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综合练习（二）
一、选择题
1. 不等式$\frac{x-1}{3}＜x+1$的解集在数轴上的表示应是图11-7中的（
一、选择题
1. 不等式$\frac{x-1}{3}＜x+1$的解集在数轴上的表示应是图11-7中的（
B
）答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步进行：第一步先按照一元一次不等式的求解步骤算出不等式的解集，第二步根据数轴表示不等式解集的规则（大于向右延伸，小于向左延伸；包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈），匹配对应的选项即可。
【解析】
解不等式$\frac{x-1}{3}＜x+1$：
1. 去分母：不等式两边同时乘3，不等号方向不变，得$x-1 ＜ 3(x+1)$；
2. 去括号：得$x-1 ＜ 3x + 3$；
3. 移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，得$x - 3x ＜ 3 + 1$；
4. 合并同类项：得$-2x ＜ 4$；
5. 系数化为1：不等式两边同时除以$-2$，除以负数不等号方向改变，得$x ＞ -2$。
对照数轴表示规则：$x ＞ -2$不包含$-2$，所以$-2$处为空心圆圈，大于向右延伸，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式部分的基础题型，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解步骤，尤其要注意系数化为1时，若不等式两边同时除以负数，不等号方向必须改变，同时要准确区分数轴表示解集时空心、实心和方向的选择。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需分两步进行：第一步先按照一元一次不等式的求解步骤算出不等式的解集，第二步根据数轴表示不等式解集的规则（大于向右延伸，小于向左延伸；包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈），匹配对应的选项即可。
【解析】
解不等式$\frac{x-1}{3}＜x+1$：
1. 去分母：不等式两边同时乘3，不等号方向不变，得$x-1 ＜ 3(x+1)$；
2. 去括号：得$x-1 ＜ 3x + 3$；
3. 移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，得$x - 3x ＜ 3 + 1$；
4. 合并同类项：得$-2x ＜ 4$；
5. 系数化为1：不等式两边同时除以$-2$，除以负数不等号方向改变，得$x ＞ -2$。
对照数轴表示规则：$x ＞ -2$不包含$-2$，所以$-2$处为空心圆圈，大于向右延伸，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式部分的基础题型，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解步骤，尤其要注意系数化为1时，若不等式两边同时除以负数，不等号方向必须改变，同时要准确区分数轴表示解集时空心、实心和方向的选择。
【难度系数】
0.8
2. 若关于 $ x $ 的不等式 $ 5x + m ≥ 7x $ 的正整数解是 1,2,3,4,则 $ m $ 的取值范围是（
A.$ m ＜ 10 $
B.$ m ≥ 8 $
C.$ 8 ≤ m ≤ 10 $
D.$ 8 ≤ m ＜ 10 $
D
）A.$ m ＜ 10 $
B.$ m ≥ 8 $
C.$ 8 ≤ m ≤ 10 $
D.$ 8 ≤ m ＜ 10 $
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先要先求解关于x的一元一次不等式，将x的解集用含参数m的代数式表示；再结合题目给出的正整数解为1,2,3,4，确定解集的边界范围：最大正整数解是4，说明x必须小于5（否则5也会成为正整数解，不符合题意），同时x要能取到4，即$\frac{m}{2}≥4$；最后通过解关于m的不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
首先解不等式$5x + m ≥ 7x$：
移项得：$m ≥ 7x - 5x$
合并同类项得：$2x ≤ m$
系数化为1得：$x ≤ \frac{m}{2}$
已知不等式的正整数解是1,2,3,4，因此可得边界条件：
$4 ≤ \frac{m}{2} ＜ 5$
不等式三边同时乘2，得：
$8 ≤ m ＜ 10$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式求解
2. 不等式的整数解应用
3. 不等式的性质
【点评】
