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33. 如图所示，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，$M$为$AD$的中点，延长$CM$交$AB$于点$P$，$DN// CP$交$AB$于点$N$，若$AB=6$，则$AP$的长为()
A.1
B.2.5
C.2
D.3
A.1
B.2.5
C.2
D.3
答案
C
解析
【分析】
首先利用等腰三角形三线合一的性质得到D是BC中点，再结合已知的平行条件$DN// CP$，根据平行线分线段成比例的推论，先得到N是BP中点，即$BN=NP$；再结合M是AD中点、$PM// DN$的条件，推出P是AN中点，即$AP=PN$，由此可得$AP、PN、BN$三段相等，即AB被三等分，最后结合AB的长度即可求出AP的长。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，即$BD=DC$。
$\because DN// CP$，在$△ BCP$中，D是BC中点，$DN// PC$，
$\therefore$N为BP的中点，即$BN=NP$。
$\because$M是AD的中点，且$DN// CP$（即$DN// PM$），在$△ ADN$中，M为AD中点，$PM// DN$，
$\therefore$P为AN的中点，即$AP=PN$。
$\therefore AP=PN=BN$，即$AP=\frac{1}{3}AB$。
$\because AB=6$，
$\therefore AP=\frac{1}{3}×6=2$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题需要结合等腰三角形的性质和平行线分线段成比例的推论求解，解题的关键是利用图形中的平行关系和中点条件，推导出AB被分为相等的三段，考查了学生对几何基本性质的运用能力和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
首先利用等腰三角形三线合一的性质得到D是BC中点，再结合已知的平行条件$DN// CP$，根据平行线分线段成比例的推论，先得到N是BP中点，即$BN=NP$；再结合M是AD中点、$PM// DN$的条件，推出P是AN中点，即$AP=PN$，由此可得$AP、PN、BN$三段相等，即AB被三等分，最后结合AB的长度即可求出AP的长。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，即$BD=DC$。
$\because DN// CP$，在$△ BCP$中，D是BC中点，$DN// PC$，
$\therefore$N为BP的中点，即$BN=NP$。
$\because$M是AD的中点，且$DN// CP$（即$DN// PM$），在$△ ADN$中，M为AD中点，$PM// DN$，
$\therefore$P为AN的中点，即$AP=PN$。
$\therefore AP=PN=BN$，即$AP=\frac{1}{3}AB$。
$\because AB=6$，
$\therefore AP=\frac{1}{3}×6=2$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题需要结合等腰三角形的性质和平行线分线段成比例的推论求解，解题的关键是利用图形中的平行关系和中点条件，推导出AB被分为相等的三段，考查了学生对几何基本性质的运用能力和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
34. 如图所示，D,E,F分别是△ABC各边的中点，图中的平行四边形有个；与△DEF全等的三角形有个；当AB = AC时，四边形AEDF是形；当∠A = 90°时，四边形AEDF是形；当时，四边形AEDF是正方形。
答案
解：
根据三角形中位线的性质：
∵D,E,F分别是△ABC各边的中点，
∴$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB=AF=BF$；
$DF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AC=AE=CE$；
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC=BD=CD$。
1. 图中的平行四边形为$□ AEDF$、$□ BDEF$、$□ CDFE$，共$\boldsymbol{3}$个；
2. 可证$△ AEF≌△ DEF$，$△ BDF≌△ DEF$，$△ CDE≌△ DEF$，与$△ DEF$全等的三角形共$\boldsymbol{3}$个；
3. 当$AB=AC$时，$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$，得$DE=DF$，又四边形$AEDF$是平行四边形，因此四边形$AEDF$是菱形；
4. 当$∠ A=90°$时，平行四边形$AEDF$有一个内角为直角，因此四边形$AEDF$是矩形；
5. 正方形需要同时满足邻边相等且有一个内角为直角，因此当$\boldsymbol{AB=AC且∠ A=90°}$时，四边形$AEDF$是正方形。
答案依次为：$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{3}$；菱；矩；$\boldsymbol{AB=AC且∠ A=90°}$（合理即可）。
根据三角形中位线的性质：
∵D,E,F分别是△ABC各边的中点，
∴$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB=AF=BF$；
$DF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AC=AE=CE$；
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC=BD=CD$。
1. 图中的平行四边形为$□ AEDF$、$□ BDEF$、$□ CDFE$，共$\boldsymbol{3}$个；
2. 可证$△ AEF≌△ DEF$，$△ BDF≌△ DEF$，$△ CDE≌△ DEF$，与$△ DEF$全等的三角形共$\boldsymbol{3}$个；
