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23. 已知菱形的周长为24 cm,且有一个内角为$120°$,那么它的一条较长的对角线和面积分别是()
A.$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm},18\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
B.$6\ \mathrm{cm},18\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm},36\ \mathrm{cm}^2$
D.$6\ \mathrm{cm},18\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
A.$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm},18\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
B.$6\ \mathrm{cm},18\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm},36\ \mathrm{cm}^2$
D.$6\ \mathrm{cm},18\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
【分析】
解题时先利用菱形四条边相等的性质，由周长求出边长；再结合已知内角为120°，推出相邻内角为60°，根据菱形对角线互相垂直平分且平分内角的特点，可知较短对角线与菱形两边构成等边三角形，得到短对角线长度；随后借助勾股定理求出长对角线的一半，进而得到较长对角线的长度；最后利用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积，对应选项得出答案即可。
【解析】
1. 求菱形边长：
菱形四条边长度相等，已知周长为24cm，因此边长为$24÷4=6\mathrm{cm}$。
2. 推导短对角线长度：
菱形一个内角为120°，则其相邻内角为$180°-120°=60°$。由于菱形对角线平分内角，且短对角线对应60°内角，因此短对角线与60°角的两条邻边构成等边三角形，可得短对角线长度等于边长，即$6\mathrm{cm}$。
3. 计算较长对角线长度：
菱形对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半与菱形的边构成直角三角形，斜边为菱形边长6cm，一条直角边为短对角线的一半$6÷2=3\mathrm{cm}$。
设较长对角线的一半为$x$，根据勾股定理：
$x^2 + 3^2 = 6^2$
解得$x=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$
因此较长对角线长度为$2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
4. 计算菱形面积：
菱形面积等于对角线乘积的一半，代入数据得：
$S=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}=18\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
综上，较长对角线为$6\sqrt{3}\mathrm{cm}$，面积为$18\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是四边形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握菱形的边长、对角线、内角的相关性质，结合勾股定理即可快速求解，注意区分长短对角线对应的内角，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题时先利用菱形四条边相等的性质，由周长求出边长；再结合已知内角为120°，推出相邻内角为60°，根据菱形对角线互相垂直平分且平分内角的特点，可知较短对角线与菱形两边构成等边三角形，得到短对角线长度；随后借助勾股定理求出长对角线的一半，进而得到较长对角线的长度；最后利用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积，对应选项得出答案即可。
【解析】
1. 求菱形边长：
菱形四条边长度相等，已知周长为24cm，因此边长为$24÷4=6\mathrm{cm}$。
2. 推导短对角线长度：
菱形一个内角为120°，则其相邻内角为$180°-120°=60°$。由于菱形对角线平分内角，且短对角线对应60°内角，因此短对角线与60°角的两条邻边构成等边三角形，可得短对角线长度等于边长，即$6\mathrm{cm}$。
3. 计算较长对角线长度：
菱形对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半与菱形的边构成直角三角形，斜边为菱形边长6cm，一条直角边为短对角线的一半$6÷2=3\mathrm{cm}$。
设较长对角线的一半为$x$，根据勾股定理：
$x^2 + 3^2 = 6^2$
解得$x=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$
因此较长对角线长度为$2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
4. 计算菱形面积：
菱形面积等于对角线乘积的一半，代入数据得：
$S=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}=18\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
综上，较长对角线为$6\sqrt{3}\mathrm{cm}$，面积为$18\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是四边形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握菱形的边长、对角线、内角的相关性质，结合勾股定理即可快速求解，注意区分长短对角线对应的内角，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
