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2. 为弘扬爱国主义精神，某校在清明节来临之际，开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用$x$表示，单位：分，共分为四组：A. $x＜70$，B. $70≤ x＜80$，C. $80≤ x＜90$，D. $90≤ x≤100$），下面给出了部分信息：
七年级学生的成绩为66,76,77,78,79,81,82,83,84,86,86,86,88,88,91,91,92,95,96,99；
八年级C组学生的成绩为81,83,84,86,88,88,89.
下表是七、八年级学生成绩统计表，下图是八年级学生成绩扇形统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：$a=$
(2)若该校七年级有1000名学生参加了此次知识竞赛活动，估计七年级成绩为优秀(90分及以上)的学生共有多少人？
七年级学生的成绩为66,76,77,78,79,81,82,83,84,86,86,86,88,88,91,91,92,95,96,99；
八年级C组学生的成绩为81,83,84,86,88,88,89.
下表是七、八年级学生成绩统计表，下图是八年级学生成绩扇形统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：$a=$
88
，$b=$86
.(2)若该校七年级有1000名学生参加了此次知识竞赛活动，估计七年级成绩为优秀(90分及以上)的学生共有多少人？
答案
2.解:(1)由题意可知,八年级A组学生有20×10%=2(人),B组学生有20×54/360=3(人).
∵八年级C组学生成绩为81,83,84,86,88,88,89,
∴把被抽取的八年级20名学生的成绩从小到大排列,排在第10,11位的两个数分别为88,88,故中位数a=(88+88)/2=88.在被抽取的七年级20名学生的成绩中,86分出现的次数最多,故众数为86,
∴b=86.
(2)1000×6/20=300(人),
∴估计该校七年级成绩为优秀(90分及以上)的学生共有300人.
∵八年级C组学生成绩为81,83,84,86,88,88,89,
∴把被抽取的八年级20名学生的成绩从小到大排列,排在第10,11位的两个数分别为88,88,故中位数a=(88+88)/2=88.在被抽取的七年级20名学生的成绩中,86分出现的次数最多,故众数为86,
∴b=86.
(2)1000×6/20=300(人),
∴估计该校七年级成绩为优秀(90分及以上)的学生共有300人.
解析
【分析】
（1）求a、b的值：首先明确a是八年级抽取成绩的中位数，b是七年级抽取成绩的众数。①求a：先根据扇形统计图算出八年级A、B组的人数，结合已知C组人数确定中位数所在的分组，再找到排序后第10、11位的成绩求平均即可得到a；②求b：直接统计七年级20个成绩中出现次数最多的数就是众数b。（2）估计七年级优秀人数：先计算抽取的20名七年级学生中90分及以上的人数占比，再用七年级总人数乘这个占比，即可得到估计的优秀总人数。
【解析】
(1) 计算八年级各组人数：
八年级抽取总人数为20人，A组占比10%，人数为$20×10\%=2$人；
B组对应扇形圆心角为$54°$，人数为$20×\frac{54}{360}=3$人；
已知C组有7人，因此前三个组总人数为$2+3+7=12$人。
将八年级20人的成绩从小到大排列，中位数是第10、11位成绩的平均数，第10、11位都在C组中，C组成绩从小到大排列为81,83,84,86,88,88,89，对应第10位为88，第11位为88，因此中位数$a=\frac{88+88}{2}=88$。
观察七年级给出的20个成绩，86分共出现3次，出现次数最多，因此众数$b=86$。
(2) 统计抽取的七年级20名学生中，90分及以上的成绩有91,91,92,95,96,99，共6人，占比为$\frac{6}{20}$。
因此七年级1000名学生中，估计优秀人数为$1000×\frac{6}{20}=300$人。
【答案】
(1) $88$，$86$；(2) 300人
【知识点】
中位数与众数，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题结合实践活动场景考查统计相关知识，需要熟练掌握中位数、众数的定义，能从扇形统计图中提取信息计算各组数量，同时掌握用样本特征估计总体特征的统计思想，是统计模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）求a、b的值：首先明确a是八年级抽取成绩的中位数，b是七年级抽取成绩的众数。①求a：先根据扇形统计图算出八年级A、B组的人数，结合已知C组人数确定中位数所在的分组，再找到排序后第10、11位的成绩求平均即可得到a；②求b：直接统计七年级20个成绩中出现次数最多的数就是众数b。（2）估计七年级优秀人数：先计算抽取的20名七年级学生中90分及以上的人数占比，再用七年级总人数乘这个占比，即可得到估计的优秀总人数。
