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4.【建立模型】
(1)如图
，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE.求证：△ACB≌△BDE.
【类比迁移】
(2)如图
，一次函数$y=3x+3$的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转$90°$得到BC，直线AC交x轴于点D.
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
③求$△ ADB$的面积.
(1)如图
，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE.求证：△ACB≌△BDE.【类比迁移】
(2)如图
，一次函数$y=3x+3$的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转$90°$得到BC，直线AC交x轴于点D.①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
③求$△ ADB$的面积.
答案
4.(1)证明:
∵AC⊥BC,ED⊥BD,
∴∠C=∠D=90°.
∵AB⊥BE,
∴∠ABE=90°,
∴∠ABC=90°-∠EBD=∠E. 在△ACB和△BDE中,{∠C=∠D,∠ABC=∠E,AB=BE,
∴△ACB≌△BDE(AAS).
(2)解:①如图,过点C作CH⊥x轴于点H.
在y=3x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=-1,
∴A(0,3),B(-1,0),
∴OA=3,OB=1.
∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠ABO=90°-∠CBH=∠BCH.又
∵∠AOB=90°=∠BHC,
∴△AOB≌△BHC(AAS),
∴OA=BH=3,OB=CH=1,
∴OH=OB+BH=1+3=4,
∴点C的坐标为(-4,1).
②设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(0,3),C(-4,1)代入,得{b=3,-4k+b=1,解得{k=1/2,b=3,
∴直线AC的解析式为y=1/2 x+3.
③在y=1/2 x+3中,令y=0,得0=1/2 x+3,解得x=-6,
∴D(-6,0).
∵B(-1,0),
∴BD=-1-(-6)=5.
∵A(0,3),
∴S△ADB=1/2 BD·OA=1/2 ×5×3=7.5.
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形全等，先根据垂直的性质得到一组直角相等，再由AB⊥BE推出两个角互余，利用同角的余角相等得到第二组角相等，结合已知的边相等条件，即可用AAS判定△ACB≌△BDE。
(2) ①首先通过一次函数解析式求出与坐标轴的交点A、B的坐标，根据旋转的性质可得AB=BC、∠ABC=90°，类比(1)的全等模型，过点C作CH垂直x轴，构造△AOB和△BHC全等，利用全等对应边相等求出点C到坐标轴的距离，即可得到C的坐标；②已知A、C两点坐标，用待定系数法代入一次函数一般式，解方程组即可求出直线AC的解析式；③求出直线AC与x轴交点D的坐标，计算BD的长度作为三角形的底，点A到x轴的距离作为高，代入三角形面积公式即可求出△ADB的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵AC⊥BC，ED⊥BD，
∴∠C=∠D=90°，
∵AB⊥BE，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABC=90°-∠EBD=∠E。
在△ACB和△BDE中，
$\begin{cases}∠ C=∠ D \\∠ ABC=∠ E \\AB=BE\end{cases}$
∴△ACB≌△BDE(AAS)。
(2) ①过点C作CH⊥x轴于点H。
在$y=3x+3$中，令$x=0$，得$y=3$；令$y=0$，得$x=-1$，
∴$A(0,3)$，$B(-1,0)$，则$OA=3$，$OB=1$。
∵线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，
∴∠ABC=90°，$AB=BC$，
∴∠ABO=90°-∠CBH=∠BCH。
又
∵∠AOB=∠BHC=90°，
∴△AOB≌△BHC(AAS)，
∴$OA=BH=3$，$OB=CH=1$，
∴$OH=OB+BH=1+3=4$，即点C的坐标为$(-4,1)$。
②设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将$A(0,3)$、$C(-4,1)$代入得：
$\begin{cases}b=3 \\-4k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2} \\b=3\end{cases}$
∴直线AC的解析式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
③在$y=\frac{1}{2}x+3$中，令$y=0$，得$0=\frac{1}{2}x+3$，解得$x=-6$，
∴$D(-6,0)$，
∴$BD=-1-(-6)=5$，
∴$S_{△ ADB}=\frac{1}{2} · BD · OA=\frac{1}{2} × 5 × 3=7.5$。
【答案】
(1) 已证△ACB≌△BDE；
(2) ①点C的坐标为$\boldsymbol{(-4,1)}$；