本题属于含参数的一元一次不等式整数解问题，解题核心是根据整数解的范围准确界定含参数的解集的边界，尤其要注意边界处等号是否成立，避免出现多算解或者漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要先求解关于x的一元一次不等式，将x的解集用含参数m的代数式表示；再结合题目给出的正整数解为1,2,3,4，确定解集的边界范围：最大正整数解是4，说明x必须小于5（否则5也会成为正整数解，不符合题意），同时x要能取到4，即$\frac{m}{2}≥4$；最后通过解关于m的不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
首先解不等式$5x + m ≥ 7x$：
移项得：$m ≥ 7x - 5x$
合并同类项得：$2x ≤ m$
系数化为1得：$x ≤ \frac{m}{2}$
已知不等式的正整数解是1,2,3,4，因此可得边界条件：
$4 ≤ \frac{m}{2} ＜ 5$
不等式三边同时乘2，得：
$8 ≤ m ＜ 10$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式求解
2. 不等式的整数解应用
3. 不等式的性质
【点评】
本题属于含参数的一元一次不等式整数解问题，解题核心是根据整数解的范围准确界定含参数的解集的边界，尤其要注意边界处等号是否成立，避免出现多算解或者漏解的错误。
【难度系数】
0.7
3. 若$2m-1,m,4-m$这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列,则$m$的取值范围是（
A.$m＜2$
B.$m＜1$
C.$1＜m＜2$
D.$1＜m＜\dfrac{5}{3}$
B
）A.$m＜2$
B.$m＜1$
C.$1＜m＜2$
D.$1＜m＜\dfrac{5}{3}$
答案
3.B
解析
【分析】
数轴上从左到右排列的点对应的数满足“左边的数总小于右边的数”，因此我们可以根据三个数的排列顺序列出一元一次不等式组，分别求解每个不等式后，取两个解集的公共部分就能得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵数轴上从左到右的点对应的数依次增大，且2m-1、m、4-m对应的点从左到右依次排列
∴可得不等式组：
$\begin{cases}2m - 1 ＜ m \quad ① \\m ＜ 4 - m \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$2m - m ＜ 1$，解得$m ＜ 1$
解不等式②：
移项得$m + m ＜ 4$，即$2m ＜ 4$，解得$m ＜ 2$
根据“同小取小”的原则，两个不等式解集的公共部分为$m ＜ 1$
因此m的取值范围是$m ＜ 1$
【答案】
B
【知识点】
数轴的性质；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题解题的核心是将数轴上点的位置关系转化为数的大小关系，再通过解一元一次不等式组得到参数范围，掌握不等式组解集的取法是得分关键。
【难度系数】
0.7
数轴上从左到右排列的点对应的数满足“左边的数总小于右边的数”，因此我们可以根据三个数的排列顺序列出一元一次不等式组，分别求解每个不等式后，取两个解集的公共部分就能得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵数轴上从左到右的点对应的数依次增大，且2m-1、m、4-m对应的点从左到右依次排列
∴可得不等式组：
$\begin{cases}2m - 1 ＜ m \quad ① \\m ＜ 4 - m \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$2m - m ＜ 1$，解得$m ＜ 1$
解不等式②：
移项得$m + m ＜ 4$，即$2m ＜ 4$，解得$m ＜ 2$
根据“同小取小”的原则，两个不等式解集的公共部分为$m ＜ 1$
因此m的取值范围是$m ＜ 1$
【答案】
B
【知识点】
数轴的性质；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题解题的核心是将数轴上点的位置关系转化为数的大小关系，再通过解一元一次不等式组得到参数范围，掌握不等式组解集的取法是得分关键。
【难度系数】
0.7
4. 不等式组$\begin{cases}\dfrac{1}{2}(x+1) ≤ 2, \\x-3＜3x+1\end{cases}$的解集在数轴上的表示应是图11-8中的（ ）
答案
4.D
解析
【分析】
要确定不等式组的解集对应的数轴表示，需先分别求解两个一元一次不等式，再得到两个解集的公共部分即为不等式组的解集，最后根据数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心点、不包含端点用空心圆圈）匹配对应选项即可。
【解析】
分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$\frac{1}{2}(x+1) ≤ 2$：
两边同时乘2得：$x+1 ≤ 4$，
移项化简得：$x ≤ 3$，解集包含端点3，数轴上3处用实心点表示。
2. 解不等式$x-3 ＜ 3x+1$：
移项，将含$x$的项移到右侧，常数项移到左侧：$-3-1 ＜ 3x - x$，
合并同类项得：$-4 ＜ 2x$，
两边同时除以2得：$x ＞ -2$，解集不包含端点-2，数轴上-2处用空心圆圈表示。
