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9. 如图2(a)所示，弹簧测力计下面挂一实心圆柱体，将圆柱体从盛有水的容器上方离水面某一高度处缓缓下降(其底面始终与水面平行)，使其缓缓浸没于水中某一深度处。图2(b)是整个过程中弹簧测力计的示数$F$与圆柱体下降高度$h$变化关系的数据图像(容器厚度不计，$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$)。问：
(1) 圆柱体浸没时受到的浮力为多少？
(2) 圆柱体的密度为多少？
(3) 圆柱体在刚浸没时下表面受到的水的压强为多少？
(4) 若盛水容器的底面积为$100\ \mathrm{cm}^2$，当圆柱体完全浸没时与圆柱体未浸入水前相比较，水对容器底部产生的压强增加了多少？
(1) 圆柱体浸没时受到的浮力为多少？
(2) 圆柱体的密度为多少？
(3) 圆柱体在刚浸没时下表面受到的水的压强为多少？
(4) 若盛水容器的底面积为$100\ \mathrm{cm}^2$，当圆柱体完全浸没时与圆柱体未浸入水前相比较，水对容器底部产生的压强增加了多少？
答案
(1) 8 N (2) 1.5×10³ kg/m³ (3) 400 Pa (4) 800 Pa
解析
【分析】
首先解读图(b)的物理意义：当h≤3cm时，圆柱体未浸入水中，弹簧测力计示数等于圆柱体重力，即G=12N；当3cm＜h＜7cm时，圆柱体逐渐浸入水中，排开水的体积增大，浮力增大，弹簧测力计示数减小；当h≥7cm时，圆柱体完全浸没，排开水的体积不变，浮力不变，弹簧测力计示数稳定为4N。据此可依次求解各问题：
(1) 利用称重法计算浸没时的浮力；
(2) 由浮力公式求出圆柱体体积，结合重力求出质量，进而计算密度；
(3) 确定圆柱体刚浸没时下表面的深度，利用液体压强公式计算；
(4) 先求排开水的体积，再算水面上升高度，最后求容器底增加的压强。
【解析】
(1) 由图(b)可知，圆柱体的重力$G=12\ \mathrm{N}$，完全浸没时弹簧测力计的示数$F=4\ \mathrm{N}$，根据称重法，圆柱体浸没时受到的浮力：
$F_{\mathrm{浮}} = G - F = 12\ \mathrm{N} - 4\ \mathrm{N} = 8\ \mathrm{N}$；
(2) 圆柱体完全浸没时，排开水的体积等于自身体积，由$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}$得：
$V = V_{\mathrm{排}} = \frac{F_{\mathrm{浮}}}{\rho_{\mathrm{水}}g} = \frac{8\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3} ×10\ \mathrm{N/kg}} = 8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$；
圆柱体的质量$m = \frac{G}{g} = \frac{12\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 1.2\ \mathrm{kg}$；
则圆柱体的密度：
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{1.2\ \mathrm{kg}}{8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}} = 1.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；
(3) 由图(b)可知，圆柱体从刚接触水面到完全浸没时，下降的高度为$7\ \mathrm{cm} - 3\ \mathrm{cm}=4\ \mathrm{cm}$，即圆柱体刚浸没时下表面所处的深度$h=4\ \mathrm{cm}=0.04\ \mathrm{m}$，根据液体压强公式，下表面受到的水的压强：
$p=\rho_{\mathrm{水}}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3} ×10\ \mathrm{N/kg} ×0.04\ \mathrm{m}=400\ \mathrm{Pa}$；
(4) 圆柱体完全浸没时排开水的体积$V_{\mathrm{排}}=8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}=800\ \mathrm{cm^3}$，容器底面积$S=100\ \mathrm{cm^2}$，水面上升的高度：
$\Delta h=\frac{V_{\mathrm{排}}}{S}=\frac{800\ \mathrm{cm^3}}{100\ \mathrm{cm^2}}=8\ \mathrm{cm}=0.08\ \mathrm{m}$；
水对容器底部增加的压强：
$\Delta p=\rho_{\mathrm{水}}g\Delta h=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3} ×10\ \mathrm{N/kg} ×0.08\ \mathrm{m}=800\ \mathrm{Pa}$；
【答案】
(1) $8\ \mathrm{N}$；(2) $1.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；(3) $400\ \mathrm{Pa}$；(4) $800\ \mathrm{Pa}$
【知识点】
浮力计算、密度计算、液体压强计算
【点评】
本题结合图像考查浮力、密度、液体压强的综合应用，关键是从图像中提取有效信息，明确各阶段对应的物理过程，掌握称重法求浮力、阿基米德原理、密度公式及液体压强公式的应用，是力学综合的典型题型。
【难度系数】
0.3
首先解读图(b)的物理意义：当h≤3cm时，圆柱体未浸入水中，弹簧测力计示数等于圆柱体重力，即G=12N；当3cm＜h＜7cm时，圆柱体逐渐浸入水中，排开水的体积增大，浮力增大，弹簧测力计示数减小；当h≥7cm时，圆柱体完全浸没，排开水的体积不变，浮力不变，弹簧测力计示数稳定为4N。据此可依次求解各问题：
(1) 利用称重法计算浸没时的浮力；
(2) 由浮力公式求出圆柱体体积，结合重力求出质量，进而计算密度；
(3) 确定圆柱体刚浸没时下表面的深度，利用液体压强公式计算；
(4) 先求排开水的体积，再算水面上升高度，最后求容器底增加的压强。
【解析】
(1) 由图(b)可知，圆柱体的重力$G=12\ \mathrm{N}$，完全浸没时弹簧测力计的示数$F=4\ \mathrm{N}$，根据称重法，圆柱体浸没时受到的浮力：
