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2. 计算$199^{2}-198×202$的结果是(
A.395
B.$-395$
C.3
D.403
B
)A.395
B.$-395$
C.3
D.403
答案
2. B
解析
$199^{2}-198×202$
$=(200 - 1)^{2}-(200 - 2)(200 + 2)$
$=200^{2}-2×200×1 + 1^{2}-(200^{2}-2^{2})$
$=40000 - 400 + 1 - 40000 + 4$
$=(40000 - 40000) + (-400) + (1 + 4)$
$=0 - 400 + 5$
$=-395$
B
$=(200 - 1)^{2}-(200 - 2)(200 + 2)$
$=200^{2}-2×200×1 + 1^{2}-(200^{2}-2^{2})$
$=40000 - 400 + 1 - 40000 + 4$
$=(40000 - 40000) + (-400) + (1 + 4)$
$=0 - 400 + 5$
$=-395$
B
3. 已知$a^{2}+b^{2}=3$，$a - b = 2$，则$ab$的值是(
A.2
B.$-2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
D
)A.2
B.$-2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
3. D
解析
已知$a - b = 2$，两边平方得$(a - b)^2 = 2^2$，即$a^2 - 2ab + b^2 = 4$。
因为$a^2 + b^2 = 3$，将其代入上式可得$3 - 2ab = 4$。
移项得$-2ab = 4 - 3$，即$-2ab = 1$，解得$ab = -\frac{1}{2}$。
D
因为$a^2 + b^2 = 3$，将其代入上式可得$3 - 2ab = 4$。
移项得$-2ab = 4 - 3$，即$-2ab = 1$，解得$ab = -\frac{1}{2}$。
D
4. 填空：
(1)$(a + b)^{2}-\_\_\_\_\_\_=(a - b)^{2}$；
(2)$(a + 2b)^{2}-4ab=$
(3)若$\frac{1}{a}+a = 3$，则$\frac{1}{a^{2}}+a^{2}=$
(1)$(a + b)^{2}-\_\_\_\_\_\_=(a - b)^{2}$；
(2)$(a + 2b)^{2}-4ab=$
$$a^{2} + 4b^{2}$$
；(3)若$\frac{1}{a}+a = 3$，则$\frac{1}{a^{2}}+a^{2}=$
$$7$$
。答案
$4. (1)4ab (2)a^{2} + 4b^{2} (3)7$
解析
【分析】
第(1)小题根据“被减数 - 差 = 减数”，需计算两个完全平方的差，利用完全平方公式展开后化简；第(2)小题先展开完全平方，再合并同类项；第(3)小题利用完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入已知条件求值。
【解析】
(1) 展开并化简：
$\begin{aligned}(a+b)^2 - (a-b)^2&=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\&=a^2+2ab+b^2 -a^2+2ab -b^2\\&=4ab\end{aligned}$
(2) 展开并化简：
$\begin{aligned}(a+2b)^2 -4ab&=a^2+4ab+4b^2 -4ab\\&=a^2+4b^2\end{aligned}$
(3) 利用完全平方公式变形：
$(\frac{1}{a}+a)^2=\frac{1}{a^2}+2+a^2$
代入$\frac{1}{a}+a=3$，得：
$9=\frac{1}{a^2}+a^2+2 \implies \frac{1}{a^2}+a^2=7$
【答案】4. (1)$4ab$ (2)$a^2 + 4b^2$ (3)$7$
【知识点】完全平方公式，代数式求值
【点评】本题考查完全平方公式的基础应用，属于初中代数核心基础题型，需熟练掌握公式展开、合并同类项及公式变形，运算过程注意符号和同类项处理，难度较低。
【难度系数】0.8
第(1)小题根据“被减数 - 差 = 减数”，需计算两个完全平方的差，利用完全平方公式展开后化简；第(2)小题先展开完全平方，再合并同类项；第(3)小题利用完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入已知条件求值。
【解析】
(1) 展开并化简：
$\begin{aligned}(a+b)^2 - (a-b)^2&=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\&=a^2+2ab+b^2 -a^2+2ab -b^2\\&=4ab\end{aligned}$