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 3$，对应数轴表示为：-2处空心向右，3处实心向左，符合选项D的图形。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于不等式章节的基础题型，重点考查解一元一次不等式的运算能力以及数轴表示解集的规则，解题时需特别注意不等式运算中不等号方向的变化规则，以及实心点和空心圆圈的使用场景不要混淆。
【难度系数】
0.7
要确定不等式组的解集对应的数轴表示，需先分别求解两个一元一次不等式，再得到两个解集的公共部分即为不等式组的解集，最后根据数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心点、不包含端点用空心圆圈）匹配对应选项即可。
【解析】
分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$\frac{1}{2}(x+1) ≤ 2$：
两边同时乘2得：$x+1 ≤ 4$，
移项化简得：$x ≤ 3$，解集包含端点3，数轴上3处用实心点表示。
2. 解不等式$x-3 ＜ 3x+1$：
移项，将含$x$的项移到右侧，常数项移到左侧：$-3-1 ＜ 3x - x$，
合并同类项得：$-4 ＜ 2x$，
两边同时除以2得：$x ＞ -2$，解集不包含端点-2，数轴上-2处用空心圆圈表示。
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 3$，对应数轴表示为：-2处空心向右，3处实心向左，符合选项D的图形。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于不等式章节的基础题型，重点考查解一元一次不等式的运算能力以及数轴表示解集的规则，解题时需特别注意不等式运算中不等号方向的变化规则，以及实心点和空心圆圈的使用场景不要混淆。
【难度系数】
0.7
5. 如果$a＜0,b＞0,a+b＜0$,那么下列关系式正确的是 （
A.$a＞b＞-b＞-a$
B.$a＞-a＞b＞-b$
C.$b＞a＞-b＞-a$
D.$-a＞b＞-b＞a$
D
）A.$a＞b＞-b＞-a$
B.$a＞-a＞b＞-b$
C.$b＞a＞-b＞-a$
D.$-a＞b＞-b＞a$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先梳理题目给出的已知条件：a是负数，b是正数，且二者之和为负数，说明负数a的绝对值大于正数b的绝对值。可以选择两种思路解题：第一种是更直观的赋值法，给a、b赋予符合条件的具体数值，代入选项直接验证；第二种是结合有理数性质推导各数的正负、大小关系后排序，两种方法都符合七年级知识要求。
【解析】
方法一（赋值法）：
根据已知条件取符合要求的数值，例如令a=-3，b=1，满足a＜0、b＞0、a+b=-3+1=-2＜0。
计算得：-a=3，-b=-1。
将四个数排序得：3＞1＞-1＞-3，即$-a＞b＞-b＞a$，对应选项D。
方法二（推导法）：
1. 由$a＜0$可得$-a＞0$，a为负数；由$b＞0$可得$-b＜0$，b为正数，因此正数一定大于负数，即$-a、b$大于$-b、a$。
2. 由$a+b＜0$可得$a＜-b$，同时可知$|a|＞|b|$，即$-a＞b$。
3. 综上完整排序为：$-a＞b＞-b＞a$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数大小比较，有理数加法法则，不等式的性质
【点评】
本题考查有理数相关性质的应用，赋值法是解决这类选择题的常用简便技巧，通过代入符合条件的具体数值，可以快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题目给出的已知条件：a是负数，b是正数，且二者之和为负数，说明负数a的绝对值大于正数b的绝对值。可以选择两种思路解题：第一种是更直观的赋值法，给a、b赋予符合条件的具体数值，代入选项直接验证；第二种是结合有理数性质推导各数的正负、大小关系后排序，两种方法都符合七年级知识要求。
【解析】
方法一（赋值法）：
根据已知条件取符合要求的数值，例如令a=-3，b=1，满足a＜0、b＞0、a+b=-3+1=-2＜0。
计算得：-a=3，-b=-1。
将四个数排序得：3＞1＞-1＞-3，即$-a＞b＞-b＞a$，对应选项D。
方法二（推导法）：
1. 由$a＜0$可得$-a＞0$，a为负数；由$b＞0$可得$-b＜0$，b为正数，因此正数一定大于负数，即$-a、b$大于$-b、a$。
2. 由$a+b＜0$可得$a＜-b$，同时可知$|a|＞|b|$，即$-a＞b$。
3. 综上完整排序为：$-a＞b＞-b＞a$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数大小比较，有理数加法法则，不等式的性质
【点评】
本题考查有理数相关性质的应用，赋值法是解决这类选择题的常用简便技巧，通过代入符合条件的具体数值，可以快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6.若$a$为有理数，且$2-a$的值大于1，
则$a$的取值范围为$\underline{\hspace{5cm}}$.
