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综合练习（二）
一、选择题
1. 下列说法不正确的是 （
A.$\frac{1}{25}$的平方根是$\pm\frac{1}{5}$
B.-9是81的一个平方根
C.0.2的算术平方根是0.04
D.-27的立方根是-3
一、选择题
1. 下列说法不正确的是 （
C
）A.$\frac{1}{25}$的平方根是$\pm\frac{1}{5}$
B.-9是81的一个平方根
C.0.2的算术平方根是0.04
D.-27的立方根是-3
答案
1.C
解析
【分析】
本题要求选出说法不正确的选项，考查平方根、算术平方根、立方根的基本概念，解题时需逐个验证每个选项：首先回忆相关定义：若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，其中非负的平方根叫做$a$的算术平方根；若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，结合定义逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：因为$(\pm\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，所以$\frac{1}{25}$的平方根是$\pm\frac{1}{5}$，该说法正确，不符合题意；
B选项：因为$(-9)^2=81$，所以-9是81的一个平方根，该说法正确，不符合题意；
C选项：$0.2^2=0.04$，说明0.04的算术平方根是0.2，而0.2的算术平方根是$\sqrt{0.2}\approx0.447$，不是0.04，该说法错误，符合题意；
D选项：因为$(-3)^3=-27$，所以-27的立方根是-3，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是混淆平方和开平方的运算关系，以及混淆平方根和算术平方根的区别，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题要求选出说法不正确的选项，考查平方根、算术平方根、立方根的基本概念，解题时需逐个验证每个选项：首先回忆相关定义：若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，其中非负的平方根叫做$a$的算术平方根；若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，结合定义逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：因为$(\pm\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，所以$\frac{1}{25}$的平方根是$\pm\frac{1}{5}$，该说法正确，不符合题意；
B选项：因为$(-9)^2=81$，所以-9是81的一个平方根，该说法正确，不符合题意；
C选项：$0.2^2=0.04$，说明0.04的算术平方根是0.2，而0.2的算术平方根是$\sqrt{0.2}\approx0.447$，不是0.04，该说法错误，符合题意；
D选项：因为$(-3)^3=-27$，所以-27的立方根是-3，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是混淆平方和开平方的运算关系，以及混淆平方根和算术平方根的区别，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 若$\sqrt{a}$的算术平方根有意义,则$a$的取值范围是 (
A.一切数
B.正数
C.非负数
D.非零数
C
)A.一切数
B.正数
C.非负数
D.非零数
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先要明确算术平方根有意义的核心条件：只有非负数才有算术平方根，即算术平方根的被开方数必须是非负数（大于等于0）。本题要求$\sqrt{a}$的算术平方根有意义，我们可以分两步推导：第一步先确定$\sqrt{a}$本身有意义的条件，第二步再确定$\sqrt{a}$作为另一个算术平方根的被开方数需要满足的条件，最后合并两个条件就能得到a的取值范围。
【解析】
解：根据算术平方根的性质，算术平方根的被开方数必须为非负数：
① 要使$\sqrt{a}$本身有意义，则$a≥0$；
② 当$a≥0$时，$\sqrt{a}$的结果一定是非负数，此时$\sqrt{a}$可以作为算术平方根的被开方数，即$\sqrt{a}$的算术平方根有意义。
综上，a的取值范围是非负数，故选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对算术平方根取值要求的理解，解题时只要牢牢抓住“算术平方根的被开方数必须是非负数”这一核心规则就能正确解答，易错点是部分同学会混淆被开方数的范围误选正数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确算术平方根有意义的核心条件：只有非负数才有算术平方根，即算术平方根的被开方数必须是非负数（大于等于0）。本题要求$\sqrt{a}$的算术平方根有意义，我们可以分两步推导：第一步先确定$\sqrt{a}$本身有意义的条件，第二步再确定$\sqrt{a}$作为另一个算术平方根的被开方数需要满足的条件，最后合并两个条件就能得到a的取值范围。
