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19. 某游乐园推出了甲、乙两种消费卡，已知甲、乙两种消费卡的消费费用y（元）与消费次数x（次）的函数关系如图J2-10所示，根据图中信息，解答下列问题：
(1)当分别选择甲、乙两种卡消费时，对应求出它们的y关于x的函数解析式.
(2)当消费多少次时，使用两种消费卡的费用一样？
(3)若小熙爸爸准备了180元钱用于小熙在该游乐园消费，请通过计算说明小熙的爸爸选择哪种消费卡较划算.
(1)当分别选择甲、乙两种卡消费时，对应求出它们的y关于x的函数解析式.
(2)当消费多少次时，使用两种消费卡的费用一样？
(3)若小熙爸爸准备了180元钱用于小熙在该游乐园消费，请通过计算说明小熙的爸爸选择哪种消费卡较划算.
答案
19. (1)甲：$y=20x$，乙：$y=10x+100$
(2)10次
(3)甲消费卡可消费9次，乙消费卡可消费8次，因此选择甲消费卡较划算
(2)10次
(3)甲消费卡可消费9次，乙消费卡可消费8次，因此选择甲消费卡较划算
解析
【分析】
1. 求两个消费卡的函数解析式使用待定系数法：甲的函数图像是过原点的正比例函数，设出正比例函数解析式代入已知点即可求出系数；乙的函数是过两点的一次函数，设出一次函数一般式，代入两个已知点坐标就能求出参数。
2. 求两种卡费用相同的消费次数，本质是求两个函数交点的横坐标，令两个函数值相等解方程即可。
3. 判断180元选哪种卡划算，将y=180分别代入两个解析式，求出对应的消费次数，次数更高的卡更划算。
【解析】
(1) 设甲种消费卡的函数解析式为$y_{\mathrm{甲}}=k_1x$（$k_1≠0$），
由图可知甲的图像过点$(5,100)$，代入得$100=5k_1$，解得$k_1=20$，
因此甲的函数解析式为$y_{\mathrm{甲}}=20x$（$x≥0$且x为整数）。
设乙种消费卡的函数解析式为$y_{\mathrm{乙}}=k_2x+b$（$k_2≠0$），
由图可知乙的图像过点$(0,100)$和$(20,300)$，
将$(0,100)$代入得$b=100$，再将$b=100$和$(20,300)$代入得$300=20k_2+100$，解得$k_2=10$，
因此乙的函数解析式为$y_{\mathrm{乙}}=10x+100$（$x≥0$且x为整数）。
(2) 令$y_{\mathrm{甲}}=y_{\mathrm{乙}}$，即$20x=10x+100$，
解得$x=10$，因此消费10次时两种消费卡费用一样。
(3) 当总费用$y=180$元时，
代入甲的解析式：$180=20x$，解得$x=9$，即甲卡可消费9次；
代入乙的解析式：$180=10x+100$，解得$x=8$，即乙卡可消费8次；
因为$9＞8$，所以选择甲消费卡更划算。
【答案】
(1) 甲：$y=20x$，乙：$y=10x+100$
(2) 10次
(3) 选择甲消费卡较划算
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与方程，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活消费场景考查一次函数的基础应用，侧重对待定系数法、解方程等基础知识的运用能力考查，题型贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.7
1. 求两个消费卡的函数解析式使用待定系数法：甲的函数图像是过原点的正比例函数，设出正比例函数解析式代入已知点即可求出系数；乙的函数是过两点的一次函数，设出一次函数一般式，代入两个已知点坐标就能求出参数。
2. 求两种卡费用相同的消费次数，本质是求两个函数交点的横坐标，令两个函数值相等解方程即可。
3. 判断180元选哪种卡划算，将y=180分别代入两个解析式，求出对应的消费次数，次数更高的卡更划算。
【解析】
(1) 设甲种消费卡的函数解析式为$y_{\mathrm{甲}}=k_1x$（$k_1≠0$），
由图可知甲的图像过点$(5,100)$，代入得$100=5k_1$，解得$k_1=20$，
因此甲的函数解析式为$y_{\mathrm{甲}}=20x$（$x≥0$且x为整数）。
设乙种消费卡的函数解析式为$y_{\mathrm{乙}}=k_2x+b$（$k_2≠0$），
由图可知乙的图像过点$(0,100)$和$(20,300)$，
将$(0,100)$代入得$b=100$，再将$b=100$和$(20,300)$代入得$300=20k_2+100$，解得$k_2=10$，
因此乙的函数解析式为$y_{\mathrm{乙}}=10x+100$（$x≥0$且x为整数）。
(2) 令$y_{\mathrm{甲}}=y_{\mathrm{乙}}$，即$20x=10x+100$，
解得$x=10$，因此消费10次时两种消费卡费用一样。
(3) 当总费用$y=180$元时，
