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一、选择题
1. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是 （）
A.$6x^2y^3 = 2x^2 · 3y^3$
B.$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
C.$x^2 + 2x + 1 = x(x + 2 + \frac{1}{x})$
D.$(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$
1. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是 （）
A.$6x^2y^3 = 2x^2 · 3y^3$
B.$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
C.$x^2 + 2x + 1 = x(x + 2 + \frac{1}{x})$
D.$(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$
答案
B
解析
根据因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项：
1. 选项A：左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求；
2. 选项B：将多项式$x^2-9$转化为两个整式$(x-3)$与$(x+3)$的乘积，属于因式分解；
3. 选项C：变形后的结果中含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式的乘积，不符合因式分解的要求；
4. 选项D：该变形是将整式乘积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解。
综上，只有B选项的变形属于因式分解。
1. 选项A：左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求；
2. 选项B：将多项式$x^2-9$转化为两个整式$(x-3)$与$(x+3)$的乘积，属于因式分解；
3. 选项C：变形后的结果中含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式的乘积，不符合因式分解的要求；
4. 选项D：该变形是将整式乘积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解。
综上，只有B选项的变形属于因式分解。
2. 将多项式$x^2 - px + 100$分解因式为$x^2 - px + 100=(x - 5)(x + q)$，则$(p - q)^2=$
（）
A.2 025
B.1 225
C.625
D.225
（）
A.2 025
B.1 225
C.625
D.225
答案
A
解析
先将等式右侧的多项式展开：$(x-5)(x+q)=x^2+(q-5)x-5q$。
根据多项式相等对应项系数相等：
1. 常数项对应相等：$-5q=100$，解得$q=-20$；
2. 一次项系数对应相等：$-p=q-5$，将$q=-20$代入，得$-p=-20-5=-25$，解得$p=25$。
计算得$p-q=25-(-20)=45$，因此$(p-q)^2=45^2=2025$。
根据多项式相等对应项系数相等：
1. 常数项对应相等：$-5q=100$，解得$q=-20$；
2. 一次项系数对应相等：$-p=q-5$，将$q=-20$代入，得$-p=-20-5=-25$，解得$p=25$。
计算得$p-q=25-(-20)=45$，因此$(p-q)^2=45^2=2025$。
3. 把多项式$2ab + 4ab^2$分解因式，应提取的公因式是 （）
A.$ab$
B.$2ab$
C.$2ab^2$
D.$2a$
A.$ab$
B.$2ab$
C.$2ab^2$
D.$2a$
答案
B
解析
确定公因式步骤：1. 取多项式各项系数的最大公约数：2和4的最大公约数为2；2. 取各项共有的相同字母，且相同字母取最低次幂：两项都含有字母a、b，a的最低次数是1，b的最低次数是1，因此该多项式应提取的公因式是2ab。
4. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：$5=3^2 - 2^2$，5就是一个“智慧数”。下列各数不是“智慧数”的是（）