【解析】
解：根据算术平方根的性质，算术平方根的被开方数必须为非负数：
① 要使$\sqrt{a}$本身有意义，则$a≥0$；
② 当$a≥0$时，$\sqrt{a}$的结果一定是非负数，此时$\sqrt{a}$可以作为算术平方根的被开方数，即$\sqrt{a}$的算术平方根有意义。
综上，a的取值范围是非负数，故选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对算术平方根取值要求的理解，解题时只要牢牢抓住“算术平方根的被开方数必须是非负数”这一核心规则就能正确解答，易错点是部分同学会混淆被开方数的范围误选正数。
【难度系数】
0.8
3. 下列各式正确的是 （
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\pm\sqrt{9}=3$
C.$\sqrt{16}=8$
D.$\sqrt{2^2}=2$
D
）A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\pm\sqrt{9}=3$
C.$\sqrt{16}=8$
D.$\sqrt{2^2}=2$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时首先要明确两个核心定义：①$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，计算结果为非负数；②$\pm\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的平方根，计算结果是互为相反数的两个数。接下来我们先计算每个选项中被开方数的结果，再结合定义判断运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先计算被开方数$(-2)^2=4$，$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，结果为2，不是-2，故A错误；
B选项：$\pm\sqrt{9}$表示9的平方根，结果为$\pm3$，不是仅3，故B错误；
C选项：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，结果为4，不是8，故C错误；
D选项：先计算被开方数$2^2=4$，$\sqrt{4}=2$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念；乘方运算
【点评】
本题是实数部分的基础题型，核心考点是区分平方根和算术平方根的符号表示及运算结果的符号要求，解题时注意根号前没有正负号时，运算结果只能是非负的，避免混淆两个概念导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时首先要明确两个核心定义：①$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，计算结果为非负数；②$\pm\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的平方根，计算结果是互为相反数的两个数。接下来我们先计算每个选项中被开方数的结果，再结合定义判断运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先计算被开方数$(-2)^2=4$，$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，结果为2，不是-2，故A错误；
B选项：$\pm\sqrt{9}$表示9的平方根，结果为$\pm3$，不是仅3，故B错误；
C选项：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，结果为4，不是8，故C错误；
D选项：先计算被开方数$2^2=4$，$\sqrt{4}=2$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念；乘方运算
【点评】
本题是实数部分的基础题型，核心考点是区分平方根和算术平方根的符号表示及运算结果的符号要求，解题时注意根号前没有正负号时，运算结果只能是非负的，避免混淆两个概念导致出错。
【难度系数】
0.8
4. 在$0,-2,-\sqrt{3},π$这四个数中,最大的数是（
A.$-2$
B.$0$
C.$π$
D.$-\sqrt{3}$
C
）A.$-2$
B.$0$
C.$π$
D.$-\sqrt{3}$
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这道实数比大小的题目，我们可以按照以下思路思考：首先回忆实数大小比较的基本法则：所有正数都大于0，所有负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较时，绝对值大的反而小。首先我们先对四个数的正负性进行分类，先排除掉负数，再对比0和正数，就能快速找到最大的数。
