登录
11. 如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地面高度为2.7 m(即AB=2.7 m)，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高为1.5 m(即CD=1.5 m)的学生走到离门1.6 m(即BC=1.6 m)的地方时，感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为 (
A.3 m
B.2 m
C.1.6 m
D.1.2 m
第11题 第12题
B
)A.3 m
B.2 m
C.1.6 m
D.1.2 m
第11题 第12题
答案
11.B
解析
【分析】
要解决这个实际问题，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，把已知的竖直高度、水平距离转化为直角三角形的边长，再利用勾股定理计算所求距离。第一步：过点D作DE垂直AB于点E，易得四边形DEBC是矩形，可得到两条直角边的长度：水平边DE等于BC的长度，竖直边AE等于AB与CD的高度差；第二步：在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出斜边AD的长度，也就是学生头顶离感应器的距离。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴四边形DEBC是矩形，
∴DE=BC=1.6 m，BE=CD=1.5 m，
∴AE=AB - BE=2.7 - 1.5=1.2 m，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2 + DE^2}=\sqrt{1.2^2 + 1.6^2}=\sqrt{1.44 + 2.56}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$
即学生头顶离感应器的距离为2 m。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何计算，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边长关系，再利用勾股定理求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个实际问题，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，把已知的竖直高度、水平距离转化为直角三角形的边长，再利用勾股定理计算所求距离。第一步：过点D作DE垂直AB于点E，易得四边形DEBC是矩形，可得到两条直角边的长度：水平边DE等于BC的长度，竖直边AE等于AB与CD的高度差；第二步：在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出斜边AD的长度，也就是学生头顶离感应器的距离。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴四边形DEBC是矩形，
∴DE=BC=1.6 m，BE=CD=1.5 m，
∴AE=AB - BE=2.7 - 1.5=1.2 m，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2 + DE^2}=\sqrt{1.2^2 + 1.6^2}=\sqrt{1.44 + 2.56}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$
即学生头顶离感应器的距离为2 m。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何计算，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边长关系，再利用勾股定理求解。
【难度系数】
0.8
12.如图,直线$y=kx+b(k≠0)$与$x$轴交于点$(-2,0)$,下列叙述正确的是（
A.关于$x$的方程$kx+b=0$的解为$x=-2$
B.$k＞0,b＜0$
C.直线$y=-bx+k$经过第三象限
D.若$(-1,y_1),(1,y_2)$是直线$y=kx+b$上的两点,则$y_1＞y_2$
A
）A.关于$x$的方程$kx+b=0$的解为$x=-2$
B.$k＞0,b＜0$
C.直线$y=-bx+k$经过第三象限
D.若$(-1,y_1),(1,y_2)$是直线$y=kx+b$上的两点,则$y_1＞y_2$
答案
12.A
解析
【分析】
解题时先结合一次函数的图象特征判断k、b的符号，再根据一次函数与一元一次方程的关系、一次函数的增减性等知识点，逐一分析四个选项的正误即可。首先明确两个核心依据：①一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解；②k的符号决定直线的升降和函数增减性，b是直线与y轴交点的纵坐标，决定交点在y轴的正/负半轴。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：直线y=kx+b与x轴交于点(-2, 0)，即当x=-2时，y=kx+b=0，因此关于x的方程kx+b=0的解为x=-2，该选项正确。
B选项：由图象可知直线从左下向右上延伸，因此k＞0；直线与y轴交于正半轴，因此b＞0，不是b＜0，该选项错误。
C选项：由b＞0可得-b＜0，又k＞0，因此直线y=-bx+k的斜率为负，与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，该选项错误。
D选项：因为k＞0，所以y随x的增大而增大，由于-1＜1，因此y₁＜y₂，该选项错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，需要结合图象判断函数系数的符号、函数的增减性，同时要理解一次函数与对应的一元一次方程的联系，解题时结合图象分析会更直观。
【难度系数】
0.8
