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25. 如图,在平面直角坐标系中,点$A,B,C$的坐标分别为$(0,a),(b,0),(b,c)$,其中$a,b,c$满足$(3a-2b)^2+\sqrt{a-b+1}=0,|c-4|≤0$.
(1)求$a,b,c$的值;
(2)若点$M$在$x$轴上,$S_{\mathrm{三角形}COM}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{三角形}ABC}$,求点$M$的坐标;
(3)如果在第二象限内有一点$P(m-1,1)$,$m$在什么取值范围时,三角形$AOP$的面积不大于三角形$ABC$的面积?
(1)求$a,b,c$的值;
(2)若点$M$在$x$轴上,$S_{\mathrm{三角形}COM}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{三角形}ABC}$,求点$M$的坐标;
(3)如果在第二象限内有一点$P(m-1,1)$,$m$在什么取值范围时,三角形$AOP$的面积不大于三角形$ABC$的面积?
答案
解：
(1) 由非负数的性质，得
$\begin{cases}3a - 2b = 0 \\ a - b + 1 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2 \\ b=3\end{cases}$
因为$|c-4|≥0$，且$|c-4|≤0$，所以$c-4=0$，即$c=4$。
综上，$a=2$，$b=3$，$c=4$。
(2) 由(1)得$A(0,2)$，$B(3,0)$，$C(3,4)$，
可知$BC⊥ x$轴，$BC=4$，点A到直线$BC$的水平距离为3，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$。
设点M的坐标为$(x,0)$，则$OM=|x|$，
$S_{△ COM}=\frac{1}{2}· |OM|· 4=2|x|$，
由题意得$2|x|=\frac{1}{2}×6=3$，
解得$x=\pm\frac{3}{2}$，
所以点M的坐标为$(\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{3}{2},0)$。
(3) 因为点$P(m-1,1)$在第二象限，
所以$m-1＜0$，即$m＜1$。
$OA=2$，点P到y轴的距离为$|m-1|=1-m$，
因此$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA × (1-m)=\frac{1}{2}×2×(1-m)=1-m$。
由题意得$1-m ≤ 6$，
解得$m≥ -5$。
结合$m＜1$，得m的取值范围是$-5≤ m ＜1$。
(1) 由非负数的性质，得
$\begin{cases}3a - 2b = 0 \\ a - b + 1 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2 \\ b=3\end{cases}$
因为$|c-4|≥0$，且$|c-4|≤0$，所以$c-4=0$，即$c=4$。
综上，$a=2$，$b=3$，$c=4$。
(2) 由(1)得$A(0,2)$，$B(3,0)$，$C(3,4)$，
可知$BC⊥ x$轴，$BC=4$，点A到直线$BC$的水平距离为3，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$。
设点M的坐标为$(x,0)$，则$OM=|x|$，
$S_{△ COM}=\frac{1}{2}· |OM|· 4=2|x|$，
由题意得$2|x|=\frac{1}{2}×6=3$，
解得$x=\pm\frac{3}{2}$，
所以点M的坐标为$(\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{3}{2},0)$。
(3) 因为点$P(m-1,1)$在第二象限，
所以$m-1＜0$，即$m＜1$。
$OA=2$，点P到y轴的距离为$|m-1|=1-m$，
因此$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA × (1-m)=\frac{1}{2}×2×(1-m)=1-m$。
由题意得$1-m ≤ 6$，
解得$m≥ -5$。
结合$m＜1$，得m的取值范围是$-5≤ m ＜1$。
解析
【分析】
(1) 利用非负数的性质解题：平方、算术平方根、绝对值都属于非负数，若几个非负数的和为0，或非负数的取值≤0，则每个非负数都等于0，据此列方程组和方程即可求解a、b、c的值。
(2) 先根据三点坐标特征确定BC垂直x轴，直接算出BC长度和点A到BC的距离，求出△ABC的面积；再设M的坐标为(x,0)，以OM为底、C点纵坐标为高表示出△COM的面积，根据面积关系列方程求解，注意M在x轴上可位于正半轴也可位于负半轴，需加绝对值避免漏解。
(3) 先根据P在第二象限得到横坐标小于0，确定m的初步范围；再以OA为底、P到y轴的距离为高表示出△AOP的面积，结合“面积不大于△ABC的面积”列不等式，求解后结合初步范围得到最终的m取值范围。