(2) 展开并化简：
$\begin{aligned}(a+2b)^2 -4ab&=a^2+4ab+4b^2 -4ab\\&=a^2+4b^2\end{aligned}$
(3) 利用完全平方公式变形：
$(\frac{1}{a}+a)^2=\frac{1}{a^2}+2+a^2$
代入$\frac{1}{a}+a=3$，得：
$9=\frac{1}{a^2}+a^2+2 \implies \frac{1}{a^2}+a^2=7$
【答案】4. (1)$4ab$ (2)$a^2 + 4b^2$ (3)$7$
【知识点】完全平方公式，代数式求值
【点评】本题考查完全平方公式的基础应用，属于初中代数核心基础题型，需熟练掌握公式展开、合并同类项及公式变形，运算过程注意符号和同类项处理，难度较低。
【难度系数】0.8
5. 已知$xy=\frac{1}{4}$，则代数式$(x + y)^{2}-(x - y)^{2}$的值为
1
。答案
5. 1
解析
$(x + y)^{2}-(x - y)^{2}$
$=x^{2}+2xy + y^{2}-(x^{2}-2xy + y^{2})$
$=x^{2}+2xy + y^{2}-x^{2}+2xy - y^{2}$
$=4xy$
当$xy = \frac{1}{4}$时，原式$=4×\frac{1}{4}=1$
1
$=x^{2}+2xy + y^{2}-(x^{2}-2xy + y^{2})$
$=x^{2}+2xy + y^{2}-x^{2}+2xy - y^{2}$
$=4xy$
当$xy = \frac{1}{4}$时，原式$=4×\frac{1}{4}=1$
1
6. 如图，点$C$是线段$AB$上的一点，以$AC$，$BC$为边向两边作正方形。已知$AB = 8$，两个正方形的面积和$S_{1}+S_{2}=40$，则图中阴影部分的面积为
6
。答案
6. 6
解析
设 $ AC = x $，则 $ BC = AB - AC = 8 - x $。
因为 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 是以 $ AC $、$ BC $ 为边的正方形面积，所以 $ S_1 = x^2 $，$ S_2 = (8 - x)^2 $。
已知 $ S_1 + S_2 = 40 $，则：
$x^2 + (8 - x)^2 = 40$
展开得：
$x^2 + 64 - 16x + x^2 = 40$
化简：
$2x^2 - 16x + 24 = 0 \implies x^2 - 8x + 12 = 0$
解得 $ x = 2 $ 或 $ x = 6 $。
阴影部分为直角三角形，两直角边分别为 $ AC $ 和 $ BC $，面积为：
$\mathrm{阴影面积} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × x × (8 - x)$
当 $ x = 2 $ 时，$ 8 - x = 6 $，面积为 $ \frac{1}{2} × 2 × 6 = 6 $；当 $ x = 6 $ 时，$ 8 - x = 2 $，面积为 $ \frac{1}{2} × 6 × 2 = 6 $。
故阴影部分的面积为 $ 6 $。
6
因为 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 是以 $ AC $、$ BC $ 为边的正方形面积，所以 $ S_1 = x^2 $，$ S_2 = (8 - x)^2 $。
已知 $ S_1 + S_2 = 40 $，则：
$x^2 + (8 - x)^2 = 40$
展开得：
$x^2 + 64 - 16x + x^2 = 40$
化简：
$2x^2 - 16x + 24 = 0 \implies x^2 - 8x + 12 = 0$
解得 $ x = 2 $ 或 $ x = 6 $。
阴影部分为直角三角形，两直角边分别为 $ AC $ 和 $ BC $，面积为：
$\mathrm{阴影面积} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × x × (8 - x)$
当 $ x = 2 $ 时，$ 8 - x = 6 $，面积为 $ \frac{1}{2} × 2 × 6 = 6 $；当 $ x = 6 $ 时，$ 8 - x = 2 $，面积为 $ \frac{1}{2} × 6 × 2 = 6 $。
故阴影部分的面积为 $ 6 $。
6
7. 已知$a - b = 3$，$ab = -1$，求$a^{2}+b^{2}$的值。
能力提高
能力提高
答案
$7. $解：$a^{2} + b^{2}$
$= (a - b)^{2} + 2ab$
代入$a - b = 3$，$ab = -1$
$ (a - b)^{2} + 2ab$
