平方差公式：；
完全平方公式：、。

$ (a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2} $
$ (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} $
$ (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} $

【分析】本题考查平方差公式与完全平方公式的记忆，解题时需准确回忆课本中对应的公式内容，明确平方差公式是两数和与两数差的乘积等于两数的平方差，完全平方公式分为两数和的平方、两数差的平方两种形式，对应不同的展开结果。
【解析】根据平方差公式和完全平方公式的定义，平方差公式为$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$；完全平方公式包含两数和的平方公式$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，以及两数差的平方公式$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$。
【答案】$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$；$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$；$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
【知识点】平方差公式、完全平方公式
【点评】本题是代数基础公式的直接考查，是整式运算的重要基础，属于学生必须熟练掌握的核心知识点。
【难度系数】0.9

例 1 利用完全平方公式计算：$102^{2}+98^{2}$。

$102^{2}+98^{2}=(100+2)^{2}+(100 - 2)^{2}$
$=100^{2}+2×100×2+2^{2}+100^{2}-2×100×2+2^{2}$
$=10000 + 400 + 4 + 10000 - 400 + 4$
$=20008$

【分析】
本题需利用完全平方公式简化计算，思路是将102拆为100+2、98拆为100-2，再用完全平方公式展开，展开后中间的交叉项会相互抵消，从而避免直接计算大数的平方，降低计算难度。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对原式变形计算：
$102^2+98^2=(100+2)^2+(100-2)^2$
$=100^2+2×100×2+2^2+100^2-2×100×2+2^2$
$=10000+400+4+10000-400+4$
$=20008$
【答案】
20008
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的基础应用，通过拆分接近整百的数简化运算，体现了公式在简便计算中的作用，是公式应用的典型基础题。
【难度系数】
0.6

【变式训练 1】用简便方法计算：
(1)$(99\frac{1}{2})^{2}$；
(2)$199\frac{1}{5}×200\frac{4}{5}$。

解：(1)$$(99\frac{1}{2})^{2} = (100 - \frac{1}{2})^{2}$$ = 100^{2} - 2 × 100 × \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} $$ = 10000 - 100 + \frac{1}{4} $$ = 9900\frac{1}{4} $$。
(2)$$199\frac{1}{5} × 200\frac{4}{5} = (200 - \frac{4}{5}) × (200 + \frac{4}{5})$$ = 200^{2} - (\frac{4}{5})^{2} $$ = 40000 - \frac{16}{25} $$ = 39999\frac{9}{25} $$。

【分析】
对于第(1)小题，计算带分数的平方时直接运算繁琐，可将$99\frac{1}{2}$转化为$100 - \frac{1}{2}$，利用完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$简化计算；对于第(2)小题，两个带分数相乘，可分别改写为$200 - \frac{4}{5}$和$200 + \frac{4}{5}$，符合平方差公式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$的形式，用平方差公式能简化运算过程。
【解析】
(1) $ (99\frac{1}{2})^2 = (100 - \frac{1}{2})^2 $
$ = 100^2 - 2×100×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 $
$ = 10000 - 100 + \frac{1}{4} $
$ = 9900\frac{1}{4} $；
(2) $ 199\frac{1}{5}×200\frac{4}{5} = (200 - \frac{4}{5})×(200 + \frac{4}{5}) $
$ = 200^2 - (\frac{4}{5})^2 $
$ = 40000 - \frac{16}{25} $
$ = 39999\frac{9}{25} $。
【答案】
(1) $9900\frac{1}{4}$；(2) $39999\frac{9}{25}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是乘法公式在简便运算中的典型应用，通过拆分带分数为整百数与分数的和/差，巧妙运用公式简化复杂运算，考查学生对乘法公式的掌握与灵活运用能力，是基础公式的常规应用题型。
【难度系数】
0.6

