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9.已知$a^m = b$，$b^n = a^{-1}$，$4^{m+n}=8$，下列计算结果正确的是（）
①$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=-\frac{3}{2}$；②$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=-\frac{17}{4}$；③$m^2 +n^2=\frac{17}{4}$；④$m^2 -n^2=\frac{15}{4}$。
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
①$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=-\frac{3}{2}$；②$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=-\frac{17}{4}$；③$m^2 +n^2=\frac{17}{4}$；④$m^2 -n^2=\frac{15}{4}$。
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
A
解析
先推导已知条件：
1. 由$a^m = b$，代入$b^n=a^{-1}$，得$(a^m)^n=a^{-1}$，根据幂的乘方法则得$a^{mn}=a^{-1}$，因此$mn=-1$。
2. 由$4^{m+n}=8$，变形为$2^{2(m+n)}=2^3$，得$2(m+n)=3$，因此$m+n=\frac{3}{2}$。
逐个验证结论：
① $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{\frac{3}{2}}{-1}=-\frac{3}{2}$，①正确；
② 先算$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=(\frac{3}{2})^2-2×(-1)=\frac{17}{4}$，则$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{\frac{17}{4}}{-1}=-\frac{17}{4}$，②正确；
③ 由上述计算得$m^2+n^2=\frac{17}{4}$，③正确；
④ 由$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}$，得$m-n=\pm\frac{5}{2}$，因此$m^2-n^2=(m+n)(m-n)=\pm\frac{15}{4}$，不一定等于$\frac{15}{4}$，④错误。
综上正确的是①②③。
1. 由$a^m = b$，代入$b^n=a^{-1}$，得$(a^m)^n=a^{-1}$，根据幂的乘方法则得$a^{mn}=a^{-1}$，因此$mn=-1$。
2. 由$4^{m+n}=8$，变形为$2^{2(m+n)}=2^3$，得$2(m+n)=3$，因此$m+n=\frac{3}{2}$。
逐个验证结论：
① $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{\frac{3}{2}}{-1}=-\frac{3}{2}$，①正确；
② 先算$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=(\frac{3}{2})^2-2×(-1)=\frac{17}{4}$，则$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{\frac{17}{4}}{-1}=-\frac{17}{4}$，②正确；
③ 由上述计算得$m^2+n^2=\frac{17}{4}$，③正确；
④ 由$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}$，得$m-n=\pm\frac{5}{2}$，因此$m^2-n^2=(m+n)(m-n)=\pm\frac{15}{4}$，不一定等于$\frac{15}{4}$，④错误。
综上正确的是①②③。
10. 已知$x=4a^2+4ab+14$，$y=b^2-6b-12a$，则$x+y$的最小值是 （）
A.14
B.5
C.9
D.不存在
A.14
B.5
C.9
D.不存在
答案
B
解析
先计算x+y的表达式：
$x+y = 4a^2+4ab+14 + b^2 -6b -12a$
分组整理后利用完全平方公式变形：
$x+y = (4a^2+4ab+b^2) -12a -6b +14$