【解析】
首先明确四个数的性质：
1. $π\approx3.14$，是正数；
2. $-\sqrt{3}\approx-1.732$，是负数；
3. $-2$是负数；
4. $0$既不是正数也不是负数。
根据实数大小比较规则：正数＞0＞负数，可得四个数的大小关系为：$π＞0＞-\sqrt{3}＞-2$，因此最大的数是$π$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查实数比较大小的基本规则，熟练掌握正负数和0的大小关系即可快速得出答案，也可通过估算无理数的近似值辅助判断，计算量小。
【难度系数】
0.9
要解决这道实数比大小的题目，我们可以按照以下思路思考：首先回忆实数大小比较的基本法则：所有正数都大于0，所有负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较时，绝对值大的反而小。首先我们先对四个数的正负性进行分类，先排除掉负数，再对比0和正数，就能快速找到最大的数。
【解析】
首先明确四个数的性质：
1. $π\approx3.14$，是正数；
2. $-\sqrt{3}\approx-1.732$，是负数；
3. $-2$是负数；
4. $0$既不是正数也不是负数。
根据实数大小比较规则：正数＞0＞负数，可得四个数的大小关系为：$π＞0＞-\sqrt{3}＞-2$，因此最大的数是$π$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查实数比较大小的基本规则，熟练掌握正负数和0的大小关系即可快速得出答案，也可通过估算无理数的近似值辅助判断，计算量小。
【难度系数】
0.9
5. 估计$\sqrt{76}$的值在哪两个整数之间
（
A.75 和 77
B.6 和 7
C.7 和 8
D.8 和 9
（
D
）A.75 和 77
B.6 和 7
C.7 和 8
D.8 和 9
答案
5.D
解析
【分析】要估算$\sqrt{76}$在哪两个整数之间，我们可以利用算术平方根的性质：当两个正数都大于0时，被开方数越大，对应的算术平方根也越大。所以首先找到和76相邻、且能开得尽方的两个正整数的平方，也就是相邻的两个完全平方数，再通过比较大小就能确定$\sqrt{76}$的范围。
【解析】
解：先计算相邻整数的平方：
$8^2=64$，$9^2=81$
可得大小关系：$64＜76＜81$
根据算术平方根的性质，对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变：
$\sqrt{64}＜\sqrt{76}＜\sqrt{81}$
化简得：$8＜\sqrt{76}＜9$
因此$\sqrt{76}$的值在8和9两个整数之间，故选D。
【答案】D
【知识点】算术平方根的性质、完全平方数、无理数估算
【点评】本题是实数估算类的基础题型，解题关键是熟练掌握常见整数的平方，利用相邻完全平方数来确定无理数的取值范围，整体解题思路简单易掌握。
【难度系数】0.9
【解析】
解：先计算相邻整数的平方：
$8^2=64$，$9^2=81$
可得大小关系：$64＜76＜81$
根据算术平方根的性质，对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变：
$\sqrt{64}＜\sqrt{76}＜\sqrt{81}$
化简得：$8＜\sqrt{76}＜9$
因此$\sqrt{76}$的值在8和9两个整数之间，故选D。
【答案】D
【知识点】算术平方根的性质、完全平方数、无理数估算
【点评】本题是实数估算类的基础题型，解题关键是熟练掌握常见整数的平方，利用相邻完全平方数来确定无理数的取值范围，整体解题思路简单易掌握。
【难度系数】0.9
6. 在实数$|-3.14|,-3,-\sqrt{3},π$中,最小的数是 （
A.$-\sqrt{3}$
B.$-3$
C.$|-3.14|$
D.$π$
B
）A.$-\sqrt{3}$
B.$-3$
C.$|-3.14|$
D.$π$
答案
6.B
解析
【分析】
要找出这几个实数中最小的数，可按照实数比较大小的思路逐步推导：第一步先区分正数和负数，因为所有正数都大于负数，所以最小的数一定在负数里，可先排除正数选项；第二步对剩下的负数，按照“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则比较，就能得出最小的数。
【解析】
第一步：先化简并分类各数的正负：
$|-3.14|=3.14$，是正数；$π\approx3.14159$，是正数；$-3$、$-\sqrt{3}$是负数。
因为正数大于一切负数，所以最小的数在$-3$和$-\sqrt{3}$中，排除选项C、D。
第二步：比较两个负数的大小：
先求两个负数的绝对值：$|-3|=3$，$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}\approx1.732$。
因为$3＞\sqrt{3}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-3＜-\sqrt{3}$。
