登录
19.【阅读材料】
先来看一个有趣的现象：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^2× 2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，经过运算，这个根号里的2竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这种现象的数还有许多，例如，$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$等.
【猜想】
(1)$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=$
【推理证明】
(2)请你用一个正整数$n$($n$为“穿墙”数，$n≥2$)表示含有上述规律的等式，并给出证明；
【创新应用】
(3)按此规律，若$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$($a,b$为正整数)，则$a+b$的值为
假期作业 4
年月日 星期
先来看一个有趣的现象：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^2× 2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，经过运算，这个根号里的2竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这种现象的数还有许多，例如，$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$等.
【猜想】
(1)$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=$
$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
，并证明你的猜想；【推理证明】
(2)请你用一个正整数$n$($n$为“穿墙”数，$n≥2$)表示含有上述规律的等式，并给出证明；
【创新应用】
(3)按此规律，若$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$($a,b$为正整数)，则$a+b$的值为
71
.假期作业 4
年月日 星期
答案
(1)$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
(2)解:$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}.$证明如下:
$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2· n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}.$
(3)71
(2)解:$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}.$证明如下:
$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2· n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}.$
(3)71
解析
【分析】
首先观察题目给出的“穿墙”现象示例，可总结出规律：根号内带分数的整数部分和分数部分的分子相同，分母为整数部分的平方减1，化简后结果等于整数部分乘根号下该分数部分。(1)可直接根据规律猜想结果，再通过将带分数化为假分数，结合二次根式性质$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$证明；(2)用正整数$n$表示带分数的整数部分，按照规律写出通用等式，再通过通分化简二次根式完成证明；(3)对比通用规律确定$a$的值，再根据分母与$a$的关系求出$b$，最后计算$a+b$即可。
【解析】
(1) 猜想$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，证明如下：
左边$=\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{5×24+5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}=$右边，猜想成立。
(2) 规律等式为$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2,n为正整数)$，证明如下：
左边$=\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2· n}{n^2-1}}$，
因为$n≥2$是正整数，所以$n＞0$，根据二次根式的性质可得：上式$=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=$右边，等式成立。
(3) 结合上述规律，$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$中分数部分的分子为8，可得$a=8$，分母$b=a^2-1=8^2-1=63$，因此$a+b=8+63=71$。
【答案】
(1)$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
(2)$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2,n为正整数)$，证明见解析
(3)71
【知识点】
二次根式的化简，数字规律探究，带分数运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，结合二次根式的运算考查学生的观察归纳和逻辑推理能力，需要先从示例中提炼共性特征，再将规律推广到一般情况，最后应用规律解决具体问题，能有效锻炼学生的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的“穿墙”现象示例，可总结出规律：根号内带分数的整数部分和分数部分的分子相同，分母为整数部分的平方减1，化简后结果等于整数部分乘根号下该分数部分。(1)可直接根据规律猜想结果，再通过将带分数化为假分数，结合二次根式性质$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$证明；(2)用正整数$n$表示带分数的整数部分，按照规律写出通用等式，再通过通分化简二次根式完成证明；(3)对比通用规律确定$a$的值，再根据分母与$a$的关系求出$b$，最后计算$a+b$即可。
【解析】
(1) 猜想$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，证明如下：
左边$=\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{5×24+5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}=$右边，猜想成立。
(2) 规律等式为$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2,n为正整数)$，证明如下：
左边$=\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2· n}{n^2-1}}$，
因为$n≥2$是正整数，所以$n＞0$，根据二次根式的性质可得：上式$=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=$右边，等式成立。
(3) 结合上述规律，$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$中分数部分的分子为8，可得$a=8$，分母$b=a^2-1=8^2-1=63$，因此$a+b=8+63=71$。
【答案】
(1)$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
(2)$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2,n为正整数)$，证明见解析
(3)71
【知识点】
二次根式的化简，数字规律探究，带分数运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，结合二次根式的运算考查学生的观察归纳和逻辑推理能力，需要先从示例中提炼共性特征，再将规律推广到一般情况，最后应用规律解决具体问题，能有效锻炼学生的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