代入甲的解析式：$180=20x$，解得$x=9$，即甲卡可消费9次；
代入乙的解析式：$180=10x+100$，解得$x=8$，即乙卡可消费8次；
因为$9＞8$，所以选择甲消费卡更划算。
【答案】
(1) 甲：$y=20x$，乙：$y=10x+100$
(2) 10次
(3) 选择甲消费卡较划算
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与方程，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活消费场景考查一次函数的基础应用，侧重对待定系数法、解方程等基础知识的运用能力考查，题型贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.7
20. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：
a. 16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175
b. 16名学生的身高的平均数、中位数、众数如表J2-3所示：
表J2-3
(1) 表J2-3中m，n的值分别为
(2) 对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，那么认为该组学生舞台呈现效果越好. 表J2-4是甲、乙两组学生的身高数据，据此推断：这两组学生舞台呈现效果更好的是
表J2-4
(3) 该舞蹈队要选五名学生参加比赛. 已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168 cm，168 cm，172 cm，他们的身高的方差为$\frac{32}{9}$. 在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为
a. 16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175
b. 16名学生的身高的平均数、中位数、众数如表J2-3所示：
表J2-3
(1) 表J2-3中m，n的值分别为
166，165
.(2) 对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，那么认为该组学生舞台呈现效果越好. 表J2-4是甲、乙两组学生的身高数据，据此推断：这两组学生舞台呈现效果更好的是
甲组
(填“甲组”或“乙组”).表J2-4
(3) 该舞蹈队要选五名学生参加比赛. 已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168 cm，168 cm，172 cm，他们的身高的方差为$\frac{32}{9}$. 在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为
170 cm
和172 cm(可以交换顺序)
.答案
20. (1)166，165 (2)甲组
(3)170 cm；172 cm(可以交换顺序)
(3)170 cm；172 cm(可以交换顺序)
解析
【分析】
(1) 求中位数和众数可直接根据定义计算：中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据取中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，代入题中给出的排序数据即可求解。
(2) 题中明确方差越小舞台呈现效果越好，只需分别计算甲、乙两组的方差，比较大小就能得出结论。
(3) 要同时满足“五人方差小于$\frac{32}{9}$”和“平均数尽可能大”两个条件，优先选择身高较高的学生，逐一验证不同高身高组合的方差是否符合要求，即可找到符合条件的最优组合。
【解析】
(1) 16个数据已从小到大排列，中位数为第8、9个数据的平均数，第8、9个数据均为166，故$m=\frac{166+166}{2}=166$；数据中165共出现3次，出现次数最多，故众数$n=165$。
(2) 计算甲组数据（165，165，166，167，168）：
平均数$\overline{x}_甲=\frac{165+165+166+167+168}{5}=166$
方差$s^2_甲=\frac{(165-166)^2×2 + (166-166)^2 + (167-166)^2 + (168-166)^2}{5}=\frac{2+0+1+4}{5}=1.4$
计算乙组数据（162，165，166，167，170）：
平均数$\overline{x}_乙=\frac{162+165+166+167+170}{5}=166$
方差$s^2_乙=\frac{(162-166)^2 + (165-166)^2 + (166-166)^2 + (167-166)^2 + (170-166)^2}{5}=\frac{16+1+0+1+16}{5}=6.8$