24. 如图所示，将$△ ABC$沿$BC$方向平移得到$△ DCE$，连接$AD$，下列条件中能够判定四边形$ACED$为菱形的是()
A.$AB = BC$
B.$AC = BC$
C.$∠ B = 60°$
D.$∠ ACB = 60°$
A.$AB = BC$
B.$AC = BC$
C.$∠ B = 60°$
D.$∠ ACB = 60°$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据平移的性质，推导四边形ACED的形状，首先可以得出它是平行四边形；第二步，回忆菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形，因此需要找到平行四边形ACED一组邻边相等的条件；第三步，结合平移得到的边的等量关系，将邻边相等的要求转化为已知三角形的边的关系，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
根据平移的性质可得：$AD// BC$，$AD=BC$，$CE=BC$，$AC=DE$，
∴$AD=CE$，且$AD// CE$，
∴四边形ACED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
根据菱形的判定：邻边相等的平行四边形是菱形，因此需要$AC=CE$，
又
∵$CE=BC$，
∴当$AC=BC$时，$AC=CE$，此时平行四边形ACED为菱形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于四边形的基础综合题，解题的核心是先利用平移的性质确定四边形ACED是平行四边形，再结合菱形的判定条件找到对应的边相等的关系，整体逻辑清晰，考查基础知识点的结合应用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先根据平移的性质，推导四边形ACED的形状，首先可以得出它是平行四边形；第二步，回忆菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形，因此需要找到平行四边形ACED一组邻边相等的条件；第三步，结合平移得到的边的等量关系，将邻边相等的要求转化为已知三角形的边的关系，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
根据平移的性质可得：$AD// BC$，$AD=BC$，$CE=BC$，$AC=DE$，
∴$AD=CE$，且$AD// CE$，
∴四边形ACED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
根据菱形的判定：邻边相等的平行四边形是菱形，因此需要$AC=CE$，
又
∵$CE=BC$，
∴当$AC=BC$时，$AC=CE$，此时平行四边形ACED为菱形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于四边形的基础综合题，解题的核心是先利用平移的性质确定四边形ACED是平行四边形，再结合菱形的判定条件找到对应的边相等的关系，整体逻辑清晰，考查基础知识点的结合应用。
【难度系数】
0.7
25. 如图所示,在矩形$ABCD$中,$AC$,$BD$相交于点$O$,$OF ⊥ AB$,若$AC=2AD$,$OF=9$,则$BD$的长为()
A.$90$
B.$36$
C.$9\sqrt{3}$
D.$18\sqrt{3}$
A.$90$
B.$36$
C.$9\sqrt{3}$
D.$18\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的性质和三角形中位线相关知识：第一步，利用矩形对角线互相平分、对边相等的性质，结合OF⊥AB的条件，判断OF是△ABC的中位线，据此求出BC的长度，也就得到了AD的长度；第二步，根据AC=2AD的条件求出AC的长度；第三步，结合矩形对角线相等的性质，即可得到BD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，AC=BD，∠ABC=90°，对角线AC、BD互相平分，即O为AC中点
∵OF⊥AB，BC⊥AB
∴OF//BC，又O是AC中点，因此OF是△ABC的中位线
∴$OF=\frac{1}{2}BC$
已知OF=9，代入得$BC=2×9=18$，因此$AD=BC=18$
又
∵$AC=2AD$
∴$AC=2×18=36$
∵矩形对角线相等，$BD=AC$
∴$BD=36$
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是四边形章节的基础常考题，核心是结合矩形性质识别出中位线，建立已知线段和待求线段的关联，解题思路比较直观，只要熟练掌握矩形和中位线的基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆矩形的性质和三角形中位线相关知识：第一步，利用矩形对角线互相平分、对边相等的性质，结合OF⊥AB的条件，判断OF是△ABC的中位线，据此求出BC的长度，也就得到了AD的长度；第二步，根据AC=2AD的条件求出AC的长度；第三步，结合矩形对角线相等的性质，即可得到BD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，AC=BD，∠ABC=90°，对角线AC、BD互相平分，即O为AC中点
∵OF⊥AB，BC⊥AB
∴OF//BC，又O是AC中点，因此OF是△ABC的中位线
∴$OF=\frac{1}{2}BC$
已知OF=9，代入得$BC=2×9=18$，因此$AD=BC=18$
又
∵$AC=2AD$
∴$AC=2×18=36$
∵矩形对角线相等，$BD=AC$
∴$BD=36$
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是四边形章节的基础常考题，核心是结合矩形性质识别出中位线，建立已知线段和待求线段的关联，解题思路比较直观，只要熟练掌握矩形和中位线的基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
26. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是()