②直线AC的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+3}$；
③△ADB的面积为$\boldsymbol{7.5}$（或$\boldsymbol{\frac{15}{2}}$）。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；一次函数的综合应用；旋转的性质
【点评】
本题是几何与代数的综合题，以基础的全等三角形模型为载体，结合旋转的性质和一次函数的相关知识，考查了知识迁移能力和数形结合思想，解题的核心是构造“一线三垂直”全等模型求解未知点的坐标。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明两个三角形全等，先根据垂直的性质得到一组直角相等，再由AB⊥BE推出两个角互余，利用同角的余角相等得到第二组角相等，结合已知的边相等条件，即可用AAS判定△ACB≌△BDE。
(2) ①首先通过一次函数解析式求出与坐标轴的交点A、B的坐标，根据旋转的性质可得AB=BC、∠ABC=90°，类比(1)的全等模型，过点C作CH垂直x轴，构造△AOB和△BHC全等，利用全等对应边相等求出点C到坐标轴的距离，即可得到C的坐标；②已知A、C两点坐标，用待定系数法代入一次函数一般式，解方程组即可求出直线AC的解析式；③求出直线AC与x轴交点D的坐标，计算BD的长度作为三角形的底，点A到x轴的距离作为高，代入三角形面积公式即可求出△ADB的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵AC⊥BC，ED⊥BD，
∴∠C=∠D=90°，
∵AB⊥BE，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABC=90°-∠EBD=∠E。
在△ACB和△BDE中，
$\begin{cases}∠ C=∠ D \\∠ ABC=∠ E \\AB=BE\end{cases}$
∴△ACB≌△BDE(AAS)。
(2) ①过点C作CH⊥x轴于点H。
在$y=3x+3$中，令$x=0$，得$y=3$；令$y=0$，得$x=-1$，
∴$A(0,3)$，$B(-1,0)$，则$OA=3$，$OB=1$。
∵线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，
∴∠ABC=90°，$AB=BC$，
∴∠ABO=90°-∠CBH=∠BCH。
又
∵∠AOB=∠BHC=90°，
∴△AOB≌△BHC(AAS)，
∴$OA=BH=3$，$OB=CH=1$，
∴$OH=OB+BH=1+3=4$，即点C的坐标为$(-4,1)$。
②设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将$A(0,3)$、$C(-4,1)$代入得：
$\begin{cases}b=3 \\-4k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2} \\b=3\end{cases}$
∴直线AC的解析式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
③在$y=\frac{1}{2}x+3$中，令$y=0$，得$0=\frac{1}{2}x+3$，解得$x=-6$，
∴$D(-6,0)$，
∴$BD=-1-(-6)=5$，
∴$S_{△ ADB}=\frac{1}{2} · BD · OA=\frac{1}{2} × 5 × 3=7.5$。
【答案】
(1) 已证△ACB≌△BDE；
(2) ①点C的坐标为$\boldsymbol{(-4,1)}$；
②直线AC的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+3}$；
③△ADB的面积为$\boldsymbol{7.5}$（或$\boldsymbol{\frac{15}{2}}$）。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；一次函数的综合应用；旋转的性质
【点评】
本题是几何与代数的综合题，以基础的全等三角形模型为载体，结合旋转的性质和一次函数的相关知识，考查了知识迁移能力和数形结合思想，解题的核心是构造“一线三垂直”全等模型求解未知点的坐标。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标为A(12,0)，C(0,9)，将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D。
(1)求线段OB的长度。
(2)求直线BD所对应的函数表达式。
(3)如图，点Q在线段BD上，点P在线段BC上，当四边形DEPQ是平行四边形时，求点P的坐标。
(1)求线段OB的长度。
(2)求直线BD所对应的函数表达式。
(3)如图，点Q在线段BD上，点P在线段BC上，当四边形DEPQ是平行四边形时，求点P的坐标。
答案
5.解:(1)
∵四边形OABC是矩形,A(12,0),C(0,9),
∴∠BAO=90°,OC=AB=9,BC=OA=12,
∴OB=√(OA²+AB²)=√(12²+9²)=15.
(2)设AD=x,则OD=OA-AD=12-x.根据折叠的性质可知,DE=AD=x,BE=AB=9,∠BED=∠BAD=90°=∠OED.
∵OB=15,
∴OE=OB-BE=15-9=6.在Rt△OED中,OE²+DE²=OD²,
∴6²+x²=(12-x)²,解得x=4.5,
∴OD=OA-AD=12-4.5=7.5,
∴D(7.5,0).设直线BD所对应的函数表达式为y=kx+b.把B(12,9),D(7.5,0)代入得{12k+b=9,7.5k+b=0,解得{k=2,b=-15,
∴直线BD所对应的函数表达式为y=2x-15.