因为$1.4＜6.8$，甲组方差更小，所以舞台呈现效果更好的是甲组。
(3) 要使平均数尽可能大，优先选择身高较高的学生验证：
① 选172cm和175cm时，五人身高为168，168，172，172，175，平均数$\overline{x}_1=\frac{168+168+172+172+175}{5}=171$，方差$s^2_1=\frac{(168-171)^2×2 + (172-171)^2×2 + (175-171)^2}{5}=7.2$，而$\frac{32}{9}\approx3.56$，$7.2＞3.56$，不符合要求；
② 选172cm和170cm时，五人身高为168，168，170，172，172，平均数$\overline{x}_2=\frac{168+168+170+172+172}{5}=170$，方差$s^2_2=\frac{(168-170)^2×2 + (170-170)^2 + (172-170)^2×2}{5}=3.2$，$3.2＜3.56$，符合要求，且该组合为符合条件的最高身高组合。
因此另外两名学生身高为170cm和172cm。
【答案】
(1)166，165 (2)甲组 (3)170 cm；172 cm（顺序可互换）
【知识点】
中位数与众数，方差的计算与应用，平均数的计算
【点评】
本题结合舞蹈队选人的实际场景考查统计量的计算和应用，需要熟练掌握各统计量的定义和计算方法，第三问需要兼顾两个限制条件逐一验证，侧重考查逻辑推理能力和计算能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求中位数和众数可直接根据定义计算：中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据取中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，代入题中给出的排序数据即可求解。
(2) 题中明确方差越小舞台呈现效果越好，只需分别计算甲、乙两组的方差，比较大小就能得出结论。
(3) 要同时满足“五人方差小于$\frac{32}{9}$”和“平均数尽可能大”两个条件，优先选择身高较高的学生，逐一验证不同高身高组合的方差是否符合要求，即可找到符合条件的最优组合。
【解析】
(1) 16个数据已从小到大排列，中位数为第8、9个数据的平均数，第8、9个数据均为166，故$m=\frac{166+166}{2}=166$；数据中165共出现3次，出现次数最多，故众数$n=165$。
(2) 计算甲组数据（165，165，166，167，168）：
平均数$\overline{x}_甲=\frac{165+165+166+167+168}{5}=166$
方差$s^2_甲=\frac{(165-166)^2×2 + (166-166)^2 + (167-166)^2 + (168-166)^2}{5}=\frac{2+0+1+4}{5}=1.4$
计算乙组数据（162，165，166，167，170）：
平均数$\overline{x}_乙=\frac{162+165+166+167+170}{5}=166$
方差$s^2_乙=\frac{(162-166)^2 + (165-166)^2 + (166-166)^2 + (167-166)^2 + (170-166)^2}{5}=\frac{16+1+0+1+16}{5}=6.8$
因为$1.4＜6.8$，甲组方差更小，所以舞台呈现效果更好的是甲组。
(3) 要使平均数尽可能大，优先选择身高较高的学生验证：
① 选172cm和175cm时，五人身高为168，168，172，172，175，平均数$\overline{x}_1=\frac{168+168+172+172+175}{5}=171$，方差$s^2_1=\frac{(168-171)^2×2 + (172-171)^2×2 + (175-171)^2}{5}=7.2$，而$\frac{32}{9}\approx3.56$，$7.2＞3.56$，不符合要求；
② 选172cm和170cm时，五人身高为168，168，170，172，172，平均数$\overline{x}_2=\frac{168+168+170+172+172}{5}=170$，方差$s^2_2=\frac{(168-170)^2×2 + (170-170)^2 + (172-170)^2×2}{5}=3.2$，$3.2＜3.56$，符合要求，且该组合为符合条件的最高身高组合。
因此另外两名学生身高为170cm和172cm。
【答案】
(1)166，165 (2)甲组 (3)170 cm；172 cm（顺序可互换）
【知识点】
中位数与众数，方差的计算与应用，平均数的计算
【点评】
本题结合舞蹈队选人的实际场景考查统计量的计算和应用，需要熟练掌握各统计量的定义和计算方法，第三问需要兼顾两个限制条件逐一验证，侧重考查逻辑推理能力和计算能力。
【难度系数】
0.65
