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23.已知一组数据$x_1,x_2,\dots,x_6$的平均数为1，方差为$\frac{5}{3}$。
(1)求$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_6^2$的值；
(2)若在这组数据中加入另一个数据$x_7$，重新计算，平均数无变化，求这7个数据的方差(结果用分数表示)。
(1)求$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_6^2$的值；
(2)若在这组数据中加入另一个数据$x_7$，重新计算，平均数无变化，求这7个数据的方差(结果用分数表示)。
答案
23.解:(1)
∵数据 $x_1,x_2,\dots,x_6$ 的平均数为 1,
∴$x_1+x_2+\dots+x_6=1×6=6$.
又
∵方差为$\frac{5}{3}$,
∴这6个数据的方差
$s^2=\frac{1}{6}[(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2]$
$=\frac{1}{6}[x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2-2(x_1+x_2+\dots+x_6)+6]$
$=\frac{1}{6}(x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2-2×6+6)$
$=\frac{1}{6}(x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2)-1=\frac{5}{3}$.
∴$x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2=16$.
(2)
∵数据 $x_1,x_2,\dots,x_7$ 的平均数为 1,
∴$x_1+x_2+\dots+x_7=1×7=7$.
∵$x_1+x_2+\dots+x_6=6$,
∴$x_7=1$.
∵$\frac{1}{6}[(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2]=\frac{5}{3}$,
∴$(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2=10$.
∴这7个数据的方差
$s^2=\frac{1}{7}[(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_7-1)^2]=\frac{1}{7}[10+(1-1)^2]=\frac{10}{7}$.
∵数据 $x_1,x_2,\dots,x_6$ 的平均数为 1,
∴$x_1+x_2+\dots+x_6=1×6=6$.
又
∵方差为$\frac{5}{3}$,
∴这6个数据的方差
$s^2=\frac{1}{6}[(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2]$
$=\frac{1}{6}[x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2-2(x_1+x_2+\dots+x_6)+6]$
$=\frac{1}{6}(x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2-2×6+6)$
$=\frac{1}{6}(x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2)-1=\frac{5}{3}$.
∴$x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2=16$.
(2)
∵数据 $x_1,x_2,\dots,x_7$ 的平均数为 1,
∴$x_1+x_2+\dots+x_7=1×7=7$.
∵$x_1+x_2+\dots+x_6=6$,
∴$x_7=1$.
∵$\frac{1}{6}[(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2]=\frac{5}{3}$,
∴$(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2=10$.
∴这7个数据的方差
$s^2=\frac{1}{7}[(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_7-1)^2]=\frac{1}{7}[10+(1-1)^2]=\frac{10}{7}$.
解析
【分析】
对于(1)问，先根据平均数的计算公式求出6个数据的总和，再将方差公式展开，展开式中包含待求的平方和项，把已知的总和、方差代入展开后的式子，通过解方程即可求出平方和的值。对于(2)问，加入新数据后平均数不变，先根据7个数据的平均数求出7个数据的总和，减去原有6个数据的总和得到$x_7$的值；再结合原有方差求出6个数据与平均数差的平方和，加上$x_7$与平均数差的平方后除以7，即可得到7个数据的方差。
【解析】
(1)
∵数据$x_1,x_2,\dots,x_6$的平均数为1，
∴$x_1+x_2+\dots+x_6=1×6=6$，
又
∵方差为$\frac{5}{3}$，根据方差公式可得：
$s^2=\frac{1}{6}[(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2]$
将完全平方展开化简：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{6}[x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2-2(x_1+x_2+\dots+x_6)+6×1^2]\\\frac{5}{3}&=\frac{1}{6}(x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2-2×6+6)\\\frac{5}{3}&=\frac{1}{6}(x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2)-1\end{aligned}$
解得：$x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2=(\frac{5}{3}+1)×6=16$。
(2)
∵加入$x_7$后7个数据的平均数仍为1，
∴$x_1+x_2+\dots+x_7=1×7=7$，
结合(1)的结论可得$x_7=7-6=1$，
由原有6个数据的方差为$\frac{5}{3}$，得：
$(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2=\frac{5}{3}×6=10$，