$x+y = (2a+b)^2 -6(2a+b) +14$
令$t=2a+b$，对式子配方得：
$x+y = t^2 -6t +9 +5 = (t-3)^2 +5$
由于平方数$(t-3)^2≥0$，当$t=3$即$2a+b=3$时，$(t-3)^2$取最小值0，此时$x+y$的最小值为5。
$x+y = 4a^2+4ab+14 + b^2 -6b -12a$
分组整理后利用完全平方公式变形：
$x+y = (4a^2+4ab+b^2) -12a -6b +14$
$x+y = (2a+b)^2 -6(2a+b) +14$
令$t=2a+b$，对式子配方得：
$x+y = t^2 -6t +9 +5 = (t-3)^2 +5$
由于平方数$(t-3)^2≥0$，当$t=3$即$2a+b=3$时，$(t-3)^2$取最小值0，此时$x+y$的最小值为5。
二、填空题
11. $(-\dfrac{2}{7}+x)(\_\_\_\_\_\_)=\dfrac{4}{49}-x^2$。
11. $(-\dfrac{2}{7}+x)(\_\_\_\_\_\_)=\dfrac{4}{49}-x^2$。
答案
解：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，
可得$\frac{4}{49}-x^2 = (-\frac{2}{7})^2 - x^2 = (-\frac{2}{7} + x)(-\frac{2}{7} - x)$，
因此横线处应填$-\dfrac{2}{7} - x$。
可得$\frac{4}{49}-x^2 = (-\frac{2}{7})^2 - x^2 = (-\frac{2}{7} + x)(-\frac{2}{7} - x)$，
因此横线处应填$-\dfrac{2}{7} - x$。
12. 给出下列四组代数式:①$5xy$和$xy^5$;②$5x-y$和$x+5y$;③$5(x-y)$和$6(x-y)$;④$5x$和$15y$。其中没有公因式的一组是(填序号)。
答案
$\boldsymbol{②}$
解析
解：
逐一分析各组代数式的公因式：
①$5xy$和$xy^5$的公因式为$xy$；
②$5x-y$和$x+5y$不存在公共因式；
③$5(x-y)$和$6(x-y)$的公因式为$x-y$；
④$5x$和$15y$的公因式为$5$。
因此没有公因式的一组是②。
逐一分析各组代数式的公因式：
①$5xy$和$xy^5$的公因式为$xy$；
②$5x-y$和$x+5y$不存在公共因式；
③$5(x-y)$和$6(x-y)$的公因式为$x-y$；
④$5x$和$15y$的公因式为$5$。
因此没有公因式的一组是②。
13. 已知$(4n+3)^2 - (2n+3)^2$一定能被$k$整除，且$k$，$n$都是正整数。若$9＜k＜13$，则$k$的值为________。
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
解：
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(4n+3)^2 - (2n+3)^2&=[(4n+3)-(2n+3)][(4n+3)+(2n+3)]\\&=2n·(6n+6)\\&=12n(n+1)\end{aligned}$
因为n是正整数，所以$12n(n+1)$一定是12的倍数。
已知9＜k＜13，且k是正整数，符合范围的正整数为10、11、12，取n=1时原式的值为$7^2-5^2=24$，24不能被10、11整除，因此k只能为12。
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(4n+3)^2 - (2n+3)^2&=[(4n+3)-(2n+3)][(4n+3)+(2n+3)]\\&=2n·(6n+6)\\&=12n(n+1)\end{aligned}$
因为n是正整数，所以$12n(n+1)$一定是12的倍数。
已知9＜k＜13，且k是正整数，符合范围的正整数为10、11、12，取n=1时原式的值为$7^2-5^2=24$，24不能被10、11整除，因此k只能为12。
14.某密码翻译爱好者的书上记录着$2,x,x^2 -1,x+1,x-1$分别对应“2”“4”“6”“5”“3”的数字。则多项式$2x^3 -2x$因式分解后呈现的密码信息可以是。
答案
$\boldsymbol{2453}$（排列顺序合理即可）
解析
解：
对多项式$2x^3 - 2x$因式分解：
$\begin{aligned}2x^3 - 2x &= 2x(x^2 - 1) \\&= 2x(x+1)(x-1)\end{aligned}$
根据对应规则，因式$2$对应数字$2$，因式$x$对应数字$4$，因式$x+1$对应数字$5$，因式$x-1$对应数字$3$，将各因式按分解顺序替换为对应数字，可得密码信息为2453。