解题时先结合一次函数的图象特征判断k、b的符号，再根据一次函数与一元一次方程的关系、一次函数的增减性等知识点，逐一分析四个选项的正误即可。首先明确两个核心依据：①一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解；②k的符号决定直线的升降和函数增减性，b是直线与y轴交点的纵坐标，决定交点在y轴的正/负半轴。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：直线y=kx+b与x轴交于点(-2, 0)，即当x=-2时，y=kx+b=0，因此关于x的方程kx+b=0的解为x=-2，该选项正确。
B选项：由图象可知直线从左下向右上延伸，因此k＞0；直线与y轴交于正半轴，因此b＞0，不是b＜0，该选项错误。
C选项：由b＞0可得-b＜0，又k＞0，因此直线y=-bx+k的斜率为负，与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，该选项错误。
D选项：因为k＞0，所以y随x的增大而增大，由于-1＜1，因此y₁＜y₂，该选项错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，需要结合图象判断函数系数的符号、函数的增减性，同时要理解一次函数与对应的一元一次方程的联系，解题时结合图象分析会更直观。
【难度系数】
0.8
13.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F.若AB=4，BC=6，则图中阴影部分的面积为（
A.8
B.12
C.16
D.20
B
）A.8
B.12
C.16
D.20
答案
13.B
解析
【分析】
解题时先利用矩形的性质找到全等三角形，将分散的阴影部分面积进行转化，简化计算。首先矩形是中心对称图形，对角线交点O是对称中心，过O的直线与AD、BC交于E、F，可证△AOE和△COF全等，二者面积相等，因此阴影部分的面积可转化为矩形面积的一半，再计算矩形面积即可求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$。
矩形ABCD的面积为：$S_{矩形ABCD}=AB×BC=4×6=24$，
将阴影部分中$△ AOE$的面积替换为$△ COF$的面积，可得阴影部分总面积等于矩形面积的一半，即：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×24=12$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；面积转化
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，核心是利用矩形的中心对称性和全等三角形的性质，将零散的阴影面积转化为规则图形的面积，减少计算量，是几何面积求解的典型思路。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形的性质找到全等三角形，将分散的阴影部分面积进行转化，简化计算。首先矩形是中心对称图形，对角线交点O是对称中心，过O的直线与AD、BC交于E、F，可证△AOE和△COF全等，二者面积相等，因此阴影部分的面积可转化为矩形面积的一半，再计算矩形面积即可求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$。
矩形ABCD的面积为：$S_{矩形ABCD}=AB×BC=4×6=24$，
将阴影部分中$△ AOE$的面积替换为$△ COF$的面积，可得阴影部分总面积等于矩形面积的一半，即：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×24=12$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；面积转化
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，核心是利用矩形的中心对称性和全等三角形的性质，将零散的阴影面积转化为规则图形的面积，减少计算量，是几何面积求解的典型思路。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在边长为8的菱形ABCD中，E，F为边AD，CD上的动点，且AE=CF，连接BF，CE。若菱形ABCD的面积为60，则BF+CE的最小值为（
A.15
B.16
C.17
D.18
C
）A.15
B.16
C.17
D.18
答案
14.C
解析
【分析】
本题属于菱形背景下的线段和最值问题，解题思路如下：首先，要求BF+CE的最小值，属于“将军饮马”类最值问题，核心是将两条动线段转化为共端点的线段之和，再利用“两点之间线段最短”求解；其次，结合菱形四边相等的性质及已知AE=CF，可通过SAS证明△ADF≌△CDE，得到CE=AF，即可将BF+CE转化为BF+AF；最后，作点A关于CD的对称点A'，则AF=A'F，所以BF+AF的最小值就是线段A'B的长度，结合菱形面积求出高，再用勾股定理计算A'B即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为8的菱形，
∴AD=CD=AB=8，AB//CD，
∵AE=CF，
∴AD-AE=CD-CF，即DE=DF，
在△ADF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l} AD=CD\\ ∠ D=∠ D\\ DF=DE\end{array} $
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴CE=AF，
∴BF+CE=BF+AF，
作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B，根据对称性质得AF=A'F，
∴BF+AF=BF+A'F≥A'B，当且仅当A'、F、B三点共线时取等号，即A'B为BF+CE的最小值。
∵菱形ABCD的面积为60，CD=8，
∴CD边上的高$h=\frac{S_{ABCD}}{CD}=\frac{60}{8}=\frac{15}{2}$，
∴点A到CD的距离为$\frac{15}{2}$，由对称性得A'到CD的距离也为$\frac{15}{2}$，
∵AB//CD，AA'⊥CD，
∴AA'⊥AB，且$AA'=\frac{15}{2}×2=15$，
在Rt△A'AB中，AB=8，AA'=15，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{AB^2+AA'^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$，
