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12. 某工厂为了扩大生产,决定购买6台机器用于生产零件. 现有甲、乙两种机器可供选择. 已知甲、乙两种机器的购买单价及日产零件如下表:
(1)如果工厂购买机器的预算资金不超过34万元,那么你认为该工厂有哪几种购买方案?
(2)在(1)的条件下,如果要求该工厂购进的6台机器的日产量能力不能低于380个零件,那么为了节约资金,应该选择哪种方案?
(1)如果工厂购买机器的预算资金不超过34万元,那么你认为该工厂有哪几种购买方案?
(2)在(1)的条件下,如果要求该工厂购进的6台机器的日产量能力不能低于380个零件,那么为了节约资金,应该选择哪种方案?
答案
12.(1)设购买甲种机器x台,则购买乙种机器$(6-x)$台.
根据题意,得$7x+5(6-x)≤34.$ 解得$x≤2.$
因为x是整数,且$x≥0$,
所以x可取0或1或2.
所以有三种购买方案:①购买甲种机器0台,乙种机器6台;②购买甲种机器1台,乙种机器5台;③购买甲种机器2台,乙种机器4台.
(2)①费用为$6×5=30$(万元),
日产量为$60×6=360$(个);
②费用为$7+5×5=32$(万元),
日产量为$106+60×5=406$(个);
③费用为$7×2+5×4=34$(万元),
日产量为$106×2+60×4=452$(个).
综上所述,为了节约资金,应选择购买甲种机器1台、乙种机器5台.
根据题意,得$7x+5(6-x)≤34.$ 解得$x≤2.$
因为x是整数,且$x≥0$,
所以x可取0或1或2.
所以有三种购买方案:①购买甲种机器0台,乙种机器6台;②购买甲种机器1台,乙种机器5台;③购买甲种机器2台,乙种机器4台.
(2)①费用为$6×5=30$(万元),
日产量为$60×6=360$(个);
②费用为$7+5×5=32$(万元),
日产量为$106+60×5=406$(个);
③费用为$7×2+5×4=34$(万元),
日产量为$106×2+60×4=452$(个).
综上所述,为了节约资金,应选择购买甲种机器1台、乙种机器5台.
解析
【分析】
解决第(1)问时，先设购买甲种机器x台，则乙种机器为(6-x)台，结合“预算资金不超过34万元”的限制条件，根据两种机器的单价列出一元一次不等式，解出x的取值范围，再结合x代表机器台数、是非负整数的实际意义，就能得到所有合法购买方案。
解决第(2)问时，先逐一计算第(1)问得到的三种方案的日产量，筛掉日产量低于380个的方案，再计算剩余符合日产量要求的方案的总资金，选择费用最低的即为最优方案。
【解析】
(1) 设购买甲种机器x台，则购买乙种机器$(6-x)$台。
根据题意列不等式：
$7x+5(6-x)≤34$
解不等式：
$7x+30-5x≤34$
$2x≤4$
$x≤2$
因为x为机器台数，是大于等于0的整数，所以x可取0、1、2，对应三种购买方案：
①购买甲种机器0台，乙种机器6台；
②购买甲种机器1台，乙种机器5台；
③购买甲种机器2台，乙种机器4台。
(2) 分别计算三种方案的费用和日产量：
方案①：费用为$6×5=30$万元，日产量为$60×6=360$个，$360＜380$，不符合日产量要求，排除；
方案②：费用为$7+5×5=32$万元，日产量为$106+60×5=406$个，$406＞380$，符合要求；
方案③：费用为$7×2+5×4=34$万元，日产量为$106×2+60×4=452$个，$452＞380$，符合要求。
对比符合要求的两个方案的费用，32万元＜34万元，因此选择购买甲种机器1台、乙种机器5台的方案最节约资金。
【答案】
(1) 有三种购买方案：①购买甲种机器0台，乙种机器6台；②购买甲种机器1台，乙种机器5台；③购买甲种机器2台，乙种机器4台。
(2) 应该选择购买甲种机器1台、乙种机器5台的方案。
【知识点】
一元一次不等式应用、方案决策
【点评】