(3)设直线OB的函数表达式为y=mx,把B(12,9)代入得12m=9,解得m=3/4,
∴直线OB的函数表达式为y=3/4 x.由点E在对角线OB上,设E(n,3/4 n),
∵OE=6,
∴√(n²+(3/4 n)²)=6,解得n=4.8或n=-4.8(此时点E不在对角线OB上,舍去),
∴E(4.8,3.6).设P(p,9),Q(q,2q-15).
∵四边形DEPQ是平行四边形,
∴DP的中点与EQ的中点重合.
∵D(7.5,0),
∴{7.5+p=q+4.8,9+0=3.6+2q-15,解得{p=7.5,q=10.2,
∴P(7.5,9).
∵四边形OABC是矩形,A(12,0),C(0,9),
∴∠BAO=90°,OC=AB=9,BC=OA=12,
∴OB=√(OA²+AB²)=√(12²+9²)=15.
(2)设AD=x,则OD=OA-AD=12-x.根据折叠的性质可知,DE=AD=x,BE=AB=9,∠BED=∠BAD=90°=∠OED.
∵OB=15,
∴OE=OB-BE=15-9=6.在Rt△OED中,OE²+DE²=OD²,
∴6²+x²=(12-x)²,解得x=4.5,
∴OD=OA-AD=12-4.5=7.5,
∴D(7.5,0).设直线BD所对应的函数表达式为y=kx+b.把B(12,9),D(7.5,0)代入得{12k+b=9,7.5k+b=0,解得{k=2,b=-15,
∴直线BD所对应的函数表达式为y=2x-15.
(3)设直线OB的函数表达式为y=mx,把B(12,9)代入得12m=9,解得m=3/4,
∴直线OB的函数表达式为y=3/4 x.由点E在对角线OB上,设E(n,3/4 n),
∵OE=6,
∴√(n²+(3/4 n)²)=6,解得n=4.8或n=-4.8(此时点E不在对角线OB上,舍去),
∴E(4.8,3.6).设P(p,9),Q(q,2q-15).
∵四边形DEPQ是平行四边形,
∴DP的中点与EQ的中点重合.
∵D(7.5,0),
∴{7.5+p=q+4.8,9+0=3.6+2q-15,解得{p=7.5,q=10.2,
∴P(7.5,9).
解析
【分析】
(1) 要求线段OB的长度，OB是矩形OABC的对角线，矩形内角为直角，已知OA、AB的长度，直接利用勾股定理计算即可。
(2) 求直线BD的函数表达式，需要先确定B、D两点的坐标：B点坐标可由矩形性质直接得到，D点在x轴上，需先求OD的长度。根据折叠的性质可得AD=DE、BE=AB，进而求出OE的长度，在Rt△OED中利用勾股定理列方程求出AD，即可得到D点坐标，再用待定系数法求直线解析式。
(3) 当四边形DEPQ是平行四边形时，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可知两组对角顶点的中点坐标重合。先求出直线OB的解析式，结合OE长度求出E点坐标，再设出P、Q两点的坐标（P在BC上纵坐标为9，Q在BD上满足BD的解析式），利用中点坐标相等列方程求解即可得到P点坐标。
【解析】
(1)
∵四边形OABC是矩形，A(12,0)，C(0,9)，
∴∠BAO=90°，OC=AB=9，BC=OA=12，
∴$ OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15 $。
(2) 设AD=x，则OD=OA-AD=12-x。根据折叠的性质可知，DE=AD=x，BE=AB=9，∠BED=∠BAD=90°=∠OED。
∵OB=15，
∴OE=OB-BE=15-9=6。在Rt△OED中，$ OE^2+DE^2=OD^2 $，
∴$ 6^2+x^2=(12-x)^2 $，解得x=4.5，
∴OD=OA-AD=12-4.5=7.5，
∴D(7.5,0)。设直线BD所对应的函数表达式为y=kx+b。把B(12,9)、D(7.5,0)代入得$\begin{cases}12k+b=9\\7.5k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=-15\end{cases}$，
∴直线BD所对应的函数表达式为$ y=2x-15 $。
(3) 设直线OB的函数表达式为y=mx，把B(12,9)代入得12m=9，解得$ m=\frac{3}{4} $，
∴直线OB的函数表达式为$ y=\frac{3}{4}x $。由点E在对角线OB上，设E(n,$\frac{3}{4}n$)，
∵OE=6，
∴$ \sqrt{n^2+(\frac{3}{4}n)^2}=6 $，解得n=4.8或n=-4.8（此时点E不在对角线OB上，舍去），