即BF+CE的最小值为17。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，将军饮马最值问题
【点评】
本题将菱形性质、全等三角形判定与最值模型结合考查，解题关键是通过全等完成线段的等量转化，再利用对称将军饮马问题转化为两点间线段长度求解，需要具备一定的几何转化思维和模型应用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于菱形背景下的线段和最值问题，解题思路如下：首先，要求BF+CE的最小值，属于“将军饮马”类最值问题，核心是将两条动线段转化为共端点的线段之和，再利用“两点之间线段最短”求解；其次，结合菱形四边相等的性质及已知AE=CF，可通过SAS证明△ADF≌△CDE，得到CE=AF，即可将BF+CE转化为BF+AF；最后，作点A关于CD的对称点A'，则AF=A'F，所以BF+AF的最小值就是线段A'B的长度，结合菱形面积求出高，再用勾股定理计算A'B即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为8的菱形，
∴AD=CD=AB=8，AB//CD，
∵AE=CF，
∴AD-AE=CD-CF，即DE=DF，
在△ADF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l} AD=CD\\ ∠ D=∠ D\\ DF=DE\end{array} $
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴CE=AF，
∴BF+CE=BF+AF，
作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B，根据对称性质得AF=A'F，
∴BF+AF=BF+A'F≥A'B，当且仅当A'、F、B三点共线时取等号，即A'B为BF+CE的最小值。
∵菱形ABCD的面积为60，CD=8，
∴CD边上的高$h=\frac{S_{ABCD}}{CD}=\frac{60}{8}=\frac{15}{2}$，
∴点A到CD的距离为$\frac{15}{2}$，由对称性得A'到CD的距离也为$\frac{15}{2}$，
∵AB//CD，AA'⊥CD，
∴AA'⊥AB，且$AA'=\frac{15}{2}×2=15$，
在Rt△A'AB中，AB=8，AA'=15，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{AB^2+AA'^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$，
即BF+CE的最小值为17。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，将军饮马最值问题
【点评】
本题将菱形性质、全等三角形判定与最值模型结合考查，解题关键是通过全等完成线段的等量转化，再利用对称将军饮马问题转化为两点间线段长度求解，需要具备一定的几何转化思维和模型应用能力。
【难度系数】
0.6
15. 如图，点E，F分别是边长为4的正方形ABCD的边AB，AD上的两点，且AE=1，AF=2，P是对角线BD上的动点，则PE+PF的最小值是（
A.$\sqrt{17}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{10}$
D.3
A
）A.$\sqrt{17}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{10}$
D.3
答案
15.A
解析
【分析】
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：1. 利用正方形的轴对称性，对角线BD是正方形的对称轴，我们可以作其中一个点（比如点F）关于BD的对称点，将PE+PF转化为PE+PF'（F'为F的对称点）；2. 根据两点之间线段最短，当P落在F'E与BD的交点处时，PE+PF'最小，即最小值等于线段F'E的长度；3. 最后借助勾股定理计算F'E的长度即可得到结果。
【解析】
解：我们建立平面直角坐标系辅助计算：设点D为坐标原点(0,0)，则正方形各顶点坐标为A(4,0)，B(4,4)，C(0,4)。
由题意得：AF=2，AE=1，因此点F坐标为(2,0)，点E坐标为(4,1)。
正方形对角线BD所在直线为y=x，作点F关于直线BD的对称点F'，根据关于直线y=x对称的点的坐标特征，可得F'坐标为(0,2)，且PF=PF'。
因此PE+PF=PE+PF'，根据两点之间线段最短，PE+PF'的最小值为线段F'E的长度。
由勾股定理计算F'E的长度：
$F'E=\sqrt{(4-0)^2+(1-2)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$
即PE+PF的最小值为$\sqrt{17}$。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是轴对称性质在最短路径问题中的典型应用，解题的核心是通过轴对称将两条折线段的和转化为两点之间的线段长，再结合勾股定理计算，此类问题需要熟练掌握对称点的作图和坐标计算方法。
【难度系数】
0.7
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：1. 利用正方形的轴对称性，对角线BD是正方形的对称轴，我们可以作其中一个点（比如点F）关于BD的对称点，将PE+PF转化为PE+PF'（F'为F的对称点）；2. 根据两点之间线段最短，当P落在F'E与BD的交点处时，PE+PF'最小，即最小值等于线段F'E的长度；3. 最后借助勾股定理计算F'E的长度即可得到结果。
【解析】
解：我们建立平面直角坐标系辅助计算：设点D为坐标原点(0,0)，则正方形各顶点坐标为A(4,0)，B(4,4)，C(0,4)。
由题意得：AF=2，AE=1，因此点F坐标为(2,0)，点E坐标为(4,1)。
正方形对角线BD所在直线为y=x，作点F关于直线BD的对称点F'，根据关于直线y=x对称的点的坐标特征，可得F'坐标为(0,2)，且PF=PF'。
因此PE+PF=PE+PF'，根据两点之间线段最短，PE+PF'的最小值为线段F'E的长度。
由勾股定理计算F'E的长度：