则$a$的取值范围为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
6.$a＜1$且$a$为有理数
解析
【分析】
解题时首先从题目提取不等关系，将文字描述转化为数学不等式：“2-a的值大于1”可直接列出不等式$2-a＞1$；接下来按照一元一次不等式的解法步骤求解；最后注意题目明确给出a为有理数的前置限定，不能遗漏该条件，合并后即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 根据题意列不等式：
由“2-a的值大于1”可得：$\boldsymbol{2 - a ＞ 1}$
2. 解一元一次不等式：
移项得：$-a ＞ 1 - 2$
计算右侧常数项得：$-a ＞ -1$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$\boldsymbol{a ＜ 1}$
3. 结合限定条件：
题目明确a为有理数，因此最终a的取值范围需补充该限定。
【答案】
$a＜1$且$a$为有理数
【知识点】
1. 列一元一次不等式
2. 解一元一次不等式
3. 有理数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查文字不等关系到数学不等式的转化能力，以及一元一次不等式的基本解法，做题时需注意题干给出的参数限定条件，避免漏写导致答案不完整。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目提取不等关系，将文字描述转化为数学不等式：“2-a的值大于1”可直接列出不等式$2-a＞1$；接下来按照一元一次不等式的解法步骤求解；最后注意题目明确给出a为有理数的前置限定，不能遗漏该条件，合并后即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 根据题意列不等式：
由“2-a的值大于1”可得：$\boldsymbol{2 - a ＞ 1}$
2. 解一元一次不等式：
移项得：$-a ＞ 1 - 2$
计算右侧常数项得：$-a ＞ -1$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$\boldsymbol{a ＜ 1}$
3. 结合限定条件：
题目明确a为有理数，因此最终a的取值范围需补充该限定。
【答案】
$a＜1$且$a$为有理数
【知识点】
1. 列一元一次不等式
2. 解一元一次不等式
3. 有理数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查文字不等关系到数学不等式的转化能力，以及一元一次不等式的基本解法，做题时需注意题干给出的参数限定条件，避免漏写导致答案不完整。
【难度系数】
0.8
7. 关于$x$的不等式$2x+a≤1$只有两个正整数解,则$a$的取值范围为________.
答案
7.$-5＜a≤-3$
解析
【分析】
解题时首先把参数a当作常数，解出关于x的一元一次不等式的解集；再根据不等式只有两个正整数解，可确定这两个正整数解只能是1和2，由此可以得到解集端点的取值范围，注意要判断端点处等号是否成立，最后通过解不等式组求出a的取值范围即可。
【解析】
第一步：解不等式$2x+a ≤ 1$
移项得：$2x ≤ 1 - a$
系数化为1得：$x ≤ \frac{1 - a}{2}$
第二步：根据正整数解的个数确定端点范围
因为不等式只有两个正整数解，所以这两个正整数解为1、2
因此可得不等式组：$\begin{cases} \frac{1 - a}{2} ≥ 2 \\ \frac{1 - a}{2} ＜ 3 \end{cases}$
（若$\frac{1 - a}{2} ＜ 2$，则正整数解只有1，不符合题意；若$\frac{1 - a}{2} ≥ 3$，则正整数解有1、2、3，不符合题意）
第三步：解上述不等式组
不等式两边同时乘2得：$\begin{cases} 1 - a ≥ 4 \\ 1 - a ＜ 6 \end{cases}$
分别移项得：$\begin{cases} -a ≥ 3 \\ -a ＜ 5 \end{cases}$
系数化为1（不等号方向改变）得：$\begin{cases} a ≤ -3 \\ a ＞ -5 \end{cases}$
综上，a的取值范围是$-5 ＜ a ≤ -3$
【答案】
$-5 ＜ a ≤ -3$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式的整数解
3. 不等式的性质
【点评】
本题是不等式中根据整数解求参数范围的典型题型，解题核心是先求出含参数的不等式解集，再结合整数解的个数确定解集端点的取值区间，易错点是容易忽略端点处等号的取舍，解题时可代入验证等号是否符合题意。