∴E(4.8,3.6)。设P(p,9)，Q(q,2q-15)。
∵四边形DEPQ是平行四边形，
∴DP的中点与EQ的中点重合。
∵D(7.5,0)，
∴$\begin{cases}7.5+p=q+4.8\\9+0=3.6+2q-15\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=7.5\\q=10.2\end{cases}$，
∴P(7.5,9)。
【答案】
(1) $\boxed{15}$
(2) $\boxed{y=2x-15}$
(3) $\boxed{(7.5,9)}$
【知识点】
勾股定理的应用，一次函数解析式求解，平行四边形的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的综合题，将矩形折叠、一次函数、平行四边形的性质相结合，考查了方程思想与数形结合思想的应用，解题的关键是利用折叠性质找到相等的线段，结合勾股定理、中点坐标性质逐步推导。
【难度系数】
0.6
(1) 要求线段OB的长度，OB是矩形OABC的对角线，矩形内角为直角，已知OA、AB的长度，直接利用勾股定理计算即可。
(2) 求直线BD的函数表达式，需要先确定B、D两点的坐标：B点坐标可由矩形性质直接得到，D点在x轴上，需先求OD的长度。根据折叠的性质可得AD=DE、BE=AB，进而求出OE的长度，在Rt△OED中利用勾股定理列方程求出AD，即可得到D点坐标，再用待定系数法求直线解析式。
(3) 当四边形DEPQ是平行四边形时，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可知两组对角顶点的中点坐标重合。先求出直线OB的解析式，结合OE长度求出E点坐标，再设出P、Q两点的坐标（P在BC上纵坐标为9，Q在BD上满足BD的解析式），利用中点坐标相等列方程求解即可得到P点坐标。
【解析】
(1)
∵四边形OABC是矩形，A(12,0)，C(0,9)，
∴∠BAO=90°，OC=AB=9，BC=OA=12，
∴$ OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15 $。
(2) 设AD=x，则OD=OA-AD=12-x。根据折叠的性质可知，DE=AD=x，BE=AB=9，∠BED=∠BAD=90°=∠OED。
∵OB=15，
∴OE=OB-BE=15-9=6。在Rt△OED中，$ OE^2+DE^2=OD^2 $，
∴$ 6^2+x^2=(12-x)^2 $，解得x=4.5，
∴OD=OA-AD=12-4.5=7.5，
∴D(7.5,0)。设直线BD所对应的函数表达式为y=kx+b。把B(12,9)、D(7.5,0)代入得$\begin{cases}12k+b=9\\7.5k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=-15\end{cases}$，
∴直线BD所对应的函数表达式为$ y=2x-15 $。
(3) 设直线OB的函数表达式为y=mx，把B(12,9)代入得12m=9，解得$ m=\frac{3}{4} $，
∴直线OB的函数表达式为$ y=\frac{3}{4}x $。由点E在对角线OB上，设E(n,$\frac{3}{4}n$)，
∵OE=6，
∴$ \sqrt{n^2+(\frac{3}{4}n)^2}=6 $，解得n=4.8或n=-4.8（此时点E不在对角线OB上，舍去），
∴E(4.8,3.6)。设P(p,9)，Q(q,2q-15)。
∵四边形DEPQ是平行四边形，
∴DP的中点与EQ的中点重合。
∵D(7.5,0)，
∴$\begin{cases}7.5+p=q+4.8\\9+0=3.6+2q-15\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=7.5\\q=10.2\end{cases}$，
∴P(7.5,9)。
【答案】
(1) $\boxed{15}$
(2) $\boxed{y=2x-15}$
(3) $\boxed{(7.5,9)}$
【知识点】
勾股定理的应用，一次函数解析式求解，平行四边形的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的综合题，将矩形折叠、一次函数、平行四边形的性质相结合，考查了方程思想与数形结合思想的应用，解题的关键是利用折叠性质找到相等的线段，结合勾股定理、中点坐标性质逐步推导。
【难度系数】
0.6