$F'E=\sqrt{(4-0)^2+(1-2)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$
即PE+PF的最小值为$\sqrt{17}$。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是轴对称性质在最短路径问题中的典型应用，解题的核心是通过轴对称将两条折线段的和转化为两点之间的线段长，再结合勾股定理计算，此类问题需要熟练掌握对称点的作图和坐标计算方法。
【难度系数】
0.7
1.若点$(m,n)$在直线$y=-2x+4$上，则代数式$2m + n -1$的值是
3
.答案
1.3
解析
【分析】
首先明确一次函数图像上的任意一点的坐标都满足该函数的解析式，已知点$(m,n)$在直线$y=-2x+4$上，我们可以先把$x=m$，$y=n$代入函数解析式，得到$m$和$n$的数量关系，再将这个关系整体代入所求代数式$2m + n -1$中，就能算出结果，不需要分别求出$m$、$n$的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
$\because$ 点$(m,n)$在直线$y=-2x+4$上
$\therefore$ 将$x=m$，$y=n$代入直线解析式，得：
$n = -2m + 4$
移项可得：$2m + n = 4$
将$2m + n = 4$代入代数式$2m + n -1$，得：
原式 $= 4 - 1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数图像上点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题是一次函数基础考点，解题核心是理解“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”，通过整体代入的方法计算代数式的值，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
首先明确一次函数图像上的任意一点的坐标都满足该函数的解析式，已知点$(m,n)$在直线$y=-2x+4$上，我们可以先把$x=m$，$y=n$代入函数解析式，得到$m$和$n$的数量关系，再将这个关系整体代入所求代数式$2m + n -1$中，就能算出结果，不需要分别求出$m$、$n$的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
$\because$ 点$(m,n)$在直线$y=-2x+4$上
$\therefore$ 将$x=m$，$y=n$代入直线解析式，得：
$n = -2m + 4$
移项可得：$2m + n = 4$
将$2m + n = 4$代入代数式$2m + n -1$，得：
原式 $= 4 - 1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数图像上点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题是一次函数基础考点，解题核心是理解“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”，通过整体代入的方法计算代数式的值，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
2.在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团队都表演了舞剧《天鹅湖》,参加表演的演员身高(单位:cm)如表所示:
参加表演的演员身高的平均数和方差分别为$\overline{x}_甲 =165,\overline{x}_乙 =166,s_甲^2 =1.5,s_乙^2 =2.5$,则
参加表演的演员身高的平均数和方差分别为$\overline{x}_甲 =165,\overline{x}_乙 =166,s_甲^2 =1.5,s_乙^2 =2.5$,则甲
(选填“甲”或“乙”)芭蕾舞团队演员的身高更相近.答案
2.甲
解析
【分析】
要判断哪个芭蕾舞团队演员的身高更相近，本质是判断两组身高数据的波动大小，方差是衡量一组数据波动程度的统计量：方差越小，数据的离散程度越小，数据就越整齐、波动越小。因此只需要比较题目给出的甲、乙两队的方差大小即可得出结论。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的离散程度越小，数据越整齐、波动越小。
已知$s^2_甲=1.5$，$s^2_乙=2.5$，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲团队演员身高的波动更小，因此甲芭蕾舞团队演员的身高更相近。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义，数据稳定性判断
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，解题关键是明确方差越小，对应数据的整齐度越高、波动越小，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个芭蕾舞团队演员的身高更相近，本质是判断两组身高数据的波动大小，方差是衡量一组数据波动程度的统计量：方差越小，数据的离散程度越小，数据就越整齐、波动越小。因此只需要比较题目给出的甲、乙两队的方差大小即可得出结论。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的离散程度越小，数据越整齐、波动越小。
已知$s^2_甲=1.5$，$s^2_乙=2.5$，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲团队演员身高的波动更小，因此甲芭蕾舞团队演员的身高更相近。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义，数据稳定性判断
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，解题关键是明确方差越小，对应数据的整齐度越高、波动越小，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9