$ = 3^{2} + 2 × (-1)$
$= 9 - 2$
$= 7 。$
答：$a^{2} + b^{2}$=7
$= (a - b)^{2} + 2ab$
代入$a - b = 3$，$ab = -1$
$ (a - b)^{2} + 2ab$
$ = 3^{2} + 2 × (-1)$
$= 9 - 2$
$= 7 。$
答：$a^{2} + b^{2}$=7
解析
【解析】
根据完全平方公式的变形可得：
$a^2 + b^2=(a-b)^2 + 2ab$
将$a - b = 3$，$ab = -1$代入上式：
$原式=3^2 + 2×(-1)$
$=9-2$
$=7$
【答案】
$7$
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形，运用整体代入思想即可求解，无需单独计算a、b的具体值，是整式运算的常见常考题型。
【难度系数】
0.7
根据完全平方公式的变形可得：
$a^2 + b^2=(a-b)^2 + 2ab$
将$a - b = 3$，$ab = -1$代入上式：
$原式=3^2 + 2×(-1)$
$=9-2$
$=7$
【答案】
$7$
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形，运用整体代入思想即可求解，无需单独计算a、b的具体值，是整式运算的常见常考题型。
【难度系数】
0.7
8. 计算：
(1)$(-3x - 2y)^{2}$；
(2)$(a - 3)^{2}-a^{2}$；
(3)$(x - 3)(x^{2}+9)(x + 3)$；
(4)$(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$；
(5)$(x + 1)(x - 1)-(x - 2)^{2}$；
(6)$(a - 2b + 3c)(a + 2b - 3c)$。
(1)$(-3x - 2y)^{2}$；
(2)$(a - 3)^{2}-a^{2}$；
(3)$(x - 3)(x^{2}+9)(x + 3)$；
(4)$(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$；
(5)$(x + 1)(x - 1)-(x - 2)^{2}$；
(6)$(a - 2b + 3c)(a + 2b - 3c)$。
答案
$8. (1)9x^{2} + 12xy + 4y^{2} (2)-6a + 9 (3)x^{4} - 81(4)a^{4} - 2a^{2} + 1 (5)4x - 5 (6)a^{2} - 4b^{2} + 12bc - 9c^{2}$
解析
(1)$(-3x - 2y)^{2}=(3x + 2y)^{2}=9x^{2}+12xy + 4y^{2}$
(2)$(a - 3)^{2}-a^{2}=a^{2}-6a + 9 - a^{2}=-6a + 9$
(3)$(x - 3)(x^{2}+9)(x + 3)=(x - 3)(x + 3)(x^{2}+9)=(x^{2}-9)(x^{2}+9)=x^{4}-81$
(4)$(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}=[(a + 1)(a - 1)]^{2}=(a^{2}-1)^{2}=a^{4}-2a^{2}+1$
(5)$(x + 1)(x - 1)-(x - 2)^{2}=x^{2}-1-(x^{2}-4x + 4)=x^{2}-1 - x^{2}+4x - 4=4x - 5$
(6)$(a - 2b + 3c)(a + 2b - 3c)=[a-(2b - 3c)][a+(2b - 3c)]=a^{2}-(2b - 3c)^{2}=a^{2}-(4b^{2}-12bc + 9c^{2})=a^{2}-4b^{2}+12bc - 9c^{2}$
(2)$(a - 3)^{2}-a^{2}=a^{2}-6a + 9 - a^{2}=-6a + 9$
(3)$(x - 3)(x^{2}+9)(x + 3)=(x - 3)(x + 3)(x^{2}+9)=(x^{2}-9)(x^{2}+9)=x^{4}-81$
(4)$(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}=[(a + 1)(a - 1)]^{2}=(a^{2}-1)^{2}=a^{4}-2a^{2}+1$
(5)$(x + 1)(x - 1)-(x - 2)^{2}=x^{2}-1-(x^{2}-4x + 4)=x^{2}-1 - x^{2}+4x - 4=4x - 5$
(6)$(a - 2b + 3c)(a + 2b - 3c)=[a-(2b - 3c)][a+(2b - 3c)]=a^{2}-(2b - 3c)^{2}=a^{2}-(4b^{2}-12bc + 9c^{2})=a^{2}-4b^{2}+12bc - 9c^{2}$