则7个数据的方差为：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{7}[(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2+(x_7-1)^2]\\&=\frac{1}{7}×(10 + (1-1)^2)\\&=\frac{10}{7}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{\dfrac{10}{7}}$
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，完全平方公式应用
【点评】
本题考查平均数和方差公式的灵活运用，解题核心是熟练掌握两个统计量的计算公式，能根据已知条件对公式合理变形求解未知量，属于统计部分的基础常考题型，熟练掌握公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
对于(1)问，先根据平均数的计算公式求出6个数据的总和，再将方差公式展开，展开式中包含待求的平方和项，把已知的总和、方差代入展开后的式子，通过解方程即可求出平方和的值。对于(2)问，加入新数据后平均数不变，先根据7个数据的平均数求出7个数据的总和，减去原有6个数据的总和得到$x_7$的值；再结合原有方差求出6个数据与平均数差的平方和，加上$x_7$与平均数差的平方后除以7，即可得到7个数据的方差。
【解析】
(1)
∵数据$x_1,x_2,\dots,x_6$的平均数为1，
∴$x_1+x_2+\dots+x_6=1×6=6$，
又
∵方差为$\frac{5}{3}$，根据方差公式可得：
$s^2=\frac{1}{6}[(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2]$
将完全平方展开化简：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{6}[x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2-2(x_1+x_2+\dots+x_6)+6×1^2]\\\frac{5}{3}&=\frac{1}{6}(x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2-2×6+6)\\\frac{5}{3}&=\frac{1}{6}(x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2)-1\end{aligned}$
解得：$x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2=(\frac{5}{3}+1)×6=16$。
(2)
∵加入$x_7$后7个数据的平均数仍为1，
∴$x_1+x_2+\dots+x_7=1×7=7$，
结合(1)的结论可得$x_7=7-6=1$，
由原有6个数据的方差为$\frac{5}{3}$，得：
$(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2=\frac{5}{3}×6=10$，
则7个数据的方差为：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{7}[(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+\dots+(x_6-1)^2+(x_7-1)^2]\\&=\frac{1}{7}×(10 + (1-1)^2)\\&=\frac{10}{7}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{\dfrac{10}{7}}$
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，完全平方公式应用
【点评】
本题考查平均数和方差公式的灵活运用，解题核心是熟练掌握两个统计量的计算公式，能根据已知条件对公式合理变形求解未知量，属于统计部分的基础常考题型，熟练掌握公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
24. 某学校食堂午餐供应5元、8元和10元三种价格的盒饭.某班统计了连续10天中午吃盒饭的学生人数如下：
40,30,25,25,21,18,10,16,20,25
(1)请写出这组数据的平均数、中位数和众数.
(2)该班第一天中午吃盒饭的价格情况如图所示,直接写出该班学生第一天中午吃盒饭价格的四分位数$Q_1,Q_2,Q_3$.
(3)该班有甲、乙、丙三名学生10天中午都吃盒饭,总共消费232元,其中学生甲这10天消费5元、8元和10元的天数分别占20％、30％、50％,学生乙这10天消费5元、8元和10元的天数分别占20％、60％、20％.求出学生丙这10天消费5元盒饭的天数.
40,30,25,25,21,18,10,16,20,25
(1)请写出这组数据的平均数、中位数和众数.
(2)该班第一天中午吃盒饭的价格情况如图所示,直接写出该班学生第一天中午吃盒饭价格的四分位数$Q_1,Q_2,Q_3$.
(3)该班有甲、乙、丙三名学生10天中午都吃盒饭,总共消费232元,其中学生甲这10天消费5元、8元和10元的天数分别占20％、30％、50％,学生乙这10天消费5元、8元和10元的天数分别占20％、60％、20％.求出学生丙这10天消费5元盒饭的天数.
答案
24.解:(1)$\overline{x}=\frac{1}{10}×(40+30+25+25+21+18+10+16+20+25)=23$;
把这组数据按从小到大排列为 10,16,18,20,21,25,25,25,30,40,
故中位数为$\frac{21+25}{2}=23$;
由于25在这组数据中出现的次数最多,故众数为25.
(2)$Q_1=8$,$Q_2=8$,$Q_3=10$.
(3)$232-(5×10×20\%+8×10×30\%+10×10×50\%)-(5×10×20\%+8×10×60\%+10×10×20\%)=70$(元).
设学生丙这10天消费5元盒饭的天数为$x$,消费10元盒饭的天数为$y$,
∴$5x+10y+8(10-x-y)=70$,
整理得 $3x-2y=10$.
∵$x,y$ 是非负整数,
∴$x=4,y=1$ 或 $x=6,y=4$.
∴学生丙这10天消费5元盒饭的天数为4或6.
把这组数据按从小到大排列为 10,16,18,20,21,25,25,25,30,40,
故中位数为$\frac{21+25}{2}=23$;
由于25在这组数据中出现的次数最多,故众数为25.
(2)$Q_1=8$,$Q_2=8$,$Q_3=10$.
(3)$232-(5×10×20\%+8×10×30\%+10×10×50\%)-(5×10×20\%+8×10×60\%+10×10×20\%)=70$(元).
设学生丙这10天消费5元盒饭的天数为$x$,消费10元盒饭的天数为$y$,
∴$5x+10y+8(10-x-y)=70$,
整理得 $3x-2y=10$.
∵$x,y$ 是非负整数,
∴$x=4,y=1$ 或 $x=6,y=4$.
∴学生丙这10天消费5元盒饭的天数为4或6.