本题是不等式在实际生活中的典型应用题型，解题时需要注意未知数的实际意义，处理多约束条件的最优方案问题时，要先筛选出满足所有硬性要求的方案，再对比优选条件得到最终结果。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，先设购买甲种机器x台，则乙种机器为(6-x)台，结合“预算资金不超过34万元”的限制条件，根据两种机器的单价列出一元一次不等式，解出x的取值范围，再结合x代表机器台数、是非负整数的实际意义，就能得到所有合法购买方案。
解决第(2)问时，先逐一计算第(1)问得到的三种方案的日产量，筛掉日产量低于380个的方案，再计算剩余符合日产量要求的方案的总资金，选择费用最低的即为最优方案。
【解析】
(1) 设购买甲种机器x台，则购买乙种机器$(6-x)$台。
根据题意列不等式：
$7x+5(6-x)≤34$
解不等式：
$7x+30-5x≤34$
$2x≤4$
$x≤2$
因为x为机器台数，是大于等于0的整数，所以x可取0、1、2，对应三种购买方案：
①购买甲种机器0台，乙种机器6台；
②购买甲种机器1台，乙种机器5台；
③购买甲种机器2台，乙种机器4台。
(2) 分别计算三种方案的费用和日产量：
方案①：费用为$6×5=30$万元，日产量为$60×6=360$个，$360＜380$，不符合日产量要求，排除；
方案②：费用为$7+5×5=32$万元，日产量为$106+60×5=406$个，$406＞380$，符合要求；
方案③：费用为$7×2+5×4=34$万元，日产量为$106×2+60×4=452$个，$452＞380$，符合要求。
对比符合要求的两个方案的费用，32万元＜34万元，因此选择购买甲种机器1台、乙种机器5台的方案最节约资金。
【答案】
(1) 有三种购买方案：①购买甲种机器0台，乙种机器6台；②购买甲种机器1台，乙种机器5台；③购买甲种机器2台，乙种机器4台。
(2) 应该选择购买甲种机器1台、乙种机器5台的方案。
【知识点】
一元一次不等式应用、方案决策
【点评】
本题是不等式在实际生活中的典型应用题型，解题时需要注意未知数的实际意义，处理多约束条件的最优方案问题时，要先筛选出满足所有硬性要求的方案，再对比优选条件得到最终结果。
【难度系数】
0.7
13. 某快递企业为提高工作效率,拟购买 A,B 两种型号智能机器人进行快递分拣. 相关信息如下:
信息一
信息二
A型智能机器人每台每天可分拣快递 22 万件；
B型智能机器人每台每天可分拣快递 18 万件.
(1)求 A,B 两种型号智能机器人的单价.
(2)现该企业准备用不超过 700 万元购买 A,B 两种型号智能机器人共 10 台,则该企业选择哪种购买方案,能使每天分拣快递的件数最多?
趣味数学
一块钱哪里去了?
信息一
信息二
A型智能机器人每台每天可分拣快递 22 万件；
B型智能机器人每台每天可分拣快递 18 万件.
(1)求 A,B 两种型号智能机器人的单价.
(2)现该企业准备用不超过 700 万元购买 A,B 两种型号智能机器人共 10 台,则该企业选择哪种购买方案,能使每天分拣快递的件数最多?
趣味数学
一块钱哪里去了?
答案
13.(1)设A型智能机器人的单价为x万元,B型智能机器人的单价为y万元.
根据题意,得$\begin{cases}x+3y=260,\\3x+2y=360.\end{cases}$
∴ $\begin{cases}x=80,\\y=60.\end{cases}$
答:A型智能机器人的单价为80万元,B型智能机器人的单价为60万元.
(2)设购买A型智能机器人a台,则购买B型智能机器人$(10-a)$台.
根据题意,得$80a+60(10-a)≤700.$
∴ $a≤5.$
∵ 每天分拣快递的件数$=22a+18(10-a)=4a+180,$
∴ 当$a=5$时,每天分拣快递的件数最多,为200万件.
∴ 选择购买A型智能机器人5台,购买B型智能机器人5台,能使每天分拣快递的件数最多.
根据题意,得$\begin{cases}x+3y=260,\\3x+2y=360.\end{cases}$
∴ $\begin{cases}x=80,\\y=60.\end{cases}$
答:A型智能机器人的单价为80万元,B型智能机器人的单价为60万元.
