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30. 如图所示，在$□ ABCD$中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H. 求证：四边形EGFH是平行四边形.
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC。
∵ E，F分别是AD，BC的中点，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AD，FC = $\frac{1}{2}$BC，
∴ AE//FC，AE = FC，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AF//EC，即GF//EH。
同理可得：ED = $\frac{1}{2}$AD，BF = $\frac{1}{2}$BC，
∴ ED//BF，ED = BF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ BE//FD，即EG//FH。
∵ 在四边形EGFH中，GF//EH，EG//FH，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC。
∵ E，F分别是AD，BC的中点，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AD，FC = $\frac{1}{2}$BC，
∴ AE//FC，AE = FC，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AF//EC，即GF//EH。
同理可得：ED = $\frac{1}{2}$AD，BF = $\frac{1}{2}$BC，
∴ ED//BF，ED = BF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ BE//FD，即EG//FH。
∵ 在四边形EGFH中，GF//EH，EG//FH，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
解析
【分析】
要证明四边形EGFH是平行四边形，可通过“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”这一判定定理推导：首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，结合E、F分别是AD、BC中点的条件，先推导出AE与FC平行且相等，证明四边形AECF是平行四边形，得到GF//EH；再用同理的思路推导出ED与BF平行且相等，证明四边形BEDF是平行四边形，得到EG//FH，两组对边分别平行即可证得结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC。
∵ E，F分别是AD，BC的中点，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AD，FC = $\frac{1}{2}$BC，
∴ AE//FC，AE = FC，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AF//EC，即GF//EH。
同理可得：ED = $\frac{1}{2}$AD，BF = $\frac{1}{2}$BC，
∴ ED//BF，ED = BF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ BE//FD，即EG//FH。
∵ 在四边形EGFH中，GF//EH，EG//FH，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
【答案】
四边形EGFH是平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关证明的基础题型，解题关键是灵活运用平行四边形的性质和判定定理，通过构造中间平行四边形得到目标四边形对边平行的关系，考查学生的逻辑推理能力和几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.75
要证明四边形EGFH是平行四边形，可通过“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”这一判定定理推导：首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，结合E、F分别是AD、BC中点的条件，先推导出AE与FC平行且相等，证明四边形AECF是平行四边形，得到GF//EH；再用同理的思路推导出ED与BF平行且相等，证明四边形BEDF是平行四边形，得到EG//FH，两组对边分别平行即可证得结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC。
∵ E，F分别是AD，BC的中点，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AD，FC = $\frac{1}{2}$BC，
∴ AE//FC，AE = FC，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AF//EC，即GF//EH。
同理可得：ED = $\frac{1}{2}$AD，BF = $\frac{1}{2}$BC，
∴ ED//BF，ED = BF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ BE//FD，即EG//FH。
∵ 在四边形EGFH中，GF//EH，EG//FH，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
【答案】
四边形EGFH是平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关证明的基础题型，解题关键是灵活运用平行四边形的性质和判定定理，通过构造中间平行四边形得到目标四边形对边平行的关系，考查学生的逻辑推理能力和几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.75
31. 如图所示,在$□ ABCD$中,E,F分别为AD,BC的中点,CE,AF分别交BD于点M,N.求证:$BN = MN = DM$.
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD = BC$。
∵ E，F分别为AD，BC的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD$，$FC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AE// FC$，$AE = FC$，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ $AF// CE$。
在$△ BCM$中，
∵ F是BC的中点，$FN// CM$，
∴ N是BM的中点，
∴ $BN = MN$。
在$△ DAN$中，
∵ E是AD的中点，$EM// AN$，
∴ M是DN的中点，
∴ $DM = MN$。
∴ $BN = MN = DM$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD = BC$。
∵ E，F分别为AD，BC的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD$，$FC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AE// FC$，$AE = FC$，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ $AF// CE$。
在$△ BCM$中，
∵ F是BC的中点，$FN// CM$，
∴ N是BM的中点，
∴ $BN = MN$。
在$△ DAN$中，
∵ E是AD的中点，$EM// AN$，
∴ M是DN的中点，
∴ $DM = MN$。
∴ $BN = MN = DM$。
解析
【分析】
要证明BD上的BN、MN、DM三条线段相等，可按以下思路推导：首先利用平行四边形ABCD的性质，结合E、F是AD、BC中点的条件，先证明四边形AECF是平行四边形，得到AF//CE；之后分别在△BCM和△DAN中，利用“过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边”的结论，分别证明BN=MN、DM=MN，最终即可得到三条线段相等的结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD = BC$。
∵ E，F分别为AD，BC的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD$，$FC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AE// FC$，$AE = FC$，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ $AF// CE$。
在$△ BCM$中，
∵ F是BC的中点，$FN// CM$，
∴ N是BM的中点，
∴ $BN = MN$。
在$△ DAN$中，
∵ E是AD的中点，$EM// AN$，
∴ M是DN的中点，
∴ $DM = MN$。
∴ $BN = MN = DM$。
【答案】
$BN = MN = DM$，原命题得证
【知识点】
平行四边形性质；平行四边形判定；中位线推论
【点评】
本题是四边形章节的典型基础证明题，解题关键是通过构造平行四边形得到平行关系，再结合中点性质推导线段等量关系，能够有效考查学生对平行四边形相关知识的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明BD上的BN、MN、DM三条线段相等，可按以下思路推导：首先利用平行四边形ABCD的性质，结合E、F是AD、BC中点的条件，先证明四边形AECF是平行四边形，得到AF//CE；之后分别在△BCM和△DAN中，利用“过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边”的结论，分别证明BN=MN、DM=MN，最终即可得到三条线段相等的结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD = BC$。
∵ E，F分别为AD，BC的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD$，$FC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AE// FC$，$AE = FC$，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ $AF// CE$。
在$△ BCM$中，
∵ F是BC的中点，$FN// CM$，
∴ N是BM的中点，
∴ $BN = MN$。
在$△ DAN$中，
∵ E是AD的中点，$EM// AN$，
∴ M是DN的中点，
∴ $DM = MN$。
∴ $BN = MN = DM$。
【答案】
$BN = MN = DM$，原命题得证
【知识点】
平行四边形性质；平行四边形判定；中位线推论
【点评】
本题是四边形章节的典型基础证明题，解题关键是通过构造平行四边形得到平行关系，再结合中点性质推导线段等量关系，能够有效考查学生对平行四边形相关知识的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
32. 如图所示，E为$□ ABCD$中DC延长线上的一点，且$CE = DC$，连接AE分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF. 求证：$AB = 2OF$. 