解析
【分析】
(1) 求解平均数、中位数、众数需紧扣三者定义：平均数为所有数据之和除以数据总个数；中位数需要先将数据从小到大排序，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数，按定义分步计算即可。
(2) 求四分位数时，先计算第一天总人数，再分别算出25%、50%、75%分位数对应的位置，结合不同价格对应的人数区间，即可确定对应位置的价格为四分位数。
(3) 先根据甲、乙的消费占比分别算出两人10天的总消费，用三人总消费减去甲乙的消费得到丙的总消费；再设丙消费5元、10元的天数分别为x、y，用x、y表示消费8元的天数，根据总消费列方程，结合x、y为非负整数且天数和不超过10的条件，求解x的可能值。
【解析】
(1) 计算平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{10}×(40+30+25+25+21+18+10+16+20+25)=23$
将数据从小到大排列为10,16,18,20,21,25,25,25,30,40，共10个数据，中位数为第5和第6个数据的平均数：
中位数$=\frac{21+25}{2}=23$
25在这组数据中出现次数最多，故众数为25。
(2) 第一天总人数为$8+20+12=40$人，
$Q_1$对应位置：$40×25\%=10$，前8人为消费5元的学生，第9到28人为消费8元的学生，第10个在8元区间，故$Q_1=8$；
$Q_2$对应位置：$40×50\%=20$，第20个在8元区间，故$Q_2=8$；
$Q_3$对应位置：$40×75\%=30$，第29到40人为消费10元的学生，第30个在10元区间，故$Q_3=10$。
(3) 甲10天总消费：$5×10×20\%+8×10×30\%+10×10×50\%=84$（元）
乙10天总消费：$5×10×20\%+8×10×60\%+10×10×20\%=78$（元）
丙10天总消费：$232-84-78=70$（元）
设丙消费5元盒饭的天数为$x$，消费10元盒饭的天数为$y$，则消费8元盒饭的天数为$10-x-y$（$x,y$为非负整数，且$x+y≤10$），列方程：
$5x+10y+8(10-x-y)=70$
整理得：$3x-2y=10$
符合条件的非负整数解为$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$或$\begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}$，均满足$x+y≤10$。
【答案】
(1) 平均数为23，中位数为23，众数为25；
(2) $Q_1=8$，$Q_2=8$，$Q_3=10$；
(3) 4天或6天。
【知识点】
统计量计算、四分位数、二元一次方程整数解
【点评】
本题结合生活实际考查统计知识与方程的综合应用，前两问侧重基础统计量的计算，需牢记相关定义和计算方法，第三问需要结合实际情境中天数为非负整数的隐含条件求解，考查学生的逻辑推理能力和计算细心程度。
【难度系数】
0.7
(1) 求解平均数、中位数、众数需紧扣三者定义：平均数为所有数据之和除以数据总个数；中位数需要先将数据从小到大排序，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数，按定义分步计算即可。
(2) 求四分位数时，先计算第一天总人数，再分别算出25%、50%、75%分位数对应的位置，结合不同价格对应的人数区间，即可确定对应位置的价格为四分位数。
(3) 先根据甲、乙的消费占比分别算出两人10天的总消费，用三人总消费减去甲乙的消费得到丙的总消费；再设丙消费5元、10元的天数分别为x、y，用x、y表示消费8元的天数，根据总消费列方程，结合x、y为非负整数且天数和不超过10的条件，求解x的可能值。
【解析】
(1) 计算平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{10}×(40+30+25+25+21+18+10+16+20+25)=23$
将数据从小到大排列为10,16,18,20,21,25,25,25,30,40，共10个数据，中位数为第5和第6个数据的平均数：
中位数$=\frac{21+25}{2}=23$
25在这组数据中出现次数最多，故众数为25。
(2) 第一天总人数为$8+20+12=40$人，
$Q_1$对应位置：$40×25\%=10$，前8人为消费5元的学生，第9到28人为消费8元的学生，第10个在8元区间，故$Q_1=8$；
$Q_2$对应位置：$40×50\%=20$，第20个在8元区间，故$Q_2=8$；
$Q_3$对应位置：$40×75\%=30$，第29到40人为消费10元的学生，第30个在10元区间，故$Q_3=10$。
(3) 甲10天总消费：$5×10×20\%+8×10×30\%+10×10×50\%=84$（元）
乙10天总消费：$5×10×20\%+8×10×60\%+10×10×20\%=78$（元）
丙10天总消费：$232-84-78=70$（元）
设丙消费5元盒饭的天数为$x$，消费10元盒饭的天数为$y$，则消费8元盒饭的天数为$10-x-y$（$x,y$为非负整数，且$x+y≤10$），列方程：
$5x+10y+8(10-x-y)=70$
整理得：$3x-2y=10$
符合条件的非负整数解为$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$或$\begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}$，均满足$x+y≤10$。
【答案】
(1) 平均数为23，中位数为23，众数为25；
(2) $Q_1=8$，$Q_2=8$，$Q_3=10$；
(3) 4天或6天。
【知识点】
统计量计算、四分位数、二元一次方程整数解
【点评】
本题结合生活实际考查统计知识与方程的综合应用，前两问侧重基础统计量的计算，需牢记相关定义和计算方法，第三问需要结合实际情境中天数为非负整数的隐含条件求解，考查学生的逻辑推理能力和计算细心程度。
【难度系数】
0.7