【难度系数】
0.6
解题时首先把参数a当作常数，解出关于x的一元一次不等式的解集；再根据不等式只有两个正整数解，可确定这两个正整数解只能是1和2，由此可以得到解集端点的取值范围，注意要判断端点处等号是否成立，最后通过解不等式组求出a的取值范围即可。
【解析】
第一步：解不等式$2x+a ≤ 1$
移项得：$2x ≤ 1 - a$
系数化为1得：$x ≤ \frac{1 - a}{2}$
第二步：根据正整数解的个数确定端点范围
因为不等式只有两个正整数解，所以这两个正整数解为1、2
因此可得不等式组：$\begin{cases} \frac{1 - a}{2} ≥ 2 \\ \frac{1 - a}{2} ＜ 3 \end{cases}$
（若$\frac{1 - a}{2} ＜ 2$，则正整数解只有1，不符合题意；若$\frac{1 - a}{2} ≥ 3$，则正整数解有1、2、3，不符合题意）
第三步：解上述不等式组
不等式两边同时乘2得：$\begin{cases} 1 - a ≥ 4 \\ 1 - a ＜ 6 \end{cases}$
分别移项得：$\begin{cases} -a ≥ 3 \\ -a ＜ 5 \end{cases}$
系数化为1（不等号方向改变）得：$\begin{cases} a ≤ -3 \\ a ＞ -5 \end{cases}$
综上，a的取值范围是$-5 ＜ a ≤ -3$
【答案】
$-5 ＜ a ≤ -3$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式的整数解
3. 不等式的性质
【点评】
本题是不等式中根据整数解求参数范围的典型题型，解题核心是先求出含参数的不等式解集，再结合整数解的个数确定解集端点的取值区间，易错点是容易忽略端点处等号的取舍，解题时可代入验证等号是否符合题意。
【难度系数】
0.6
8. 如果不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ 3(x - 1), \\ x ＜ m\end{cases}$的解集是$x ＜ 2$，那么$m$的取值范围是________.
答案
8.$m≥2$
解析
【分析】
解决这类含参数的不等式组问题，首先要先求解不含参数的不等式，得到它的解集，再结合题目给出的不等式组总解集，根据不等式组解集的判定规则推导参数的取值范围，最后注意验证端点值是否符合要求。
【解析】
1. 解不等式$2x - 1 ＞ 3(x - 1)$：
去括号，得$2x - 1 ＞ 3x - 3$
移项，得$2x - 3x ＞ -3 + 1$
合并同类项，得$-x ＞ -2$
系数化为1（不等号方向改变），得$x ＜ 2$
2. 第二个不等式的解集为$x ＜ m$
3. 已知不等式组的解集是$x ＜ 2$，根据“同小取小”的解集判定规则：两个不等式都是小于号时，解集取更小的边界值。要使最终解集为$x ＜ 2$，说明$m$不能小于2；当$m=2$时，两个不等式解集都是$x ＜ 2$，总解集也为$x ＜ 2$，符合要求。因此$m ≥ 2$。
【答案】
$m≥2$
【知识点】
一元一次不等式的解法、一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题核心是对不等式组解集判定规则的运用，解题时容易遗漏$m=2$的情况，需要特别注意验证端点值是否满足题意，避免出现漏解。
【难度系数】
0.7
解决这类含参数的不等式组问题，首先要先求解不含参数的不等式，得到它的解集，再结合题目给出的不等式组总解集，根据不等式组解集的判定规则推导参数的取值范围，最后注意验证端点值是否符合要求。
【解析】
1. 解不等式$2x - 1 ＞ 3(x - 1)$：
去括号，得$2x - 1 ＞ 3x - 3$
移项，得$2x - 3x ＞ -3 + 1$
合并同类项，得$-x ＞ -2$
系数化为1（不等号方向改变），得$x ＜ 2$
2. 第二个不等式的解集为$x ＜ m$
3. 已知不等式组的解集是$x ＜ 2$，根据“同小取小”的解集判定规则：两个不等式都是小于号时，解集取更小的边界值。要使最终解集为$x ＜ 2$，说明$m$不能小于2；当$m=2$时，两个不等式解集都是$x ＜ 2$，总解集也为$x ＜ 2$，符合要求。因此$m ≥ 2$。
【答案】
$m≥2$
【知识点】
一元一次不等式的解法、一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题核心是对不等式组解集判定规则的运用，解题时容易遗漏$m=2$的情况，需要特别注意验证端点值是否满足题意，避免出现漏解。
【难度系数】
0.7
9. 现有一批学生住若干间宿舍,若每间住4人还余19人,若每间住6人将有一间宿舍不满不空,则学生最多有________人.
