的两条对角线互相平分，就可以判定该四边形为平行四边形；再结合矩形的判定规则，已经是平行四边形的图形只要有一个内角是直角，就可以判定为矩形，对应已知的∠ABC=90°，就能完成推理。
【解析】
(1) 作图步骤：①用无刻度直尺连接线段BO；②调整圆规半径，使圆规针尖在点O时笔尖刚好落在点B处，保持半径不变，在BO的延长线上画弧，弧与BO延长线的交点就是点D，满足DO=BO；③用无刻度直尺分别连接AD、CD，保留所有作图痕迹，图形补全完成。
(2) 第一个空：已知AO=CO，DO=BO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此推理依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形；
第二个空：已经确认四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=90°，因此推理依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形。
【答案】
(1)
(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、尺规作图
【点评】
本题结合尺规操作考查特殊四边形的判定，属于基础类题型，需要熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理，作图时要严格按照要求保留作图痕迹，避免因痕迹缺失失分。
【难度系数】
0.85