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7. 某林场有一批造林任务，原任务由35人在一定时间内完成，实际造林时更换了劳动工具，使每个人的劳动效率都提高了1倍，现只派20人去工作，结果还提前2天完成任务。原计划多少天完成任务？
答案
16天
8. 我们知道借助因式分解可以解决整除问题. 小明认为,若 $ n $ 为正整数,那么 $ 3^{n+2} - 3^n $一定能被 24 整除. 他的证明过程如下:
证明:$ 3^{n+2} - 3^n = 3^n(3^2 - 1) = 3^n × 8 $.
∵$ n $ 为正整数,
∴$ 3^n $ 一定能被 3 整除.
∵8 能被 8 整除,
∴$ 3^{n+2} - 3^n $ 一定能被 $ 3 × 8 $ 整除,即 $ 3^{n+2} - 3^n $ 一定能被 24 整除.
变式:(1)若 $ n $ 为正整数,下列各数,一定能整除 $ 2^{n+3} - 2^n $ 的是().
A.8
B.10
C.14
D.17
应用:(2)已知 $ n $ 是正整数,证明:$ (4n+3)^2 - (2n+3)^2 $ 能被 24 整除.
拓展:(3)已知 $ n $ 是正整数,$ (4n+3)^2 - (2n+3)^2 $ 能被 36 整除,请直接写出 $ n $ 的最小值________.
证明:$ 3^{n+2} - 3^n = 3^n(3^2 - 1) = 3^n × 8 $.
∵$ n $ 为正整数,
∴$ 3^n $ 一定能被 3 整除.
∵8 能被 8 整除,
∴$ 3^{n+2} - 3^n $ 一定能被 $ 3 × 8 $ 整除,即 $ 3^{n+2} - 3^n $ 一定能被 24 整除.
变式:(1)若 $ n $ 为正整数,下列各数,一定能整除 $ 2^{n+3} - 2^n $ 的是().
A.8
B.10
C.14
D.17
应用:(2)已知 $ n $ 是正整数,证明:$ (4n+3)^2 - (2n+3)^2 $ 能被 24 整除.
拓展:(3)已知 $ n $ 是正整数,$ (4n+3)^2 - (2n+3)^2 $ 能被 36 整除,请直接写出 $ n $ 的最小值________.
答案
(1) C
(2) 略
(3) n=2.
(2) 略
(3) n=2.