【解析】
(1) 计算八年级各组人数：
八年级抽取总人数为20人，A组占比10%，人数为$20×10\%=2$人；
B组对应扇形圆心角为$54°$，人数为$20×\frac{54}{360}=3$人；
已知C组有7人，因此前三个组总人数为$2+3+7=12$人。
将八年级20人的成绩从小到大排列，中位数是第10、11位成绩的平均数，第10、11位都在C组中，C组成绩从小到大排列为81,83,84,86,88,88,89，对应第10位为88，第11位为88，因此中位数$a=\frac{88+88}{2}=88$。
观察七年级给出的20个成绩，86分共出现3次，出现次数最多，因此众数$b=86$。
(2) 统计抽取的七年级20名学生中，90分及以上的成绩有91,91,92,95,96,99，共6人，占比为$\frac{6}{20}$。
因此七年级1000名学生中，估计优秀人数为$1000×\frac{6}{20}=300$人。
【答案】
(1) $88$，$86$；(2) 300人
【知识点】
中位数与众数，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题结合实践活动场景考查统计相关知识，需要熟练掌握中位数、众数的定义，能从扇形统计图中提取信息计算各组数量，同时掌握用样本特征估计总体特征的统计思想，是统计模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3. 大理旅游热度持续攀升，为进一步打造宜居大理，某部门准备在海边种植甲、乙两种绿植.经调查，甲种绿植的种植费用$y$(元)与种植面积$x$($\mathrm{m}^2$)之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米90元.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)已知甲、乙两种绿植的种植面积共$600\ \mathrm{m}^2$，若甲种绿植的种植面积不少于$240\ \mathrm{m}^2$，且不超过乙种绿植种植面积的2倍，应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)已知甲、乙两种绿植的种植面积共$600\ \mathrm{m}^2$，若甲种绿植的种植面积不少于$240\ \mathrm{m}^2$，且不超过乙种绿植种植面积的2倍，应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？
答案
3.解:(1)当0≤x≤200时,设函数的解析式为y=mx,把点(200,24 000)代入解析式,得24 000=200m,解得m=120,故解析式为y=120x.当x＞200时,设函数的解析式为y=kx+b.把点(200,24 000),(500,48 000)代入解析式,得{200k+b=24 000,500k+b=48 000,
∴{k=80,b=8 000,故y=80x+8 000.
故y与x之间的函数关系式为y={120x(10≤x≤200),80x+8000(x＞200).
(2)设乙种绿植的种植面积为x m²,则甲种绿植的种植面积为(600-x) m².根据题意,得240≤600-x≤2x,解得200≤x≤360.设总费用为w元,则w=90x+80(600-x)+8 000=10x+56 000.
∵10＞0,
∴w随x的增大而增大,
∴当x=200时,总费用最少,此时总费用为w=10×200+56 000=58 000,600-x=400.
故当甲种绿植的种植面积为400 m²,乙种绿植的种植面积为200 m²时,总费用最少,最少为58 000元.
∴{k=80,b=8 000,故y=80x+8 000.
故y与x之间的函数关系式为y={120x(10≤x≤200),80x+8000(x＞200).
(2)设乙种绿植的种植面积为x m²,则甲种绿植的种植面积为(600-x) m².根据题意,得240≤600-x≤2x,解得200≤x≤360.设总费用为w元,则w=90x+80(600-x)+8 000=10x+56 000.
∵10＞0,
∴w随x的增大而增大,
∴当x=200时,总费用最少,此时总费用为w=10×200+56 000=58 000,600-x=400.
故当甲种绿植的种植面积为400 m²,乙种绿植的种植面积为200 m²时,总费用最少,最少为58 000元.
