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一个商店里,30张A种卡片是一块钱卖2张,另外30张B种卡片是一块钱卖3张.有一天,这60张卡片全卖完了.30张A种卡片收入15元,30张B种卡片收入10元,总共收入25元.第二天商店老板又拿出60张卡片放到柜台上.
老板心想:何必要自找麻烦来分卡片?如果30张卡片是一块钱卖2张,另外30张是一块钱卖3张,何不把60张卡片放在一起,按两块钱5张来卖?这是一样的.
商店关门时,60张卡片全按两块钱5张卖出去了.可是,商店老板数钱时发现只卖了24元,不是25元,这使他很吃惊.
你认为这一块钱到哪里去了?是不是被某个店员偷了?是不是给顾客找错了钱?
要解决这个问题,我们需要同时利用等式与不等式的性质.
我们假设A种卡片b块钱卖a张,B种卡片d块钱卖c张.如果需要求出它们每张的平均价格w元,我们可以列等式$w=\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{2}$.假设题干中的价格为n元,我们可以列等式$n=\frac{b+d}{a+c}$.我们只讨论题干中$b=d=1$的情况,然后我们比较w与n的大小关系.
当$a=c$时,$w=n$;
当$a≠c$时,$w＞n$.
这个例子告诉我们,当看到不同种类的货物联合销售时,要判断我们是否真的买到了便宜货并不是一件容易的事.
老板心想:何必要自找麻烦来分卡片?如果30张卡片是一块钱卖2张,另外30张是一块钱卖3张,何不把60张卡片放在一起,按两块钱5张来卖?这是一样的.
商店关门时,60张卡片全按两块钱5张卖出去了.可是,商店老板数钱时发现只卖了24元,不是25元,这使他很吃惊.
你认为这一块钱到哪里去了?是不是被某个店员偷了?是不是给顾客找错了钱?
要解决这个问题,我们需要同时利用等式与不等式的性质.
我们假设A种卡片b块钱卖a张,B种卡片d块钱卖c张.如果需要求出它们每张的平均价格w元,我们可以列等式$w=\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{2}$.假设题干中的价格为n元,我们可以列等式$n=\frac{b+d}{a+c}$.我们只讨论题干中$b=d=1$的情况,然后我们比较w与n的大小关系.
当$a=c$时,$w=n$;
当$a≠c$时,$w＞n$.
这个例子告诉我们,当看到不同种类的货物联合销售时,要判断我们是否真的买到了便宜货并不是一件容易的事.
答案
解：
先计算分开售卖的平均单价w：
A种卡片单价为$\frac{1}{2}$元/张，B种卡片单价为$\frac{1}{3}$元/张
$w=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{2}=\frac{5}{12}$ 元/张
再计算混合售卖的定价对应的单价n：
按2元5张售卖，$n=\frac{2}{5}$ 元/张
比较w和n的大小：
作差得：
$w-n=\frac{5}{12}-\frac{2}{5}=\frac{25-24}{60}=\frac{1}{60}＞0$
因此 $w＞n$
验证$b=d=1$时$a≠c$的普遍情况：
$w=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{2}=\frac{a+c}{2ac}$，$n=\frac{1+1}{a+c}=\frac{2}{a+c}$
$w-n=\frac{a+c}{2ac}-\frac{2}{a+c}=\frac{(a+c)^2-4ac}{2ac(a+c)}=\frac{(a-c)^2}{2ac(a+c)}$
由a、c均为正整数，且$a≠c$，得$(a-c)^2＞0$，$2ac(a+c)＞0$，因此$w-n＞0$，即$w＞n$。
计算总售价：
分开售卖总售价为$60w=60×\frac{5}{12}=25$元
混合售卖总售价为$60n=60×\frac{2}{5}=24$元
总差值为$60(w-n)=1$元。
答：不存在店员偷钱或者找错钱的情况，少的1元是因为混合售卖的单张平均定价低于分开售卖的实际平均价格，最终总售价比预期少1元。
先计算分开售卖的平均单价w：
A种卡片单价为$\frac{1}{2}$元/张，B种卡片单价为$\frac{1}{3}$元/张
$w=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{2}=\frac{5}{12}$ 元/张
再计算混合售卖的定价对应的单价n：
按2元5张售卖，$n=\frac{2}{5}$ 元/张
比较w和n的大小：
作差得：
$w-n=\frac{5}{12}-\frac{2}{5}=\frac{25-24}{60}=\frac{1}{60}＞0$
因此 $w＞n$
验证$b=d=1$时$a≠c$的普遍情况：
$w=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{2}=\frac{a+c}{2ac}$，$n=\frac{1+1}{a+c}=\frac{2}{a+c}$
$w-n=\frac{a+c}{2ac}-\frac{2}{a+c}=\frac{(a+c)^2-4ac}{2ac(a+c)}=\frac{(a-c)^2}{2ac(a+c)}$
由a、c均为正整数，且$a≠c$，得$(a-c)^2＞0$，$2ac(a+c)＞0$，因此$w-n＞0$，即$w＞n$。
计算总售价：
分开售卖总售价为$60w=60×\frac{5}{12}=25$元