(2)设购买A型智能机器人a台,则购买B型智能机器人$(10-a)$台.
根据题意,得$80a+60(10-a)≤700.$
∴ $a≤5.$
∵ 每天分拣快递的件数$=22a+18(10-a)=4a+180,$
∴ 当$a=5$时,每天分拣快递的件数最多,为200万件.
∴ 选择购买A型智能机器人5台,购买B型智能机器人5台,能使每天分拣快递的件数最多.
解析
【分析】
（1）要求A、B两种型号机器人的单价，存在两个未知量，我们可以通过设立两个未知数，结合表格给出的两组购买数量与对应总费用的等量关系，列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两种机器人的单价。
（2）要确定最优购买方案，首先设购买A型机器人的数量为a台，则B型机器人数量为总数量10减去a台；根据总费用不超过700万元的限制条件，列出一元一次不等式求出a的取值范围；再结合两种机器人的日分拣量，写出总日分拣量关于a的代数式，观察代数式可知a的系数为正，因此总分拣量随a的增大而增大，在a的取值范围内取最大的符合实际的取值，即可得到最优购买方案。
【解析】
(1) 设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+3y=260\\3x+2y=360\end{cases}$
将第一个方程两边同乘3得$3x+9y=780$，减去第二个方程得$7y=420$，解得$y=60$；将$y=60$代入$x+3y=260$，得$x=260-3×60=80$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=80\\y=60\end{cases}$。
(2) 设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人$(10-a)$台。
根据总费用不超过700万元，列不等式：
$80a+60(10-a) ≤ 700$
化简得$20a+600 ≤ 700$，解得$a ≤ 5$。
每天总分拣快递的件数为$22a+18(10-a)=4a+180$，由于$4＞0$，总分拣量随a的增大而增大，因此当a取最大值5时，总分拣量最大，此时$10-a=5$，最大分拣量为$4×5+180=200$万件。
【答案】
(1) A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
(2) 选择购买A型智能机器人5台、B型智能机器人5台的方案，能使每天分拣快递的件数最多。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式应用；最优方案求解
【点评】
本题是方程与不等式结合的实际应用题，背景贴合生活场景，既考查了列方程组、解方程组的基础运算能力，也考查了结合限制条件列不等式、分析实际最优方案的逻辑思维能力，解题时需注意未知数的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
（1）要求A、B两种型号机器人的单价，存在两个未知量，我们可以通过设立两个未知数，结合表格给出的两组购买数量与对应总费用的等量关系，列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两种机器人的单价。
（2）要确定最优购买方案，首先设购买A型机器人的数量为a台，则B型机器人数量为总数量10减去a台；根据总费用不超过700万元的限制条件，列出一元一次不等式求出a的取值范围；再结合两种机器人的日分拣量，写出总日分拣量关于a的代数式，观察代数式可知a的系数为正，因此总分拣量随a的增大而增大，在a的取值范围内取最大的符合实际的取值，即可得到最优购买方案。
【解析】
(1) 设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+3y=260\\3x+2y=360\end{cases}$
将第一个方程两边同乘3得$3x+9y=780$，减去第二个方程得$7y=420$，解得$y=60$；将$y=60$代入$x+3y=260$，得$x=260-3×60=80$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=80\\y=60\end{cases}$。
(2) 设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人$(10-a)$台。
根据总费用不超过700万元，列不等式：
$80a+60(10-a) ≤ 700$
化简得$20a+600 ≤ 700$，解得$a ≤ 5$。
每天总分拣快递的件数为$22a+18(10-a)=4a+180$，由于$4＞0$，总分拣量随a的增大而增大，因此当a取最大值5时，总分拣量最大，此时$10-a=5$，最大分拣量为$4×5+180=200$万件。
【答案】
(1) A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
(2) 选择购买A型智能机器人5台、B型智能机器人5台的方案，能使每天分拣快递的件数最多。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式应用；最优方案求解
【点评】
本题是方程与不等式结合的实际应用题，背景贴合生活场景，既考查了列方程组、解方程组的基础运算能力，也考查了结合限制条件列不等式、分析实际最优方案的逻辑思维能力，解题时需注意未知数的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