例 2 计算：
(1)$(a + b + c)(a - b + c)$；
(2)$(a - b)^{3}$。

(1)$(a + b + c)(a - b + c)$
$=[(a + c)+b][(a + c)-b]$
$=(a + c)^{2}-b^{2}$
$=a^{2}+2ac + c^{2}-b^{2}$
(2)$(a - b)^{3}=(a - b)(a - b)^{2}$
$=(a - b)(a^{2}-2ab + b^{2})$
$=a^{3}-2a^{2}b + ab^{2}-a^{2}b + 2ab^{2}-b^{3}$
$=a^{3}-3a^{2}b + 3ab^{2}-b^{3}$

【分析】
第(1)题，观察式子结构，将(a + c)看作整体，把原式转化为符合平方差公式的形式，利用平方差公式简化计算后再展开完全平方；第(2)题，先将立方转化为平方与一次方的乘积，利用完全平方公式展开后，通过多项式乘多项式法则计算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 原式$=[(a + c)+b][(a + c)-b]$
$=(a + c)^{2}-b^{2}$
$=a^{2}+2ac + c^{2}-b^{2}$
(2) 原式$=(a - b)(a - b)^{2}$
$=(a - b)(a^{2}-2ab + b^{2})$
$=a^{3}-2a^{2}b + ab^{2}-a^{2}b + 2ab^{2}-b^{3}$
$=a^{3}-3a^{2}b + 3ab^{2}-b^{3}$
【答案】
(1) $a^{2}+2ac + c^{2}-b^{2}$；(2) $a^{3}-3a^{2}b + 3ab^{2}-b^{3}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、多项式乘法
【点评】
本题考查整式的乘法运算，核心是运用公式简化计算，需掌握整体思想和公式的结构特征，计算时要注意同类项的合并，属于基础运算题，重点考查公式的熟练应用。
【难度系数】
0.5

【变式训练 2】计算：
(1)$(\frac{1}{2}a - 2b - 1)^{2}$；
(2)$(a^{2}-a + 1)(a^{2}+a + 1)$。

$(1)\frac{1}{4}a^{2} - 2ab - a + 4b^{2} + 4b + 1(2)a^{4} + a^{2} + 1$　　

(1)$(\frac{1}{2}a - 2b - 1)^{2}$
$=[(\frac{1}{2}a - 2b) - 1]^{2}$
$=(\frac{1}{2}a - 2b)^{2} - 2(\frac{1}{2}a - 2b)×1 + 1^{2}$
$=(\frac{1}{2}a)^{2} - 2×\frac{1}{2}a×2b + (2b)^{2} - a + 4b + 1$
$=\frac{1}{4}a^{2} - 2ab + 4b^{2} - a + 4b + 1$
(2)$(a^{2}-a + 1)(a^{2}+a + 1)$
$=[(a^{2} + 1) - a][(a^{2} + 1) + a]$
$=(a^{2} + 1)^{2} - a^{2}$
$=a^{4} + 2a^{2} + 1 - a^{2}$
$=a^{4} + a^{2} + 1$

1. 如图，根据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线便可以得到一个你熟悉的公式。这个公式是()

A.$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$
B.$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$
C.$(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}$
D.$(x + y)^{2}=x^{2}+xy + y$

1. B

【分析】首先观察图形，大正方形的边长为$x+y$，因此大正方形的面积可表示为$(x+y)^2$。接着将大正方形分割为四个部分：左下角边长为$x$的小正方形、两个长为$y$宽为$x$的长方形、边长为$y$的正方形，分别计算各部分面积后求和，其结果与大正方形面积相等，由此推导对应公式。
【解析】大正方形的边长为$x+y$，故大正方形面积为$(x+y)^2$。
分割后各部分面积：左下角小正方形面积$x^2$，两个长方形面积和为$2xy$，边长为$y$的正方形面积$y^2$，总面积为$x^2 + 2xy + y^2$。
根据面积相等可得公式：$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、图形面积计算
【点评】本题通过几何图形面积关系推导代数公式，体现数形结合思想，是完全平方公式的典型几何应用，帮助理解公式的几何意义。
【难度系数】0.6