A.15
B.16
C.17
D.18
A.15
B.16
C.17
D.18
答案
D
解析
利用平方差公式，设正整数n=a²-b²=(a-b)(a+b)，a、b为正整数，令x=a-b，y=a+b，则y＞x＞0，x、y同奇偶，n=x·y，且a=(x+y)/2，b=(y-x)/2均为正整数：
1. 验证A选项：15=1×15，x=1，y=15同奇，得a=8，b=7，15=8²-7²，是智慧数；
2. 验证B选项：16=2×8，x=2，y=8同偶，得a=5，b=3，16=5²-3²，是智慧数；
3. 验证C选项：17=1×17，x=1，y=17同奇，得a=9，b=8，17=9²-8²，是智慧数；
4. 验证D选项：18的正因数对为(1,18)、(2,9)，两组因数均一奇一偶，不同奇偶，不存在符合条件的正整数a、b，故18不是智慧数。
1. 验证A选项：15=1×15，x=1，y=15同奇，得a=8，b=7，15=8²-7²，是智慧数；
2. 验证B选项：16=2×8，x=2，y=8同偶，得a=5，b=3，16=5²-3²，是智慧数；
3. 验证C选项：17=1×17，x=1，y=17同奇，得a=9，b=8，17=9²-8²，是智慧数；
4. 验证D选项：18的正因数对为(1,18)、(2,9)，两组因数均一奇一偶，不同奇偶，不存在符合条件的正整数a、b，故18不是智慧数。
5.为了美化校园，某校购买了一批树苗。已知树苗总数为$(a^2 -4a +4)$棵，若平均分给$(a-2)$个班级，则每个班级分得的树苗棵数为 （）
A.$a+2$
B.$a-2$
C.$a^2 -2$
D.$a-4$
A.$a+2$
B.$a-2$
C.$a^2 -2$
D.$a-4$
答案
B
解析
先利用完全平方公式对树苗总数因式分解，可得$a^2-4a+4=(a-2)^2$，用总树苗数除以班级数，计算得每个班级分得的树苗棵数为$\frac{(a-2)^2}{a-2}=a-2$。
6. $(3a+2b)(3x-2y)+a(2y-3x)$因式分解的最终结果是 ()
A.$(2a+2b)(2y-3x)$
B.$(2a+2b)(3x-2y)$
C.$2(a+2b)(3x-2y)$
D.$2(a+b)(3x-2y)$
A.$(2a+2b)(2y-3x)$
B.$(2a+2b)(3x-2y)$
C.$2(a+2b)(3x-2y)$
D.$2(a+b)(3x-2y)$
答案
D
解析
先对原式变形，将$a(2y-3x)$改写为$-a(3x-2y)$，可得：
原式$=(3a+2b)(3x-2y)-a(3x-2y)$
提取公因式$(3x-2y)$，得：
原式$=(3x-2y)[(3a+2b)-a]$
化简括号内的式子：$3a+2b-a=2a+2b=2(a+b)$
因此最终因式分解结果为$2(a+b)(3x-2y)$
原式$=(3a+2b)(3x-2y)-a(3x-2y)$
提取公因式$(3x-2y)$，得：
原式$=(3x-2y)[(3a+2b)-a]$
化简括号内的式子：$3a+2b-a=2a+2b=2(a+b)$
因此最终因式分解结果为$2(a+b)(3x-2y)$
7.小明在练习因式分解时,发现多项式
$x^2+y^2$被污染了,翻看答案,因式分解的结果是$-(6x-y)(6x+y)$,则
处的数字是 ()
A.6
B.$-6$
C.36
D.$-36$
$x^2+y^2$被污染了,翻看答案,因式分解的结果是$-(6x-y)(6x+y)$,则处的数字是 ()A.6
B.$-6$
C.36
D.$-36$
答案
D
解析
先将因式分解的结果利用平方差公式展开：
1. 计算$(6x-y)(6x+y)=(6x)^2 - y^2=36x^2 - y^2$
2. 添上原式前的负号：$-(36x^2 - y^2)=-36x^2 + y^2$
3. 对比原多项式$●x^2 + y^2$，可得被污染处的数字为$-36$。
1. 计算$(6x-y)(6x+y)=(6x)^2 - y^2=36x^2 - y^2$
2. 添上原式前的负号：$-(36x^2 - y^2)=-36x^2 + y^2$
3. 对比原多项式$●x^2 + y^2$，可得被污染处的数字为$-36$。
8.若$a+b=-5$，$c=2$，则$-ac - bc$的值是（）
A.10
B.-10
C.3
D.-3
A.10
B.-10
C.3
D.-3
答案
A
解析
先对代数式提取公因式，可得$-ac - bc = -c(a + b)$，将$a+b=-5$，$c=2$代入式子，计算得原式$=-2×(-5)=10$。