答案
9.67
解析
【分析】
首先设宿舍数量为x间，根据“每间住4人还余19人”可直接用含x的式子表示总学生数为(4x+19)人。接下来理解核心条件“每间住6人将有一间宿舍不满不空”：即除最后一间宿舍外，其余(x-1)间均住满6人，最后一间的人数大于0且小于6，据此列出关于x的一元一次不等式组，解出x的取值范围。由于宿舍数量x为正整数，可得到x的所有可能取值，要使学生人数最多，需取x的最大整数解，代入总人数式子即可求出结果。
【解析】
解：设共有x间宿舍，则学生总人数为(4x+19)人。
根据题意，最后一间不满不空的宿舍人数满足：
$0 ＜ 4x + 19 - 6(x-1) ＜ 6$
化简不等式：
$0 ＜ -2x + 25 ＜ 6$
分别解两个不等式：
① $-2x + 25 ＞ 0$，解得$x ＜ 12.5$
② $-2x + 25 ＜ 6$，解得$x ＞ 9.5$
因此x的取值范围为$9.5 ＜ x ＜ 12.5$，又因为x为正整数，所以x可取10、11、12。
总人数$4x+19$随x增大而增大，故当x取最大值12时，总人数最多：
$4×12 + 19 = 67$（人）
【答案】
67
【知识点】
一元一次不等式组的应用，不等式的整数解
【点评】
本题属于不等式组实际应用的常规题型，解题核心是抓住“不满不空”的数量关系列出不等式，同时要注意结合实际场景，未知数需取正整数，再根据数量关系的增减性求对应最值。
【难度系数】
0.6
首先设宿舍数量为x间，根据“每间住4人还余19人”可直接用含x的式子表示总学生数为(4x+19)人。接下来理解核心条件“每间住6人将有一间宿舍不满不空”：即除最后一间宿舍外，其余(x-1)间均住满6人，最后一间的人数大于0且小于6，据此列出关于x的一元一次不等式组，解出x的取值范围。由于宿舍数量x为正整数，可得到x的所有可能取值，要使学生人数最多，需取x的最大整数解，代入总人数式子即可求出结果。
【解析】
解：设共有x间宿舍，则学生总人数为(4x+19)人。
根据题意，最后一间不满不空的宿舍人数满足：
$0 ＜ 4x + 19 - 6(x-1) ＜ 6$
化简不等式：
$0 ＜ -2x + 25 ＜ 6$
分别解两个不等式：
① $-2x + 25 ＞ 0$，解得$x ＜ 12.5$
② $-2x + 25 ＜ 6$，解得$x ＞ 9.5$
因此x的取值范围为$9.5 ＜ x ＜ 12.5$，又因为x为正整数，所以x可取10、11、12。
总人数$4x+19$随x增大而增大，故当x取最大值12时，总人数最多：
$4×12 + 19 = 67$（人）
【答案】
67
【知识点】
一元一次不等式组的应用，不等式的整数解
【点评】
本题属于不等式组实际应用的常规题型，解题核心是抓住“不满不空”的数量关系列出不等式，同时要注意结合实际场景，未知数需取正整数，再根据数量关系的增减性求对应最值。
【难度系数】
0.6