A.对角线相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.四条边相等
A.对角线相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.四条边相等
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形和菱形的相关性质，明确正方形是特殊的菱形，既具有菱形的所有性质，也有菱形不具备的特有性质。接下来逐一比对每个选项的性质，判断该性质是两者共有，还是仅正方形具备（菱形不一定具备），最终选出符合要求的答案。
【解析】
先梳理两类图形的性质：
菱形的性质：四条边相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；
正方形是特殊的菱形，除具备菱形的全部性质外，还有特有性质：四个角都是直角，对角线相等。
逐一分析选项：
A. 对角线相等：正方形的对角线一定相等，普通菱形的对角线不相等，只有菱形为正方形时对角线才相等，符合“正方形具有而菱形不一定具有”的要求；
B. 对角线互相垂直平分：是菱形和正方形共有的性质，不符合要求；
C. 对角线平分一组对角：是菱形和正方形共有的性质，不符合要求；
D. 四条边相等：是菱形和正方形共有的性质，不符合要求。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、菱形的性质、特殊四边形性质辨析
【点评】
本题主要考察特殊平行四边形的性质差异，属于基础题型，解题的核心是准确掌握正方形和菱形的共性与特有性质，避免混淆相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆正方形和菱形的相关性质，明确正方形是特殊的菱形，既具有菱形的所有性质，也有菱形不具备的特有性质。接下来逐一比对每个选项的性质，判断该性质是两者共有，还是仅正方形具备（菱形不一定具备），最终选出符合要求的答案。
【解析】
先梳理两类图形的性质：
菱形的性质：四条边相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；
正方形是特殊的菱形，除具备菱形的全部性质外，还有特有性质：四个角都是直角，对角线相等。
逐一分析选项：
A. 对角线相等：正方形的对角线一定相等，普通菱形的对角线不相等，只有菱形为正方形时对角线才相等，符合“正方形具有而菱形不一定具有”的要求；
B. 对角线互相垂直平分：是菱形和正方形共有的性质，不符合要求；
C. 对角线平分一组对角：是菱形和正方形共有的性质，不符合要求；
D. 四条边相等：是菱形和正方形共有的性质，不符合要求。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、菱形的性质、特殊四边形性质辨析
【点评】
本题主要考察特殊平行四边形的性质差异，属于基础题型，解题的核心是准确掌握正方形和菱形的共性与特有性质，避免混淆相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.85
27. 若一个菱形的一个内角为$120°$,且边长为5,则较长的对角线长为.
答案
$\boldsymbol{5\sqrt{3}}$
解析
【分析】
拿到本题首先回忆菱形的相关性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。已知菱形一个内角为120°，则其邻角为60°，较短对角线可和相邻两边构成等边三角形，先求出短对角线长度；再结合菱形对角线互相垂直的性质，两条对角线的一半与菱形边长构成直角三角形，用勾股定理求出长对角线的一半，乘2即可得到较长对角线的长度。
【解析】
设该菱形为ABCD，边长AB=5，∠BAD=120°，对角线AC、BD交于点O。
根据菱形性质可得：
1. 菱形四条边相等，故AB=BC=5；菱形邻角互补，因此∠ABC=180°-120°=60°，可推出△ABC是等边三角形，即短对角线AC=AB=5。
2. 菱形对角线互相垂直平分，因此AC⊥BD，AO=1/2AC=5/2，BO=1/2BD。
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2}=\sqrt{25-\frac{25}{4}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
因此较长对角线BD=2BO=$5\sqrt{3}$。
【答案】
$5\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定
【点评】
本题属于四边形基础常考题，核心考查菱形性质的灵活应用，解题关键是利用菱形对角线的性质构造直角三角形，结合勾股定理计算，掌握菱形的基本性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
拿到本题首先回忆菱形的相关性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。已知菱形一个内角为120°，则其邻角为60°，较短对角线可和相邻两边构成等边三角形，先求出短对角线长度；再结合菱形对角线互相垂直的性质，两条对角线的一半与菱形边长构成直角三角形，用勾股定理求出长对角线的一半，乘2即可得到较长对角线的长度。
【解析】
设该菱形为ABCD，边长AB=5，∠BAD=120°，对角线AC、BD交于点O。
根据菱形性质可得：
1. 菱形四条边相等，故AB=BC=5；菱形邻角互补，因此∠ABC=180°-120°=60°，可推出△ABC是等边三角形，即短对角线AC=AB=5。
2. 菱形对角线互相垂直平分，因此AC⊥BD，AO=1/2AC=5/2，BO=1/2BD。
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2}=\sqrt{25-\frac{25}{4}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
因此较长对角线BD=2BO=$5\sqrt{3}$。
【答案】
$5\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定
【点评】
本题属于四边形基础常考题，核心考查菱形性质的灵活应用，解题关键是利用菱形对角线的性质构造直角三角形，结合勾股定理计算，掌握菱形的基本性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