对多项式$2x^3 - 2x$因式分解：
$\begin{aligned}2x^3 - 2x &= 2x(x^2 - 1) \\&= 2x(x+1)(x-1)\end{aligned}$
根据对应规则，因式$2$对应数字$2$，因式$x$对应数字$4$，因式$x+1$对应数字$5$，因式$x-1$对应数字$3$，将各因式按分解顺序替换为对应数字，可得密码信息为2453。
15. 当整数a为时，多项式$x^2+a$能用平方差公式分解因式。
答案
解：
平方差公式的因式分解形式为$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，
将多项式$x^2+a$变形为$x^2 - (-a)$，若其能用平方差公式分解因式，则$-a$必须是正的完全平方数，
即整数$a$为负的完全平方数，例如$a=-1$（答案不唯一，所有形如$-k^2$，$k$为正整数的整数均符合要求）。
平方差公式的因式分解形式为$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，
将多项式$x^2+a$变形为$x^2 - (-a)$，若其能用平方差公式分解因式，则$-a$必须是正的完全平方数，
即整数$a$为负的完全平方数，例如$a=-1$（答案不唯一，所有形如$-k^2$，$k$为正整数的整数均符合要求）。
16.一个多项式$4x^3y - M$可以因式分解成$4xy(x^2 - y^2 + xy)$，那么M等于。
答案
$\boldsymbol{4xy^3 - 4x^2y^2}$
解析
解：
由题意可得：
$4x^3y - M = 4xy(x^2 - y^2 + xy)$
将等式右侧展开：
$4xy(x^2 - y^2 + xy) = 4xy· x^2 - 4xy· y^2 + 4xy· xy = 4x^3y - 4xy^3 + 4x^2y^2$
因此有：
$4x^3y - M = 4x^3y - 4xy^3 + 4x^2y^2$
两边同时减去$4x^3y$，得：
$-M = -4xy^3 + 4x^2y^2$
两边同乘$-1$，得：
$M = 4xy^3 - 4x^2y^2$
最终
由题意可得：
$4x^3y - M = 4xy(x^2 - y^2 + xy)$
将等式右侧展开：
$4xy(x^2 - y^2 + xy) = 4xy· x^2 - 4xy· y^2 + 4xy· xy = 4x^3y - 4xy^3 + 4x^2y^2$
因此有：
$4x^3y - M = 4x^3y - 4xy^3 + 4x^2y^2$
两边同时减去$4x^3y$，得：
$-M = -4xy^3 + 4x^2y^2$
两边同乘$-1$，得：
$M = 4xy^3 - 4x^2y^2$
最终
17.如图，根据图形把多项式$a^2+5ab+4b^2$因式分解为。
答案
解：由图可知，大长方形的长为 $a + 4b$，宽为 $a + b$，大长方形的面积等于所有小图形的面积之和，即 $a^2 + 5ab + 4b^2$，因此
$a^2 + 5ab + 4b^2 = (a + b)(a + 4b)$
$a^2 + 5ab + 4b^2 = (a + b)(a + 4b)$
18. 因式定理:对于多项式$f(x)$,若$f(a)=0$,则$x-a$是$f(x)$的一个因式,并且可以通过添减单项式从$f(x)$中分离出来。例如:$f(x)=2x^3 - 3x + 1$,由于$f(1)=0$,所以$x-1$是$f(x)$的一个因式。若$f(x)=2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 2x - x + 1=(x-1)g(x)$,则$g(x)=$。
答案
$\boldsymbol{2x^2+2x-1}$
解析
解：
对给定多项式分组提取公因式：
$\begin{aligned}f(x)&=2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 2x - x + 1\\&=2x^2(x-1) + 2x(x-1) - (x-1)\\&=(x-1)(2x^2 + 2x - 1)\end{aligned}$
已知$f(x)=(x-1)g(x)$，因此$g(x)=2x^2+2x-1$。
最终
对给定多项式分组提取公因式：
$\begin{aligned}f(x)&=2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 2x - x + 1\\&=2x^2(x-1) + 2x(x-1) - (x-1)\\&=(x-1)(2x^2 + 2x - 1)\end{aligned}$
已知$f(x)=(x-1)g(x)$，因此$g(x)=2x^2+2x-1$。
最终