因此四个数中最小的数是$-3$。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较、绝对值的化简、无理数估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题的核心是先利用正负性缩小范围，再结合负数比较大小的规则判断，掌握实数比较大小的基本方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要找出这几个实数中最小的数，可按照实数比较大小的思路逐步推导：第一步先区分正数和负数，因为所有正数都大于负数，所以最小的数一定在负数里，可先排除正数选项；第二步对剩下的负数，按照“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则比较，就能得出最小的数。
【解析】
第一步：先化简并分类各数的正负：
$|-3.14|=3.14$，是正数；$π\approx3.14159$，是正数；$-3$、$-\sqrt{3}$是负数。
因为正数大于一切负数，所以最小的数在$-3$和$-\sqrt{3}$中，排除选项C、D。
第二步：比较两个负数的大小：
先求两个负数的绝对值：$|-3|=3$，$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}\approx1.732$。
因为$3＞\sqrt{3}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-3＜-\sqrt{3}$。
因此四个数中最小的数是$-3$。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较、绝对值的化简、无理数估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题的核心是先利用正负性缩小范围，再结合负数比较大小的规则判断，掌握实数比较大小的基本方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 下列说法正确的是 （
A.数轴上的点与有理数一一对应
B.数轴上的点与无理数一一对应
C.数轴上的点与整数一一对应
D
）A.数轴上的点与有理数一一对应
B.数轴上的点与无理数一一对应
C.数轴上的点与整数一一对应
答案
7.D
解析
【分析】
要解决这道题，需明确不同类型的数和数轴上的点的对应关系：我们学过有理数和无理数统称为实数，所有的数（有理数、无理数）都可以在数轴上找到唯一对应的点，反过来数轴上的任意一个点也对应唯一的实数。我们逐一判断选项即可选出正确答案：A选项中数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数，因此两者不是一一对应；B选项数轴上的点还能表示有理数，因此和无理数也不是一一对应；C选项数轴上的点还能表示分数、无理数等非整数，因此和整数不是一一对应；D选项描述的数轴上的点与实数一一对应是正确结论。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，因此数轴上的点与有理数不是一一对应，A错误。
选项B：数轴上的点既可以表示无理数，也可以表示有理数，因此数轴上的点与无理数不是一一对应，B错误。
选项C：数轴上的点还可以表示分数、无理数等非整数，因此数轴上的点与整数不是一一对应，C错误。
选项D：有理数和无理数统称为实数，所有实数都可以用数轴上的点表示，且数轴上的每一个点都对应唯一的实数，因此数轴上的点与实数一一对应，D正确。
【答案】D
【知识点】实数与数轴的对应关系；实数的定义
【点评】本题属于基础概念考查题，核心是牢记数轴上的点和实数一一对应的结论，注意区分有理数、无理数等不同数集和数轴的对应关系，避免概念混淆。
【难度系数】0.8
要解决这道题，需明确不同类型的数和数轴上的点的对应关系：我们学过有理数和无理数统称为实数，所有的数（有理数、无理数）都可以在数轴上找到唯一对应的点，反过来数轴上的任意一个点也对应唯一的实数。我们逐一判断选项即可选出正确答案：A选项中数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数，因此两者不是一一对应；B选项数轴上的点还能表示有理数，因此和无理数也不是一一对应；C选项数轴上的点还能表示分数、无理数等非整数，因此和整数不是一一对应；D选项描述的数轴上的点与实数一一对应是正确结论。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，因此数轴上的点与有理数不是一一对应，A错误。
选项B：数轴上的点既可以表示无理数，也可以表示有理数，因此数轴上的点与无理数不是一一对应，B错误。
选项C：数轴上的点还可以表示分数、无理数等非整数，因此数轴上的点与整数不是一一对应，C错误。
选项D：有理数和无理数统称为实数，所有实数都可以用数轴上的点表示，且数轴上的每一个点都对应唯一的实数，因此数轴上的点与实数一一对应，D正确。
【答案】D
【知识点】实数与数轴的对应关系；实数的定义
【点评】本题属于基础概念考查题，核心是牢记数轴上的点和实数一一对应的结论，注意区分有理数、无理数等不同数集和数轴的对应关系，避免概念混淆。
【难度系数】0.8
8. 实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图8-6所示,下列结论正确的是 (