混合售卖总售价为$60n=60×\frac{2}{5}=24$元
总差值为$60(w-n)=1$元。
答：不存在店员偷钱或者找错钱的情况，少的1元是因为混合售卖的单张平均定价低于分开售卖的实际平均价格，最终总售价比预期少1元。
解析
【分析】
解决该问题的核心是对比两种售卖方式的单张平均价格差异，无需先考虑丢钱、找错钱的情况。第一步先分别计算A、B两种卡片分开售卖时的单张价格，求出分开卖的平均单价w；第二步计算混合售卖时的单张定价n；第三步用作差法比较w和n的大小，判断两种售卖方式的单位售价差异，最后结合总销售张数即可算出差价的来源。
【解析】
1. 计算分开售卖的平均单价w：
A种卡片1元卖2张，单价为$\frac{1}{2}$元/张；B种卡片1元卖3张，单价为$\frac{1}{3}$元/张
分开卖的平均单价 $w=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{2}=\frac{5}{12}$ 元/张
2. 计算混合售卖的单张定价n：
按2元卖5张的规则，单张价格 $n=\frac{2}{5}$ 元/张
3. 比较w和n的大小：
用作差法计算：$w-n=\frac{5}{12}-\frac{2}{5}=\frac{25-24}{60}=\frac{1}{60}＞0$，因此 $w＞n$，说明混合售卖的单张定价比分开卖的平均单价更低。
4. 验证普遍规律（$b=d=1$时）：
$w=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{2}=\frac{a+c}{2ac}$，$n=\frac{1+1}{a+c}=\frac{2}{a+c}$
作差得 $w-n=\frac{a+c}{2ac}-\frac{2}{a+c}=\frac{(a+c)^2-4ac}{2ac(a+c)}=\frac{(a-c)^2}{2ac(a+c)}$
因为a、c均为正整数，若$a≠c$，则$(a-c)^2＞0$，分母$2ac(a+c)＞0$，因此$w-n＞0$，即$a≠c$时$w＞n$恒成立。
5. 计算总售价差异：
分开卖60张总售价：$60×w=60×\frac{5}{12}=25$元
混合卖60张总售价：$60×n=60×\frac{2}{5}=24$元
总差价：$60×(w-n)=60×\frac{1}{60}=1$元
【答案】
不存在店员偷钱或者找错钱的情况，少的1元是因为混合售卖的单张平均定价低于分开售卖的实际平均价格，最终总售价比预期少1元。
【知识点】
平均数计算，作差法比较大小，不等式的性质
【点评】
本题结合生活中的常见销售场景，将数学知识和实际应用紧密结合，既考查了平均数、不等式的相关知识，也能帮助学生理解生活中各类“优惠活动”背后的数学逻辑，提升用数学思维解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
解决该问题的核心是对比两种售卖方式的单张平均价格差异，无需先考虑丢钱、找错钱的情况。第一步先分别计算A、B两种卡片分开售卖时的单张价格，求出分开卖的平均单价w；第二步计算混合售卖时的单张定价n；第三步用作差法比较w和n的大小，判断两种售卖方式的单位售价差异，最后结合总销售张数即可算出差价的来源。
【解析】
1. 计算分开售卖的平均单价w：
A种卡片1元卖2张，单价为$\frac{1}{2}$元/张；B种卡片1元卖3张，单价为$\frac{1}{3}$元/张
分开卖的平均单价 $w=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{2}=\frac{5}{12}$ 元/张
2. 计算混合售卖的单张定价n：
按2元卖5张的规则，单张价格 $n=\frac{2}{5}$ 元/张
3. 比较w和n的大小：
用作差法计算：$w-n=\frac{5}{12}-\frac{2}{5}=\frac{25-24}{60}=\frac{1}{60}＞0$，因此 $w＞n$，说明混合售卖的单张定价比分开卖的平均单价更低。
4. 验证普遍规律（$b=d=1$时）：
$w=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{2}=\frac{a+c}{2ac}$，$n=\frac{1+1}{a+c}=\frac{2}{a+c}$
作差得 $w-n=\frac{a+c}{2ac}-\frac{2}{a+c}=\frac{(a+c)^2-4ac}{2ac(a+c)}=\frac{(a-c)^2}{2ac(a+c)}$
因为a、c均为正整数，若$a≠c$，则$(a-c)^2＞0$，分母$2ac(a+c)＞0$，因此$w-n＞0$，即$a≠c$时$w＞n$恒成立。
5. 计算总售价差异：
分开卖60张总售价：$60×w=60×\frac{5}{12}=25$元
混合卖60张总售价：$60×n=60×\frac{2}{5}=24$元
总差价：$60×(w-n)=60×\frac{1}{60}=1$元
【答案】
不存在店员偷钱或者找错钱的情况，少的1元是因为混合售卖的单张平均定价低于分开售卖的实际平均价格，最终总售价比预期少1元。
【知识点】
平均数计算，作差法比较大小，不等式的性质
【点评】
本题结合生活中的常见销售场景，将数学知识和实际应用紧密结合，既考查了平均数、不等式的相关知识，也能帮助学生理解生活中各类“优惠活动”背后的数学逻辑，提升用数学思维解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
