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3. 将一个正五边形与一个正八边形按如图所示的方式放置，顶点A，B，C，D在同一条直线上，点E为公共顶点，则∠FEG + ∠BEC =
117°
。答案
3.117°
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用正多边形内角计算公式，分别求出正五边形、正八边形单个内角的度数；2. 观察点E处的角度关系，围绕点E的所有角之和为周角360°，其中包含正五边形在E点的内角、正八边形在E点的内角，以及所求的∠FEG和∠BEC，通过周角度数减去两个已知内角度数，即可直接得到两个所求角的和，无需单独计算每个角的大小，简化运算过程。
【解析】
第一步：计算正多边形单个内角的度数
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），因此：
正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$；
正八边形每个内角的度数为$\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$。
第二步：推导所求角度和
围绕点E的所有角之和为周角$360°$，即：
$∠ FEG + 正五边形在E点的内角 + 正八边形在E点的内角 + ∠ BEC = 360°$
代入已知内角度数得：
$∠ FEG + ∠ BEC = 360° - 108° - 135° = 117°$
【答案】
$117°$
【知识点】
正多边形内角计算；周角的性质；三角形内角和
【点评】
本题是多边形内角性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握正多边形内角的计算方法，找准图形中角的和差关系，用整体代换的思路可以快速得到结果，避免冗余计算。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用正多边形内角计算公式，分别求出正五边形、正八边形单个内角的度数；2. 观察点E处的角度关系，围绕点E的所有角之和为周角360°，其中包含正五边形在E点的内角、正八边形在E点的内角，以及所求的∠FEG和∠BEC，通过周角度数减去两个已知内角度数，即可直接得到两个所求角的和，无需单独计算每个角的大小，简化运算过程。
【解析】
第一步：计算正多边形单个内角的度数
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），因此：
正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$；
正八边形每个内角的度数为$\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$。
第二步：推导所求角度和
围绕点E的所有角之和为周角$360°$，即：
$∠ FEG + 正五边形在E点的内角 + 正八边形在E点的内角 + ∠ BEC = 360°$
代入已知内角度数得：
$∠ FEG + ∠ BEC = 360° - 108° - 135° = 117°$
【答案】
$117°$
【知识点】
正多边形内角计算；周角的性质；三角形内角和
【点评】
本题是多边形内角性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握正多边形内角的计算方法，找准图形中角的和差关系，用整体代换的思路可以快速得到结果，避免冗余计算。
【难度系数】
0.7
4.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票.如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AC=3$，$AB=4$.分别以$AB,AC,BC$为边向外作正方形$ABMN$，正方形$ACKL$，正方形$BCDE$，并按如图所示作矩形$HFPQ$，延长$BC$交$PQ$于点$G$，则矩形$CDPG$的面积为
12
.答案
4.12
解析
【分析】
要计算矩形CDPG的面积，需先确定其两条邻边的长度：首先，已知Rt△ABC的两条直角边长度，可通过勾股定理求出斜边BC的长度，而正方形BCDE的边长CD与BC相等，即可得到CD的长度；接下来求另一邻边CG的长度，观察图形可知，正方形ACKL中CK=AC、∠ACK=90°，可通过角度互余推出∠ABC=∠KCG，结合直角相等证明△ABC与△KCG相似，利用相似三角形对应边成比例求出CG的长度，最后用邻边乘积计算矩形面积即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=4$，$AC=3$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
$\because$ 四边形$BCDE$是正方形，$\therefore CD=BC=5$。
$\because$ 四边形$ACKL$是正方形，$\therefore CK=AC=3$，$∠ ACK=90°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ KCG = 180° - ∠ ACK=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB + ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ KCG$。
又$\because$ 矩形$HFPQ$中$∠ CGK=90°$，$\therefore ∠ BAC=∠ CGK=90°$，
$\therefore △ ABC ∽ △ KCG$，
$\therefore \frac{AB}{CG}=\frac{BC}{CK}$。
代入$AB=4$，$BC=5$，$CK=3$，得：
$\frac{4}{CG}=\frac{5}{3}$
解得$CG=\frac{12}{5}$。
$\therefore$ 矩形$CDPG$的面积为：$CD × CG =5 × \frac{12}{5}=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题以勾股定理为背景，结合正方形、矩形的性质和相似三角形的应用，考查几何综合计算能力，解题的关键是准确找到相似三角形，推导得到矩形未知边的长度。
【难度系数】
0.6
要计算矩形CDPG的面积，需先确定其两条邻边的长度：首先，已知Rt△ABC的两条直角边长度，可通过勾股定理求出斜边BC的长度，而正方形BCDE的边长CD与BC相等，即可得到CD的长度；接下来求另一邻边CG的长度，观察图形可知，正方形ACKL中CK=AC、∠ACK=90°，可通过角度互余推出∠ABC=∠KCG，结合直角相等证明△ABC与△KCG相似，利用相似三角形对应边成比例求出CG的长度，最后用邻边乘积计算矩形面积即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=4$，$AC=3$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