A.$ab＞0$
B.$a+b＜0$
C.$|a|＞|b|$
D.$a-b＜0$
D
)A.$ab＞0$
B.$a+b＜0$
C.$|a|＞|b|$
D.$a-b＜0$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先观察数轴，确定实数a、b的取值范围：-2 ＜ a ＜ -1，2 ＜ b ＜ 3，明确a为负数、b为正数，再结合有理数的运算法则、绝对值的性质逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
由数轴可得：-2 ＜ a ＜ -1，2 ＜ b ＜ 3。
A选项：a是负数，b是正数，异号两数相乘结果为负，即ab ＜ 0，故A错误；
B选项：a的取值范围是-2~-1，b的取值范围是2~3，两数相加结果为正，即a+b ＞ 0，故B错误；
C选项：|a|的范围是1~2，|b|的范围是2~3，因此|a| ＜ |b|，故C错误；
D选项：a为负数，b为正数，负数减正数结果为负，即a - b ＜ 0，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，有理数运算，绝对值的性质
【点评】
本题结合数轴考查实数的相关性质，解题的关键是准确从数轴中提取a、b的取值范围和正负性，再结合有理数运算规律、绝对值的概念进行判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴，确定实数a、b的取值范围：-2 ＜ a ＜ -1，2 ＜ b ＜ 3，明确a为负数、b为正数，再结合有理数的运算法则、绝对值的性质逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
由数轴可得：-2 ＜ a ＜ -1，2 ＜ b ＜ 3。
A选项：a是负数，b是正数，异号两数相乘结果为负，即ab ＜ 0，故A错误；
B选项：a的取值范围是-2~-1，b的取值范围是2~3，两数相加结果为正，即a+b ＞ 0，故B错误；
C选项：|a|的范围是1~2，|b|的范围是2~3，因此|a| ＜ |b|，故C错误；
D选项：a为负数，b为正数，负数减正数结果为负，即a - b ＜ 0，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，有理数运算，绝对值的性质
【点评】
本题结合数轴考查实数的相关性质，解题的关键是准确从数轴中提取a、b的取值范围和正负性，再结合有理数运算规律、绝对值的概念进行判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 将边长分别为 1,2 的长方形沿图8-7所示的虚线剪开,拼成一个与长方形的面积相等的正方形,则该正方形的边长最接近整数________.
答案
9.1
解析
【分析】
解题首先抓住拼接前后图形面积不变的核心，第一步先计算原长方形的面积，得到正方形的面积；第二步根据正方形面积与边长的关系，求出边长的表达式；第三步估算该边长的数值范围，判断其最接近的整数即可。
【解析】
首先计算长方形的面积：
长方形的长为2，宽为1，面积 = 长×宽 = $1×2=2$。
因为拼接前后面积相等，所以拼成的正方形面积也为2。
设正方形边长为$a$（$a＞0$），由正方形面积公式$S=a^2$可得：
$a^2=2$，所以$a=\sqrt{2}$。
已知$\sqrt{2}\approx1.414$，$1.414-1=0.414$，$2-1.414=0.586$，$0.414＜0.586$，因此$\sqrt{2}$最接近整数1。
【答案】
1
【知识点】
面积守恒，算术平方根，无理数估算
【点评】
本题将图形拼接与实数估算相结合，考查对基础性质的应用能力，解题的关键是抓住拼接前后面积不变的特点，再结合无理数的近似值判断结果，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
解题首先抓住拼接前后图形面积不变的核心，第一步先计算原长方形的面积，得到正方形的面积；第二步根据正方形面积与边长的关系，求出边长的表达式；第三步估算该边长的数值范围，判断其最接近的整数即可。
【解析】
首先计算长方形的面积：
长方形的长为2，宽为1，面积 = 长×宽 = $1×2=2$。
因为拼接前后面积相等，所以拼成的正方形面积也为2。
设正方形边长为$a$（$a＞0$），由正方形面积公式$S=a^2$可得：
$a^2=2$，所以$a=\sqrt{2}$。
已知$\sqrt{2}\approx1.414$，$1.414-1=0.414$，$2-1.414=0.586$，$0.414＜0.586$，因此$\sqrt{2}$最接近整数1。
【答案】
1
【知识点】
面积守恒，算术平方根，无理数估算
【点评】
本题将图形拼接与实数估算相结合，考查对基础性质的应用能力，解题的关键是抓住拼接前后面积不变的特点，再结合无理数的近似值判断结果，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
10. 比较大小：$\sqrt{5}-3$ ______（填“＞”“＜”或“=”）$\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}$。
答案
10.＜
解析
【分析】