【解析】
(1) 由非负数的性质，得
$\begin{cases}3a - 2b = 0 \\ a - b + 1 = 0\end{cases}$
将第二个方程变形为$b=a+1$，代入第一个方程解得$a=2$，再代入得$b=3$。
因为$|c-4|≥0$，且$|c-4|≤0$，所以$c-4=0$，即$c=4$。
(2) 由(1)得$A(0,2)$，$B(3,0)$，$C(3,4)$，可知$BC⊥ x$轴，$BC=4$，点A到直线$BC$的水平距离为3，因此
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$。
设点M的坐标为$(x,0)$，则$OM=|x|$，
$S_{△ COM}=\frac{1}{2}· |OM|· 4=2|x|$，
由题意得$2|x|=\frac{1}{2}×6=3$，
解得$x=\pm\frac{3}{2}$，
所以点M的坐标为$(\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{3}{2},0)$。
(3) 因为点$P(m-1,1)$在第二象限，
所以$m-1＜0$，即$m＜1$。
$OA=2$，点P到y轴的距离为$|m-1|=1-m$，
因此$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA × (1-m)=\frac{1}{2}×2×(1-m)=1-m$。
由题意得$1-m ≤ 6$，
解得$m≥ -5$。
结合$m＜1$，得m的取值范围是$-5≤ m ＜1$。
【答案】
(1)$a=2$，$b=3$，$c=4$；
(2)点$M$的坐标为$(\dfrac{3}{2},0)$或$(-\dfrac{3}{2},0)$；
(3)$-5≤ m＜1$
【知识点】
非负数的性质，坐标与图形，三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题关键是熟练运用非负数性质求参数，结合坐标特征找三角形的底和高计算面积，求解动点问题和范围问题时要注意隐含限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65
(1) 利用非负数的性质解题：平方、算术平方根、绝对值都属于非负数，若几个非负数的和为0，或非负数的取值≤0，则每个非负数都等于0，据此列方程组和方程即可求解a、b、c的值。
(2) 先根据三点坐标特征确定BC垂直x轴，直接算出BC长度和点A到BC的距离，求出△ABC的面积；再设M的坐标为(x,0)，以OM为底、C点纵坐标为高表示出△COM的面积，根据面积关系列方程求解，注意M在x轴上可位于正半轴也可位于负半轴，需加绝对值避免漏解。
(3) 先根据P在第二象限得到横坐标小于0，确定m的初步范围；再以OA为底、P到y轴的距离为高表示出△AOP的面积，结合“面积不大于△ABC的面积”列不等式，求解后结合初步范围得到最终的m取值范围。
【解析】
(1) 由非负数的性质，得
$\begin{cases}3a - 2b = 0 \\ a - b + 1 = 0\end{cases}$
将第二个方程变形为$b=a+1$，代入第一个方程解得$a=2$，再代入得$b=3$。
因为$|c-4|≥0$，且$|c-4|≤0$，所以$c-4=0$，即$c=4$。
(2) 由(1)得$A(0,2)$，$B(3,0)$，$C(3,4)$，可知$BC⊥ x$轴，$BC=4$，点A到直线$BC$的水平距离为3，因此
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$。
设点M的坐标为$(x,0)$，则$OM=|x|$，
$S_{△ COM}=\frac{1}{2}· |OM|· 4=2|x|$，
由题意得$2|x|=\frac{1}{2}×6=3$，
解得$x=\pm\frac{3}{2}$，
所以点M的坐标为$(\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{3}{2},0)$。
(3) 因为点$P(m-1,1)$在第二象限，
所以$m-1＜0$，即$m＜1$。
$OA=2$，点P到y轴的距离为$|m-1|=1-m$，
因此$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA × (1-m)=\frac{1}{2}×2×(1-m)=1-m$。
由题意得$1-m ≤ 6$，
解得$m≥ -5$。
结合$m＜1$，得m的取值范围是$-5≤ m ＜1$。
【答案】
(1)$a=2$，$b=3$，$c=4$；
(2)点$M$的坐标为$(\dfrac{3}{2},0)$或$(-\dfrac{3}{2},0)$；
(3)$-5≤ m＜1$
【知识点】
非负数的性质，坐标与图形，三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题关键是熟练运用非负数性质求参数，结合坐标特征找三角形的底和高计算面积，求解动点问题和范围问题时要注意隐含限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65