$\because$ 四边形$BCDE$是正方形，$\therefore CD=BC=5$。
$\because$ 四边形$ACKL$是正方形，$\therefore CK=AC=3$，$∠ ACK=90°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ KCG = 180° - ∠ ACK=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB + ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ KCG$。
又$\because$ 矩形$HFPQ$中$∠ CGK=90°$，$\therefore ∠ BAC=∠ CGK=90°$，
$\therefore △ ABC ∽ △ KCG$，
$\therefore \frac{AB}{CG}=\frac{BC}{CK}$。
代入$AB=4$，$BC=5$，$CK=3$，得：
$\frac{4}{CG}=\frac{5}{3}$
解得$CG=\frac{12}{5}$。
$\therefore$ 矩形$CDPG$的面积为：$CD × CG =5 × \frac{12}{5}=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题以勾股定理为背景，结合正方形、矩形的性质和相似三角形的应用，考查几何综合计算能力，解题的关键是准确找到相似三角形，推导得到矩形未知边的长度。
【难度系数】
0.6
三、解答题.
1.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八(2)班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$AD=12\ \mathrm{m}$，$CD=13\ \mathrm{m}$，$∠ B=90°$. 求劳动实践基地$ABCD$的面积.
1.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八(2)班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$AD=12\ \mathrm{m}$，$CD=13\ \mathrm{m}$，$∠ B=90°$. 求劳动实践基地$ABCD$的面积.
答案
1.解:如图,连接AC.
在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4 m,BC=3 m.
由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(4²+3²)=5(m).在△CAD中,AD=12 m,CD=13 m,
∵5²+12²=169,13²=169,即5²+12²=13²,
∴AC²+AD²=CD²,
∴△CAD是直角三角形,
∴∠CAD=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△CAD=
1/2 ×4×3 + 1/2 ×5×12=6+30=36(m²).故劳动实践基地ABCD的面积为36 m².
解析
【分析】
所求的四边形ABCD是不规则图形，没有直接可用的面积公式，因此考虑用分割法转化为熟悉的三角形求解。已知∠B=90°，所以连接辅助线AC，将四边形分为△ABC和△ACD两部分：第一步先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度；第二步将求得的AC长度与已知的AD、CD长度结合，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形；第三步若△ACD为直角三角形，分别计算两个三角形的面积，求和即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：如图，连接AC。
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{m})$。
在$△ CAD$中，已知$AD=12\ \mathrm{m}$，$CD=13\ \mathrm{m}$，
$\because 5^2+12^2=169$，$13^2=169$，即$AC^2+AD^2=CD^2$，
$\therefore △ CAD$是直角三角形，且$∠ CAD=90°$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ CAD}=\frac{1}{2}×4×3 + \frac{1}{2}×5×12=6+30=36(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
劳动实践基地ABCD的面积为$\boxed{36\ \mathrm{m^2}}$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型基础题，解题核心是通过添加辅助线将四边形分割为两个三角形，再结合勾股定理和勾股定理的逆定理判断三角形形状后计算面积，解题思路固定，难度较低。
【难度系数】
0.7
所求的四边形ABCD是不规则图形，没有直接可用的面积公式，因此考虑用分割法转化为熟悉的三角形求解。已知∠B=90°，所以连接辅助线AC，将四边形分为△ABC和△ACD两部分：第一步先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度；第二步将求得的AC长度与已知的AD、CD长度结合，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形；第三步若△ACD为直角三角形，分别计算两个三角形的面积，求和即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：如图，连接AC。
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{m})$。
在$△ CAD$中，已知$AD=12\ \mathrm{m}$，$CD=13\ \mathrm{m}$，
$\because 5^2+12^2=169$，$13^2=169$，即$AC^2+AD^2=CD^2$，
$\therefore △ CAD$是直角三角形，且$∠ CAD=90°$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ CAD}=\frac{1}{2}×4×3 + \frac{1}{2}×5×12=6+30=36(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
劳动实践基地ABCD的面积为$\boxed{36\ \mathrm{m^2}}$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型基础题，解题核心是通过添加辅助线将四边形分割为两个三角形，再结合勾股定理和勾股定理的逆定理判断三角形形状后计算面积，解题思路固定，难度较低。
【难度系数】
0.7