3. 当$AB=AC$时，$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$，得$DE=DF$，又四边形$AEDF$是平行四边形，因此四边形$AEDF$是菱形；
4. 当$∠ A=90°$时，平行四边形$AEDF$有一个内角为直角，因此四边形$AEDF$是矩形；
5. 正方形需要同时满足邻边相等且有一个内角为直角，因此当$\boldsymbol{AB=AC且∠ A=90°}$时，四边形$AEDF$是正方形。
答案依次为：$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{3}$；菱；矩；$\boldsymbol{AB=AC且∠ A=90°}$（合理即可）。
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件“D、E、F是△ABC各边中点”，联想到三角形中位线定理，得到边的平行、相等关系：1. 找平行四边形时，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，逐一排查即可得出数量；2. 找与△DEF全等的三角形时，利用中位线得到的边相等关系，通过SSS判定全等，统计数量即可；3. 判定特殊平行四边形时，先确认四边形AEDF是平行四边形，再结合额外条件：邻边相等则为菱形，有一个内角为直角则为矩形，同时满足邻边相等和有直角则为正方形，对应推导条件即可。
【解析】
根据三角形中位线的性质：
∵D,E,F分别是△ABC各边的中点，
∴$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB=AF=BF$；
$DF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AC=AE=CE$；
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC=BD=CD$。
1. 由两组对边分别平行可判定，图中的平行四边形为$□ AEDF$、$□ BDEF$、$□ CDFE$，共3个；
2. 由三边对应相等可证$△ AEF≌△ DEF$，$△ BDF≌△ DEF$，$△ CDE≌△ DEF$，因此与$△ DEF$全等的三角形共3个；
3. 当$AB=AC$时，$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$，可得$DE=DF$，又四边形$AEDF$是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，因此四边形$AEDF$是菱形；
4. 当$∠A=90°$时，平行四边形$AEDF$有一个内角为直角，有一个内角为直角的平行四边形是矩形，因此四边形$AEDF$是矩形；
5. 正方形需要同时满足邻边相等且有一个内角为直角，因此当$AB=AC且∠A=90°$时，四边形$AEDF$是正方形。
【答案】
3；3；菱；矩；$AB=AC且∠A=90°$（合理即可）
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形判定；特殊平行四边形判定
【点评】
本题是基础综合题，将三角形中位线性质和四边形的判定结合考查，需要熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，理清特殊四边形之间的条件差异，避免判定条件混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件“D、E、F是△ABC各边中点”，联想到三角形中位线定理，得到边的平行、相等关系：1. 找平行四边形时，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，逐一排查即可得出数量；2. 找与△DEF全等的三角形时，利用中位线得到的边相等关系，通过SSS判定全等，统计数量即可；3. 判定特殊平行四边形时，先确认四边形AEDF是平行四边形，再结合额外条件：邻边相等则为菱形，有一个内角为直角则为矩形，同时满足邻边相等和有直角则为正方形，对应推导条件即可。
【解析】
根据三角形中位线的性质：
∵D,E,F分别是△ABC各边的中点，
∴$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB=AF=BF$；
$DF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AC=AE=CE$；
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC=BD=CD$。
1. 由两组对边分别平行可判定，图中的平行四边形为$□ AEDF$、$□ BDEF$、$□ CDFE$，共3个；
2. 由三边对应相等可证$△ AEF≌△ DEF$，$△ BDF≌△ DEF$，$△ CDE≌△ DEF$，因此与$△ DEF$全等的三角形共3个；
3. 当$AB=AC$时，$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$，可得$DE=DF$，又四边形$AEDF$是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，因此四边形$AEDF$是菱形；
4. 当$∠A=90°$时，平行四边形$AEDF$有一个内角为直角，有一个内角为直角的平行四边形是矩形，因此四边形$AEDF$是矩形；
5. 正方形需要同时满足邻边相等且有一个内角为直角，因此当$AB=AC且∠A=90°$时，四边形$AEDF$是正方形。
【答案】
3；3；菱；矩；$AB=AC且∠A=90°$（合理即可）
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形判定；特殊平行四边形判定
【点评】
本题是基础综合题，将三角形中位线性质和四边形的判定结合考查，需要熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，理清特殊四边形之间的条件差异，避免判定条件混淆。
【难度系数】
0.7
35. 如图所示，P为$□ ABCD$边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，$△ PEF$，$△ PDC$，$△ PAB$的面积分别为$S$，$S_1$，$S_2$. 若$S=2$，则$S_1 + S_2 =$ .