比较两个实数的大小可采用作差法：若两个数的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差等于0，则两数相等。本题我们先计算两个式子的差，通分化简后，结合$\sqrt{5}$的取值范围判断差的正负，即可得出两数的大小关系。
【解析】
使用作差法比较大小，步骤如下：
1. 计算两式的差：
$(\sqrt{5}-3) - \dfrac{\sqrt{5}-2}{2}$
2. 通分化简：
将$\sqrt{5}-3$改写为分母为2的形式：$\sqrt{5}-3=\dfrac{2(\sqrt{5}-3)}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}-6}{2}$
代入差的式子得：
$\dfrac{2\sqrt{5}-6}{2}-\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}-6-\sqrt{5}+2}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-4}{2}$
3. 判断差的符号：
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}＜4$，可得$\sqrt{5}-4＜0$，因此$\dfrac{\sqrt{5}-4}{2}＜0$。
4. 推导大小关系：
由两式的差小于0，可得$\sqrt{5}-3 ＜ \dfrac{\sqrt{5}-2}{2}$。
【答案】
＜
【知识点】
作差法比较大小，无理数估算，实数运算
【点评】
本题考查实数大小比较的基础方法，作差法是比较代数式大小的常用技巧，结合无理数的取值范围判断差的符号是解题的核心，掌握这类基础方法能为后续代数式比较大小的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
比较两个实数的大小可采用作差法：若两个数的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差等于0，则两数相等。本题我们先计算两个式子的差，通分化简后，结合$\sqrt{5}$的取值范围判断差的正负，即可得出两数的大小关系。
【解析】
使用作差法比较大小，步骤如下：
1. 计算两式的差：
$(\sqrt{5}-3) - \dfrac{\sqrt{5}-2}{2}$
2. 通分化简：
将$\sqrt{5}-3$改写为分母为2的形式：$\sqrt{5}-3=\dfrac{2(\sqrt{5}-3)}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}-6}{2}$
代入差的式子得：
$\dfrac{2\sqrt{5}-6}{2}-\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}-6-\sqrt{5}+2}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-4}{2}$
3. 判断差的符号：
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}＜4$，可得$\sqrt{5}-4＜0$，因此$\dfrac{\sqrt{5}-4}{2}＜0$。
4. 推导大小关系：
由两式的差小于0，可得$\sqrt{5}-3 ＜ \dfrac{\sqrt{5}-2}{2}$。
【答案】
＜
【知识点】
作差法比较大小，无理数估算，实数运算
【点评】
本题考查实数大小比较的基础方法，作差法是比较代数式大小的常用技巧，结合无理数的取值范围判断差的符号是解题的核心，掌握这类基础方法能为后续代数式比较大小的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
11. 若$\sqrt{25.36} \approx 5.036$，$\sqrt{253.6} \approx$
答案
解：
$\sqrt{253.6}=\sqrt{25.36×10}$
$=\sqrt{25.36}×\sqrt{10}$
已知$\sqrt{25.36}\approx5.036$，$\sqrt{10}\approx3.162$，代入得：
$\sqrt{253.6}\approx5.036×3.162\approx15.92$
$\sqrt{253.6}=\sqrt{25.36×10}$
$=\sqrt{25.36}×\sqrt{10}$
已知$\sqrt{25.36}\approx5.036$，$\sqrt{10}\approx3.162$，代入得：
$\sqrt{253.6}\approx5.036×3.162\approx15.92$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件中的被开方数25.36和待求式的被开方数253.6的数量关系，可发现253.6=25.36×10；接下来利用二次根式的乘法运算性质：当a≥0、b≥0时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，将待求的$\sqrt{253.6}$拆分为已知的$\sqrt{25.36}$与$\sqrt{10}$的乘积；最后代入已知的$\sqrt{25.36}≈5.036$和常用近似值$\sqrt{10}≈3.162$，计算乘积即可得到结果。