28.若一个直角三角形斜边上的中线长是6,则它的两条直角边中点的连线长是.A
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
解题时可分两步推导：第一步，结合已知的直角三角形斜边中线长度，利用直角三角形斜边中线的性质求出斜边的总长度；第二步，明确两条直角边中点的连线是该三角形的中位线，再根据三角形中位线定理计算出连线的长度即可。
【解析】
解：1. 计算直角三角形的斜边长
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知斜边上的中线长为6，因此斜边长 = 2×6 = 12。
2. 计算两条直角边中点的连线长
两条直角边中点的连线是该直角三角形的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。
此处中位线对应的第三边为斜边，因此连线长 = 12÷2 = 6。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是两个常见几何性质的结合应用，只要准确识别图形中的中位线、熟记相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步推导：第一步，结合已知的直角三角形斜边中线长度，利用直角三角形斜边中线的性质求出斜边的总长度；第二步，明确两条直角边中点的连线是该三角形的中位线，再根据三角形中位线定理计算出连线的长度即可。
【解析】
解：1. 计算直角三角形的斜边长
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知斜边上的中线长为6，因此斜边长 = 2×6 = 12。
2. 计算两条直角边中点的连线长
两条直角边中点的连线是该直角三角形的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。
此处中位线对应的第三边为斜边，因此连线长 = 12÷2 = 6。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是两个常见几何性质的结合应用，只要准确识别图形中的中位线、熟记相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
29. 如图所示,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心O处,折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm,∠A=120°,则EF= cm. 
答案
$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤展开：1. 先连接菱形的对角线AC、BD，菱形的对称中心O是两条对角线的交点，结合菱形对角线互相垂直、平分内角的性质，可先推导△ABC的形状，求出AC和AO的长度；2. 依据折叠的性质，折痕EF垂直平分AO，可推出EF是△ABD的中位线；3. 利用勾股定理求出对角线BD的长度，再根据中位线的性质即可算出EF的长度。
【解析】
解：连接AC、BD，两条对角线交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AB=BC=2cm，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2cm，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=1cm，
在Rt△AOB中，AB=2cm，AO=1cm，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ cm，
∴BD=2BO=$2\sqrt{3}$ cm，
由折叠的性质可得：EF垂直平分AO，
又
∵BD⊥AC，
∴EF//BD，即E、F分别是AB、AD的中点，EF是△ABD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$ cm。
【答案】
$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是四边形的基础综合题，将折叠的对称性和菱形的性质、三角形中位线的应用结合起来，解题的关键是通过辅助线找到折痕EF和菱形对角线的数量关系，能有效考察学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解题思路可按以下步骤展开：1. 先连接菱形的对角线AC、BD，菱形的对称中心O是两条对角线的交点，结合菱形对角线互相垂直、平分内角的性质，可先推导△ABC的形状，求出AC和AO的长度；2. 依据折叠的性质，折痕EF垂直平分AO，可推出EF是△ABD的中位线；3. 利用勾股定理求出对角线BD的长度，再根据中位线的性质即可算出EF的长度。
【解析】
解：连接AC、BD，两条对角线交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AB=BC=2cm，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2cm，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=1cm，
在Rt△AOB中，AB=2cm，AO=1cm，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ cm，
∴BD=2BO=$2\sqrt{3}$ cm，
由折叠的性质可得：EF垂直平分AO，
又
∵BD⊥AC，
∴EF//BD，即E、F分别是AB、AD的中点，EF是△ABD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$ cm。
【答案】
$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是四边形的基础综合题，将折叠的对称性和菱形的性质、三角形中位线的应用结合起来，解题的关键是通过辅助线找到折痕EF和菱形对角线的数量关系，能有效考察学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