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
首先从E、F是PB、PC的中点的条件入手，利用三角形中位线定理得到△PEF和△PBC的相似关系，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，算出△PBC的面积；再根据平行四边形的面积性质，得出△PBC的面积是平行四边形面积的一半，进而推出△PDC和△PAB的面积和等于△PBC的面积，即可求解。
【解析】
解：
∵E、F分别为PB、PC的中点，
∴EF是△PBC的中位线，
∴EF//BC，且$EF=\frac{1}{2}BC$，
∴$△ PEF ∽ △ PBC$，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{△ PEF}}{S_{△ PBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
∵$S_{△ PEF}=S=2$，
∴$S_{△ PBC}=4×2=8$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$（△PBC与平行四边形同底BC，高相等），
∴$S_1+S_2=S_{□ ABCD}-S_{△ PBC}=2S_{△ PBC}-S_{△ PBC}=S_{△ PBC}=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
1. 三角形中位线定理
2. 相似三角形面积比性质
3. 平行四边形面积性质
【点评】
本题是几何面积的基础综合题，解题的关键是利用中位线得到三角形的相似关系，再结合平行四边形中三角形面积的等量关系推导结果，需要熟练掌握相关基础性质。
【难度系数】
0.7
首先从E、F是PB、PC的中点的条件入手，利用三角形中位线定理得到△PEF和△PBC的相似关系，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，算出△PBC的面积；再根据平行四边形的面积性质，得出△PBC的面积是平行四边形面积的一半，进而推出△PDC和△PAB的面积和等于△PBC的面积，即可求解。
【解析】
解：
∵E、F分别为PB、PC的中点，
∴EF是△PBC的中位线，
∴EF//BC，且$EF=\frac{1}{2}BC$，
∴$△ PEF ∽ △ PBC$，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{△ PEF}}{S_{△ PBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
∵$S_{△ PEF}=S=2$，
∴$S_{△ PBC}=4×2=8$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$（△PBC与平行四边形同底BC，高相等），
∴$S_1+S_2=S_{□ ABCD}-S_{△ PBC}=2S_{△ PBC}-S_{△ PBC}=S_{△ PBC}=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
1. 三角形中位线定理
2. 相似三角形面积比性质
3. 平行四边形面积性质
【点评】
本题是几何面积的基础综合题，解题的关键是利用中位线得到三角形的相似关系，再结合平行四边形中三角形面积的等量关系推导结果，需要熟练掌握相关基础性质。
【难度系数】
0.7
36. 如图所示,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,$E$,$F$分别是$AB$,$AC$的中点,当$△ ABC$满足条件时,四边形$AEDF$是菱形.
答案
$\boldsymbol{AB=AC}$
解析
【分析】
解题时可结合已知条件和菱形的判定方法逆向推导：首先由$AD⊥BC$可得$△ ABD$、$△ ACD$均为直角三角形，结合$E$、$F$是$AB$、$AC$中点，根据直角三角形斜边中线性质可得$DE=AE=\frac{1}{2}AB$，$DF=AF=\frac{1}{2}AC$。要使四边形$AEDF$为菱形，可通过四条边相等判定，因此需要$AE=AF$，即$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$，也就是$AB=AC$；也可先证四边形是平行四边形再证邻边相等，当$AB=AC$时，由等腰三角形三线合一得$D$是$BC$中点，$DE$、$DF$为$△ ABC$中位线，可证$AEDF$是平行四边形，再结合邻边$AE=AF$即可得菱形，因此可填条件$AB=AC$。
【解析】
当$△ ABC$满足$AB=AC$时，四边形$AEDF$是菱形，证明如下：
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore △ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形，
$\because E$是$AB$的中点，$F$是$AC$的中点，
$\therefore DE=AE=\frac{1}{2}AB$，$DF=AF=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
若$AB=AC$，则$AE=AF=DE=DF$，
$\therefore$四边形$AEDF$的四条边都相等，
$\therefore$四边形$AEDF$是菱形。
【答案】
$AB=AC$
【知识点】