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD，OA = OC，
即O为AC的中点。
又∵ CE = DC，
∴ AB = CE，且AB // CE，
∴ ∠ABF = ∠ECF，∠BAF = ∠CEF。
在△ABF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABF = ∠ECF \\AB = CE \\∠BAF = ∠CEF\end{array} $
∴ △ABF ≌ △ECF（ASA），
∴ BF = CF，即F为BC的中点。
又∵ O是AC的中点，
∴ OF是△ABC的中位线，
∴ OF = $\frac{1}{2}$AB，
即AB = 2OF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD，OA = OC，
即O为AC的中点。
又∵ CE = DC，
∴ AB = CE，且AB // CE，
∴ ∠ABF = ∠ECF，∠BAF = ∠CEF。
在△ABF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABF = ∠ECF \\AB = CE \\∠BAF = ∠CEF\end{array} $
∴ △ABF ≌ △ECF（ASA），
∴ BF = CF，即F为BC的中点。
又∵ O是AC的中点，
∴ OF是△ABC的中位线，
∴ OF = $\frac{1}{2}$AB，
即AB = 2OF。
解析
【分析】
要证明AB=2OF，线段的2倍关系可优先考虑三角形中位线定理（三角形中位线长度等于第三边的一半）。首先由平行四边形对角线互相平分的性质，可知O是AC的中点，因此只需证明F是BC的中点，即可得到OF是△ABC的中位线，进而推出结论。要证F是BC中点，结合已知CE=DC，以及平行四边形AB与CD平行且相等的性质，可推出AB与CE平行且相等，再通过角边角证明△ABF和△ECF全等，即可得到BF=CF，即F为BC中点，最终通过中位线定理得证。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD，OA = OC，即O为AC的中点。
又
∵ CE = DC，
∴ AB = CE，且AB // CE，
∴ ∠ABF = ∠ECF，∠BAF = ∠CEF。
在△ABF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABF = ∠ECF \\AB = CE \\∠BAF = ∠CEF\end{array} $
∴ △ABF ≌ △ECF（ASA），
∴ BF = CF，即F为BC的中点。
又
∵ O是AC的中点，
∴ OF是△ABC的中位线，
∴ OF = $\frac{1}{2}$AB，即AB = 2OF。
【答案】
AB=2OF
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是四边形章节的典型基础习题，将平行四边形性质、全等证明和中位线定理结合考查，解题时可从结论倒推所需条件，逐步联系已知内容推导，有助于快速理清思路。
【难度系数】
0.7
要证明AB=2OF，线段的2倍关系可优先考虑三角形中位线定理（三角形中位线长度等于第三边的一半）。首先由平行四边形对角线互相平分的性质，可知O是AC的中点，因此只需证明F是BC的中点，即可得到OF是△ABC的中位线，进而推出结论。要证F是BC中点，结合已知CE=DC，以及平行四边形AB与CD平行且相等的性质，可推出AB与CE平行且相等，再通过角边角证明△ABF和△ECF全等，即可得到BF=CF，即F为BC中点，最终通过中位线定理得证。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD，OA = OC，即O为AC的中点。
又
∵ CE = DC，
∴ AB = CE，且AB // CE，
∴ ∠ABF = ∠ECF，∠BAF = ∠CEF。
在△ABF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABF = ∠ECF \\AB = CE \\∠BAF = ∠CEF\end{array} $
∴ △ABF ≌ △ECF（ASA），
∴ BF = CF，即F为BC的中点。
又
∵ O是AC的中点，
∴ OF是△ABC的中位线，
∴ OF = $\frac{1}{2}$AB，即AB = 2OF。
【答案】
AB=2OF
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是四边形章节的典型基础习题，将平行四边形性质、全等证明和中位线定理结合考查，解题时可从结论倒推所需条件，逐步联系已知内容推导，有助于快速理清思路。
【难度系数】
0.7