解析
【分析】
（1）观察函数图像可知是分段函数，分$0≤ x≤200$和$x＞200$两段，分别用待定系数法代入对应点的坐标，即可求出两段的函数解析式，最后合并写成分段函数形式。
（2）首先设乙种绿植种植面积为$x\ \mathrm{m}^2$，可得甲种绿植种植面积为$(600-x)\ \mathrm{m}^2$，根据“甲种植面积不少于$240\ \mathrm{m}^2$、不超过乙种植面积的2倍”列不等式组，求出$x$的取值范围；再结合（1）中甲的费用解析式（甲面积≥240＞200，用$x＞200$段的解析式），列出总费用$w$关于$x$的函数表达式，根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值及对应的种植面积分配。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当$0≤ x≤200$时，设函数解析式为$y=mx(m≠0)$，
将点$(200,24000)$代入得：$24000=200m$，解得$m=120$，
∴此时解析式为$y=120x$；
②当$x＞200$时，设函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(200,24000)$、$(500,48000)$代入得：
$\begin{cases}200k+b=24000\\500k+b=48000\end{cases}$，
用第二个方程减第一个方程得：$300k=24000$，解得$k=80$，
将$k=80$代入$200k+b=24000$得：$16000+b=24000$，解得$b=8000$，
∴此时解析式为$y=80x+8000$。
（2）设乙种绿植的种植面积为$x\ \mathrm{m}^2$，则甲种绿植的种植面积为$(600-x)\ \mathrm{m}^2$，
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}600-x≥240\\600-x≤2x\end{cases}$，
解第一个不等式得：$x≤360$，
解第二个不等式得：$x≥200$，
∴不等式组的解集为$200≤ x≤360$。
此时甲的种植面积$600-x≥240＞200$，所以甲的种植费用用$y=80(600-x)+8000$，
设总费用为$w$元，则：
$w=90x + 80(600-x)+8000$
化简得：$w=10x+56000$，
∵$10＞0$，
∴$w$随$x$的增大而增大，
∴当$x=200$时，$w$取得最小值，
此时$w_{\mathrm{最小}}=10×200+56000=58000$（元），
甲的种植面积为$600-200=400(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}120x&(0≤ x≤200)\\80x+8000&(x＞200)\end{cases}$
(2)甲种绿植种植面积为$400\ \mathrm{m}^2$，乙种绿植种植面积为$200\ \mathrm{m}^2$时总费用最少，最少总费用为58000元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数最值应用，一元一次不等式组应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查分段函数与一次函数的实际应用，解题的关键是准确求出分段函数解析式，根据限制条件确定自变量的取值范围，再结合一次函数的增减性求解最值，需要注意分段函数的适用区间不要混淆。
【难度系数】
0.7
（1）观察函数图像可知是分段函数，分$0≤ x≤200$和$x＞200$两段，分别用待定系数法代入对应点的坐标，即可求出两段的函数解析式，最后合并写成分段函数形式。
（2）首先设乙种绿植种植面积为$x\ \mathrm{m}^2$，可得甲种绿植种植面积为$(600-x)\ \mathrm{m}^2$，根据“甲种植面积不少于$240\ \mathrm{m}^2$、不超过乙种植面积的2倍”列不等式组，求出$x$的取值范围；再结合（1）中甲的费用解析式（甲面积≥240＞200，用$x＞200$段的解析式），列出总费用$w$关于$x$的函数表达式，根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值及对应的种植面积分配。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当$0≤ x≤200$时，设函数解析式为$y=mx(m≠0)$，
将点$(200,24000)$代入得：$24000=200m$，解得$m=120$，
∴此时解析式为$y=120x$；
②当$x＞200$时，设函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(200,24000)$、$(500,48000)$代入得：
$\begin{cases}200k+b=24000\\500k+b=48000\end{cases}$，
用第二个方程减第一个方程得：$300k=24000$，解得$k=80$，
将$k=80$代入$200k+b=24000$得：$16000+b=24000$，解得$b=8000$，
∴此时解析式为$y=80x+8000$。
（2）设乙种绿植的种植面积为$x\ \mathrm{m}^2$，则甲种绿植的种植面积为$(600-x)\ \mathrm{m}^2$，
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}600-x≥240\\600-x≤2x\end{cases}$，
解第一个不等式得：$x≤360$，
解第二个不等式得：$x≥200$，
∴不等式组的解集为$200≤ x≤360$。
此时甲的种植面积$600-x≥240＞200$，所以甲的种植费用用$y=80(600-x)+8000$，
设总费用为$w$元，则：
$w=90x + 80(600-x)+8000$
化简得：$w=10x+56000$，
∵$10＞0$，
∴$w$随$x$的增大而增大，
∴当$x=200$时，$w$取得最小值，
此时$w_{\mathrm{最小}}=10×200+56000=58000$（元），
甲的种植面积为$600-200=400(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}120x&(0≤ x≤200)\\80x+8000&(x＞200)\end{cases}$
(2)甲种绿植种植面积为$400\ \mathrm{m}^2$，乙种绿植种植面积为$200\ \mathrm{m}^2$时总费用最少，最少总费用为58000元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数最值应用，一元一次不等式组应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查分段函数与一次函数的实际应用，解题的关键是准确求出分段函数解析式，根据限制条件确定自变量的取值范围，再结合一次函数的增减性求解最值，需要注意分段函数的适用区间不要混淆。
【难度系数】
0.7