10. 某品牌护眼灯的进价为240元,商店以320元的价格出售.五一期间,商店为让利于顾客,计划以利润率不低于20%的价格降价出售,则该护眼灯最多可降价
32
元.答案
10.32
解析
【分析】
解题前先明确题意中的核心条件：护眼灯进价240元，原售价320元，降价后利润率不低于20%，求最多可降价的金额。首先回忆利润率的计算公式：利润率=（售价-进价）÷进价×100%，“不低于”对应不等号“≥”。我们可以设降价金额为x元，用含x的式子表示出降价后的售价，再结合利润率的要求列出一元一次不等式，求解不等式即可得到x的最大取值。
【解析】
解：设该护眼灯可降价$ x $元。
根据“利润率不低于20%”的要求，列不等式得：
$\frac{320 - x - 240}{240} ≥ 20\%$
化简不等式左边分子得：
$\frac{80 - x}{240} ≥ 0.2$
不等式两边同时乘240，不等号方向不变：
$80 - x ≥ 48$
移项得：
$x ≤ 80 - 48$
解得：
$x ≤ 32$
即该护眼灯最多可降价32元。
【答案】
32
【知识点】
一元一次不等式的应用；利润率计算
【点评】
本题属于不等式实际应用的基础题型，解题的关键是准确抓住“利润率不低于20%”的不等关系，牢记利润率的计算公式，注意“不低于”“至少”等表述对应的不等号，避免因符号使用错误丢分。
【难度系数】
0.75
解题前先明确题意中的核心条件：护眼灯进价240元，原售价320元，降价后利润率不低于20%，求最多可降价的金额。首先回忆利润率的计算公式：利润率=（售价-进价）÷进价×100%，“不低于”对应不等号“≥”。我们可以设降价金额为x元，用含x的式子表示出降价后的售价，再结合利润率的要求列出一元一次不等式，求解不等式即可得到x的最大取值。
【解析】
解：设该护眼灯可降价$ x $元。
根据“利润率不低于20%”的要求，列不等式得：
$\frac{320 - x - 240}{240} ≥ 20\%$
化简不等式左边分子得：
$\frac{80 - x}{240} ≥ 0.2$
不等式两边同时乘240，不等号方向不变：
$80 - x ≥ 48$
移项得：
$x ≤ 80 - 48$
解得：
$x ≤ 32$
即该护眼灯最多可降价32元。
【答案】
32
【知识点】
一元一次不等式的应用；利润率计算
【点评】
本题属于不等式实际应用的基础题型，解题的关键是准确抓住“利润率不低于20%”的不等关系，牢记利润率的计算公式，注意“不低于”“至少”等表述对应的不等号，避免因符号使用错误丢分。
【难度系数】
0.75
三、解答题
11. (1)解不等式 $10-4(x-3) ≤ 2(x-1)$.
(2)解不等式组 $\begin{cases}\dfrac{x-3}{2}+5 ≥ x+3, & \textcircled{1} \\1-3(x-1)＜8-x. & \textcircled{2}\end{cases}$
11. (1)解不等式 $10-4(x-3) ≤ 2(x-1)$.
