26. 亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界.一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题.如图1所示的是一副三角尺，$∠ C=∠ F=90°$，$∠ A=∠ B=45°$，$∠ D=30°$，$∠ E=60°$.

(1)将两个三角尺按如图2所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求$∠ BGD$的度数；
(2)如图3，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使$AB// MN$，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则$∠ DEM$与$∠ DPB$有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图4，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合.当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出$∠ ACE$所有可能的度数.

解：
(1) 由题意得：∠DAE=90°，∠D=30°，∠BAC=45°，
∴∠BAD = ∠DAE - ∠BAC = 90° - 45° = 45°，
∵∠BGD是△AGD的外角，
∴∠BGD = ∠D + ∠BAD = 30° + 45° = 75°。
(2) $∠ DEM - ∠ DPB = 30°$，理由如下：
过点P作$PG// MN$，
∵$AB// MN$，
∴$PG// MN// AB$，
∴$∠ DEM = ∠ EPG$，$∠ DPB = ∠ DPG$，
又∵$∠ EPG = ∠ DPG + ∠ D$，且$∠ D=30°$，
∴$∠ DEM = ∠ DPB + 30°$，
即$∠ DEM - ∠ DPB = 30°$。
(3) $∠ ACE$所有可能的度数为$30°$，$45°$，$75°$，$120°$，$165°$。

【分析】
(1) 先根据三角尺的内角特征得到∠DAE、∠D、∠BAC的度数，计算出∠BAD的大小，再利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求出∠BGD的度数。
(2) 过点P作PG平行于MN，结合AB平行于MN，利用平行线的传递性可得PG平行于MN也平行于AB，再根据平行线内错角相等的性质，将∠DEM和∠DPB转化为与∠D相关的角，即可推导出两者的数量关系。
(3) 分类讨论两个三角尺不同边互相平行的所有情况，结合平行线的性质分别计算对应∠ACE的度数，排除不符合“点A在直线EC下方”的情况，即可得到所有符合要求的结果。
【解析】
(1) 由题意得：∠DAE=90°，∠D=30°，∠BAC=45°，
∴∠BAD = ∠DAE - ∠BAC = 90° - 45° = 45°，
∵∠BGD是△AGD的外角，
∴∠BGD = ∠D + ∠BAD = 30° + 45° = 75°。
(2) $∠ DEM - ∠ DPB = 30°$，理由如下：
过点P作$PG// MN$，
∵$AB// MN$，
∴$PG// MN// AB$，
∴$∠ DEM = ∠ EPG$，$∠ DPB = ∠ DPG$，
又
∵$∠ EPG = ∠ DPG + ∠ D$，且$∠ D=30°$，
∴$∠ DEM = ∠ DPB + 30°$，
即$∠ DEM - ∠ DPB = 30°$。
(3) 分类讨论两三角尺边平行的情况，结合平行线性质计算，满足点A在直线EC下方的情况有5种，对应∠ACE分别为30°、45°、75°、120°、165°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BGD=75°}$
(2) $\boldsymbol{∠DEM - ∠DPB=30°}$
(3) $\boldsymbol{∠ACE}$的可能度数为$\boldsymbol{30°，45°，75°，120°，165°}$
【知识点】
三角形外角性质、平行线的性质、分类讨论思想
【点评】
本题以常见的三角尺摆放为载体，综合考查了三角形外角、平行线的性质等核心知识点，前两问难度较低，第三问需要全面梳理两组边平行的所有可能性，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6