【解析】
解：$\sqrt{253.6}=\sqrt{25.36×10}$
根据二次根式乘法性质可得：$\sqrt{25.36×10}=\sqrt{25.36}×\sqrt{10}$
已知$\sqrt{25.36}\approx5.036$，且$\sqrt{10}\approx3.162$，代入计算：
$\sqrt{253.6}\approx5.036×3.162\approx15.92$
【答案】
15.92
【知识点】
二次根式乘法性质，算术平方根近似计算
【点评】
本题考查二次根式运算性质的灵活应用，解题核心是找准已知和待求式子中被开方数的倍数关系，结合常见无理数的近似值计算即可，侧重考查根式基础运算能力。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察已知条件中的被开方数25.36和待求式的被开方数253.6的数量关系，可发现253.6=25.36×10；接下来利用二次根式的乘法运算性质：当a≥0、b≥0时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，将待求的$\sqrt{253.6}$拆分为已知的$\sqrt{25.36}$与$\sqrt{10}$的乘积；最后代入已知的$\sqrt{25.36}≈5.036$和常用近似值$\sqrt{10}≈3.162$，计算乘积即可得到结果。
【解析】
解：$\sqrt{253.6}=\sqrt{25.36×10}$
根据二次根式乘法性质可得：$\sqrt{25.36×10}=\sqrt{25.36}×\sqrt{10}$
已知$\sqrt{25.36}\approx5.036$，且$\sqrt{10}\approx3.162$，代入计算：
$\sqrt{253.6}\approx5.036×3.162\approx15.92$
【答案】
15.92
【知识点】
二次根式乘法性质，算术平方根近似计算
【点评】
本题考查二次根式运算性质的灵活应用，解题核心是找准已知和待求式子中被开方数的倍数关系，结合常见无理数的近似值计算即可，侧重考查根式基础运算能力。
【难度系数】
0.75
15.925,则$\sqrt{253\ 600}\approx$
503.6
.答案
11. 503.6
解析
【分析】
解题的核心是运用算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，其算术平方根的小数点就对应向右（或向左）移动1位。首先观察被开方数253600，对比已知算术平方根的被开方数25.36，253600是把25.36的小数点向右移动4位得到的，即移动了2组2位，因此对应的算术平方根只需把$\sqrt{25.36}$的结果小数点向右移动2位即可算出结果。
【解析】
根据算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点向右移动2n位，算术平方根的小数点向右移动n位。
已知$\sqrt{25.36}\approx5.036$，253600是将25.36的小数点向右移动4位得到，即n=2，因此算术平方根的小数点需要向右移动2位：
$5.036×100=503.6$，即$\sqrt{253600}\approx503.6$。
【答案】
503.6
【知识点】
算术平方根的性质；小数点移动规律
【点评】
本题重点考查算术平方根变化规律的应用，解题核心是准确判断被开方数小数点的移动位数，熟记规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题的核心是运用算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，其算术平方根的小数点就对应向右（或向左）移动1位。首先观察被开方数253600，对比已知算术平方根的被开方数25.36，253600是把25.36的小数点向右移动4位得到的，即移动了2组2位，因此对应的算术平方根只需把$\sqrt{25.36}$的结果小数点向右移动2位即可算出结果。
【解析】
根据算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点向右移动2n位，算术平方根的小数点向右移动n位。
已知$\sqrt{25.36}\approx5.036$，253600是将25.36的小数点向右移动4位得到，即n=2，因此算术平方根的小数点需要向右移动2位：
$5.036×100=503.6$，即$\sqrt{253600}\approx503.6$。
【答案】
503.6
【知识点】
算术平方根的性质；小数点移动规律
【点评】
本题重点考查算术平方根变化规律的应用，解题核心是准确判断被开方数小数点的移动位数，熟记规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
12. (1)计算:$\sqrt[3]{-8}+|3-\sqrt{10}|+\sqrt{2+\frac{1}{4}}-\sqrt{0.25}$.
(2)已知$a$是$\sqrt{16}$的平方根,$b=\sqrt{9}$,$c$是$-8$的立方根,试求$a+b-c$的值.