(2)解不等式组 $\begin{cases}\dfrac{x-3}{2}+5 ≥ x+3, & \textcircled{1} \\1-3(x-1)＜8-x. & \textcircled{2}\end{cases}$
答案
11.(1)$x≥4.$
(2)由①,得$x≤1.$ 由②,得$x＞-2.$
在数轴上表示不等式①和②的解集如下图：
故这个不等式组的解集为$-2＜x≤1.$
解析
【分析】
(1) 本题是解一元一次不等式，按照一元一次不等式的常规解题步骤思考即可：先去括号，再移项将含未知数的项和常数项分别移到不等号两侧，合并同类项后将未知数系数化为1即可，注意当未知数系数为负数时，不等号方向要改变。
(2) 本题是解一元一次不等式组，解题思路为先分别解出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，也可结合数轴确定公共解集：数轴上两个解集重叠的区域就是不等式组的解集，空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点。
【解析】
(1) 解不等式 $10-4(x-3) ≤ 2(x-1)$
去括号，得 $10 - 4x + 12 ≤ 2x - 2$
合并常数项，得 $22 - 4x ≤ 2x - 2$
移项，得 $-4x - 2x ≤ -2 - 22$
合并同类项，得 $-6x ≤ -24$
系数化为1，两边同时除以$-6$，不等号方向改变，得 $x ≥ 4$
(2) 解不等式组 $\begin{cases}\dfrac{x-3}{2}+5 ≥ x+3 & \textcircled{1} \\1-3(x-1)＜8-x & \textcircled{2}\end{cases}$
解不等式①：
两边同时乘2去分母，得 $x - 3 + 10 ≥ 2x + 6$
合并同类项，得 $x + 7 ≥ 2x + 6$
移项，得 $x - 2x ≥ 6 - 7$
合并同类项，得 $-x ≥ -1$
系数化为1，两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得 $x ≤ 1$
解不等式②：
去括号，得 $1 - 3x + 3 ＜ 8 - x$
合并常数项，得 $4 - 3x ＜ 8 - x$
移项，得 $-3x + x ＜ 8 - 4$
合并同类项，得 $-2x ＜ 4$
系数化为1，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得 $x ＞ -2$
两个不等式的解集的公共部分为$-2 ＜ x ≤ 1$，与数轴表示的解集一致。
【答案】
11.(1)$x≥4.$
(2)由①,得$x≤1.$ 由②,得$x＞-2.$
在数轴上表示不等式①和②的解集如下图：
故这个不等式组的解集为$-2＜x≤1.$
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法，数轴表示不等式解集
【点评】
本题属于不等式的基础题型，解题的关键是熟练掌握不等式的运算规则，尤其注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向必须改变；求不等式组解集时可结合口诀或数轴快速确定公共解集，避免出错。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是解一元一次不等式，按照一元一次不等式的常规解题步骤思考即可：先去括号，再移项将含未知数的项和常数项分别移到不等号两侧，合并同类项后将未知数系数化为1即可，注意当未知数系数为负数时，不等号方向要改变。
(2) 本题是解一元一次不等式组，解题思路为先分别解出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，也可结合数轴确定公共解集：数轴上两个解集重叠的区域就是不等式组的解集，空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点。
【解析】
(1) 解不等式 $10-4(x-3) ≤ 2(x-1)$
去括号，得 $10 - 4x + 12 ≤ 2x - 2$
合并常数项，得 $22 - 4x ≤ 2x - 2$
移项，得 $-4x - 2x ≤ -2 - 22$
合并同类项，得 $-6x ≤ -24$
系数化为1，两边同时除以$-6$，不等号方向改变，得 $x ≥ 4$
(2) 解不等式组 $\begin{cases}\dfrac{x-3}{2}+5 ≥ x+3 & \textcircled{1} \\1-3(x-1)＜8-x & \textcircled{2}\end{cases}$
解不等式①：
两边同时乘2去分母，得 $x - 3 + 10 ≥ 2x + 6$
合并同类项，得 $x + 7 ≥ 2x + 6$
移项，得 $x - 2x ≥ 6 - 7$
合并同类项，得 $-x ≥ -1$
系数化为1，两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得 $x ≤ 1$
解不等式②：
去括号，得 $1 - 3x + 3 ＜ 8 - x$
合并常数项，得 $4 - 3x ＜ 8 - x$
移项，得 $-3x + x ＜ 8 - 4$
合并同类项，得 $-2x ＜ 4$
系数化为1，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得 $x ＞ -2$
两个不等式的解集的公共部分为$-2 ＜ x ≤ 1$，与数轴表示的解集一致。
【答案】
11.(1)$x≥4.$
(2)由①,得$x≤1.$ 由②,得$x＞-2.$
在数轴上表示不等式①和②的解集如下图：
故这个不等式组的解集为$-2＜x≤1.$
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法，数轴表示不等式解集
【点评】
本题属于不等式的基础题型，解题的关键是熟练掌握不等式的运算规则，尤其注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向必须改变；求不等式组解集时可结合口诀或数轴快速确定公共解集，避免出错。
【难度系数】
0.8