菱形的判定；直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于条件开放型题目，将三角形相关性质和特殊四边形的判定结合考查，需要熟练掌握相关定理，能根据结论逆向推导所需满足的条件，解题时注意结合图形特征分析。
【难度系数】
0.7
解题时可结合已知条件和菱形的判定方法逆向推导：首先由$AD⊥BC$可得$△ ABD$、$△ ACD$均为直角三角形，结合$E$、$F$是$AB$、$AC$中点，根据直角三角形斜边中线性质可得$DE=AE=\frac{1}{2}AB$，$DF=AF=\frac{1}{2}AC$。要使四边形$AEDF$为菱形，可通过四条边相等判定，因此需要$AE=AF$，即$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$，也就是$AB=AC$；也可先证四边形是平行四边形再证邻边相等，当$AB=AC$时，由等腰三角形三线合一得$D$是$BC$中点，$DE$、$DF$为$△ ABC$中位线，可证$AEDF$是平行四边形，再结合邻边$AE=AF$即可得菱形，因此可填条件$AB=AC$。
【解析】
当$△ ABC$满足$AB=AC$时，四边形$AEDF$是菱形，证明如下：
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore △ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形，
$\because E$是$AB$的中点，$F$是$AC$的中点，
$\therefore DE=AE=\frac{1}{2}AB$，$DF=AF=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
若$AB=AC$，则$AE=AF=DE=DF$，
$\therefore$四边形$AEDF$的四条边都相等，
$\therefore$四边形$AEDF$是菱形。
【答案】
$AB=AC$
【知识点】
菱形的判定；直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于条件开放型题目，将三角形相关性质和特殊四边形的判定结合考查，需要熟练掌握相关定理，能根据结论逆向推导所需满足的条件，解题时注意结合图形特征分析。
【难度系数】
0.7
37. 如图所示,四边形ABCD的四条边都相等,对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线,要使得四边形ABCD是正方形,还需增加的一个条件是.
答案
解：
∵ 四边形ABCD的四条边都相等，
∴ 四边形ABCD是菱形。
根据正方形的判定，只需菱形满足对角线相等或存在一个内角为直角，即可成为正方形，符合要求的一个条件为：
$\boldsymbol{AC=BD}$（答案不唯一，也可填写$∠ ABC=90°$等合理条件）。
∵ 四边形ABCD的四条边都相等，
∴ 四边形ABCD是菱形。
根据正方形的判定，只需菱形满足对角线相等或存在一个内角为直角，即可成为正方形，符合要求的一个条件为：
$\boldsymbol{AC=BD}$（答案不唯一，也可填写$∠ ABC=90°$等合理条件）。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发：四边形四条边都相等，根据菱形的判定定理可先确定四边形ABCD是菱形；接下来回忆正方形的判定规则：菱形要成为正方形，只需满足“有一个内角是直角”或“对角线相等”其中一个条件即可，同时注意题目要求不增加任何字母与辅助线，据此写出符合要求的条件即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的四条边都相等，
∴四边形ABCD是菱形。
根据正方形的判定定理可知：
对角线相等的菱形是正方形，因此可添加条件$AC=BD$；
也可根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，添加条件$∠ ABC=90°$（或其他内角为90°的条件），任选其一即可。
【答案】
$AC=BD$（答案不唯一，如$∠ ABC=90°$等合理条件均可）
【知识点】
菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础的特殊四边形判定类题目，解题的核心是先根据已知条件确定四边形为菱形，再结合正方形的判定规则补充缺失的条件，答案具有开放性，只要符合判定逻辑即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件出发：四边形四条边都相等，根据菱形的判定定理可先确定四边形ABCD是菱形；接下来回忆正方形的判定规则：菱形要成为正方形，只需满足“有一个内角是直角”或“对角线相等”其中一个条件即可，同时注意题目要求不增加任何字母与辅助线，据此写出符合要求的条件即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的四条边都相等，
∴四边形ABCD是菱形。
根据正方形的判定定理可知：
对角线相等的菱形是正方形，因此可添加条件$AC=BD$；
也可根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，添加条件$∠ ABC=90°$（或其他内角为90°的条件），任选其一即可。
【答案】
$AC=BD$（答案不唯一，如$∠ ABC=90°$等合理条件均可）
【知识点】
菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础的特殊四边形判定类题目，解题的核心是先根据已知条件确定四边形为菱形，再结合正方形的判定规则补充缺失的条件，答案具有开放性，只要符合判定逻辑即可。
【难度系数】
0.8