12. (1)计算:$\sqrt[3]{-8}+|3-\sqrt{10}|+\sqrt{2+\frac{1}{4}}-\sqrt{0.25}$.
(2)已知$a$是$\sqrt{16}$的平方根,$b=\sqrt{9}$,$c$是$-8$的立方根,试求$a+b-c$的值.
答案
12. (1)√10-4.
(2)
∵ a是√16的平方根,b=√9,c是-8的立方根,
∴ a=±2,b=3,c=-2.
∴ 当a=2时,a+b-c=7;
当a=-2时,a+b-c=3.
综上,a+b-c的值为7或3.
(2)
∵ a是√16的平方根,b=√9,c是-8的立方根,
∴ a=±2,b=3,c=-2.
∴ 当a=2时,a+b-c=7;
当a=-2时,a+b-c=3.
综上,a+b-c的值为7或3.
解析
【分析】
(1) 本题是实数的混合运算，解题思路为先分别化简每一项：根据立方根定义化简三次根式，先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号，接着根据算术平方根的定义化简两个二次根式，最后合并化简后的结果即可。
(2) 本题需先根据平方根、算术平方根、立方根的定义分别求出a、b、c的值，注意$\sqrt{16}$的平方根本质是求4的平方根，有两个互为相反数的结果，再分两种情况代入$a+b-c$计算，避免漏解。
【解析】
(1) 分步化简各项：
$\sqrt[3]{-8}=-2$，
因为$\sqrt{10}＞3$，所以$|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3$，
$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$，
$\sqrt{0.25}=0.5=\frac{1}{2}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-2 + (\sqrt{10}-3) + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\\&=-2 + \sqrt{10} -3 + 1\\&=\sqrt{10}-4\end{aligned}$
(2) 先求解a、b、c的值：
∵ $\sqrt{16}=4$，a是4的平方根，
∴ $a=\pm2$，
$b=\sqrt{9}=3$，
∵ c是-8的立方根，
∴ $c=\sqrt[3]{-8}=-2$，
分情况代入计算：
当$a=2$时，$a+b-c=2+3-(-2)=7$；
当$a=-2$时，$a+b-c=-2+3-(-2)=3$。
【答案】
(1) $\sqrt{10}-4$；
(2) 7或3
【知识点】
实数的运算，平方根与立方根，绝对值化简
【点评】
本题属于实数模块的基础题，重点考查对平方根、立方根、绝对值等概念的理解和运算能力，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏解，运算过程中注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是实数的混合运算，解题思路为先分别化简每一项：根据立方根定义化简三次根式，先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号，接着根据算术平方根的定义化简两个二次根式，最后合并化简后的结果即可。
(2) 本题需先根据平方根、算术平方根、立方根的定义分别求出a、b、c的值，注意$\sqrt{16}$的平方根本质是求4的平方根，有两个互为相反数的结果，再分两种情况代入$a+b-c$计算，避免漏解。
【解析】
(1) 分步化简各项：
$\sqrt[3]{-8}=-2$，
因为$\sqrt{10}＞3$，所以$|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3$，
$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$，
$\sqrt{0.25}=0.5=\frac{1}{2}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-2 + (\sqrt{10}-3) + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\\&=-2 + \sqrt{10} -3 + 1\\&=\sqrt{10}-4\end{aligned}$
(2) 先求解a、b、c的值：
∵ $\sqrt{16}=4$，a是4的平方根，
∴ $a=\pm2$，
$b=\sqrt{9}=3$，
∵ c是-8的立方根，
∴ $c=\sqrt[3]{-8}=-2$，
分情况代入计算：
当$a=2$时，$a+b-c=2+3-(-2)=7$；
当$a=-2$时，$a+b-c=-2+3-(-2)=3$。
【答案】
(1) $\sqrt{10}-4$；
(2) 7或3
【知识点】
实数的运算，平方根与立方根，绝对值化简
【点评】
本题属于实数模块的基础题，重点考查对平方根、立方根、绝对值等概念的理解和运算能力，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏解，运算过程中注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