$F_{\mathrm{浮}} = G - F = 12\ \mathrm{N} - 4\ \mathrm{N} = 8\ \mathrm{N}$；
(2) 圆柱体完全浸没时，排开水的体积等于自身体积，由$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}$得：
$V = V_{\mathrm{排}} = \frac{F_{\mathrm{浮}}}{\rho_{\mathrm{水}}g} = \frac{8\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3} ×10\ \mathrm{N/kg}} = 8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$；
圆柱体的质量$m = \frac{G}{g} = \frac{12\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 1.2\ \mathrm{kg}$；
则圆柱体的密度：
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{1.2\ \mathrm{kg}}{8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}} = 1.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；
(3) 由图(b)可知，圆柱体从刚接触水面到完全浸没时，下降的高度为$7\ \mathrm{cm} - 3\ \mathrm{cm}=4\ \mathrm{cm}$，即圆柱体刚浸没时下表面所处的深度$h=4\ \mathrm{cm}=0.04\ \mathrm{m}$，根据液体压强公式，下表面受到的水的压强：
$p=\rho_{\mathrm{水}}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3} ×10\ \mathrm{N/kg} ×0.04\ \mathrm{m}=400\ \mathrm{Pa}$；
(4) 圆柱体完全浸没时排开水的体积$V_{\mathrm{排}}=8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}=800\ \mathrm{cm^3}$，容器底面积$S=100\ \mathrm{cm^2}$，水面上升的高度：
$\Delta h=\frac{V_{\mathrm{排}}}{S}=\frac{800\ \mathrm{cm^3}}{100\ \mathrm{cm^2}}=8\ \mathrm{cm}=0.08\ \mathrm{m}$；
水对容器底部增加的压强：
$\Delta p=\rho_{\mathrm{水}}g\Delta h=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3} ×10\ \mathrm{N/kg} ×0.08\ \mathrm{m}=800\ \mathrm{Pa}$；
【答案】
(1) $8\ \mathrm{N}$；(2) $1.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；(3) $400\ \mathrm{Pa}$；(4) $800\ \mathrm{Pa}$
【知识点】
浮力计算、密度计算、液体压强计算
【点评】
本题结合图像考查浮力、密度、液体压强的综合应用，关键是从图像中提取有效信息，明确各阶段对应的物理过程，掌握称重法求浮力、阿基米德原理、密度公式及液体压强公式的应用，是力学综合的典型题型。
【难度系数】
0.3
10. 在一个大的玻璃杯中装有水和一块冰块，此时杯中的水恰好不外溢。现要求证明：当冰块完全熔化为水后，杯中的水仍恰好不外溢。（提示：设冰块的体积为$V$，其中浸没在水中的体积为$V_1$，水和冰的密度分别用$\rho_{\mathrm{水}}$和$\rho_{\mathrm{冰}}$表示）
答案
由阿基米德原理，得$\rho_{\mathrm{水}} g V_1 =\rho_{\mathrm{冰}} g V$(①)，当冰块完全熔化为水时，对应的水的体积为$V'$，且$V'=\dfrac{\rho_{\mathrm{冰}} V}{\rho_{\mathrm{水}}}$(②)，比较①和②，发现$V_1 = V'$，即得证
解析
【分析】
要证明冰块完全熔化后水不外溢，需结合漂浮条件、阿基米德原理和质量不变的特点，比较冰排开水的体积与冰熔化成水的体积是否相等。首先，冰块漂浮时浮力等于自身重力，利用阿基米德原理可得到冰排开水的体积；再根据冰熔化后质量不变，由密度公式求出熔化后水的体积，若两者体积相等，则水面高度不变，原不外溢的状态保持。
【解析】
1. 冰块漂浮在水面上，根据物体漂浮条件：浮力等于重力，即 $ F_{\mathrm{浮}} = G_{\mathrm{冰}} $。
2. 根据阿基米德原理，浮力等于排开液体的重力，即 $ F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{水}} g V_1 $（$ V_1 $ 为冰块浸没在水中的体积，即排开水的体积）；冰块的重力 $ G_{\mathrm{冰}} = \rho_{\mathrm{冰}} g V $（$ V $ 为冰块体积）。
3. 联立两式得：$ \rho_{\mathrm{水}} g V_1 = \rho_{\mathrm{冰}} g V $，约去 $ g $ 后解得 $ V_1 = \frac{\rho_{\mathrm{冰}} V}{\rho_{\mathrm{水}}} $。
4. 冰块完全熔化为水时质量不变，即 $ m_{\mathrm{冰}} = m_{\mathrm{水}} $。由密度公式 $ m = \rho V $，得 $ \rho_{\mathrm{冰}} V = \rho_{\mathrm{水}} V' $（$ V' $ 为熔化后水的体积），解得 $ V' = \frac{\rho_{\mathrm{冰}} V}{\rho_{\mathrm{水}}} $。
5. 比较得 $ V_1 = V' $，即冰块排开水的体积等于熔化后水的体积，因此水面高度不变，原恰好不外溢的状态保持，得证。
【答案】
冰块完全熔化为水后，杯中的水仍恰好不外溢，证明过程如上。
【知识点】
阿基米德原理；物体漂浮条件；密度公式
【点评】
本题是浮力与密度结合的经典证明题，核心是利用漂浮条件和阿基米德原理建立体积关系，关键在于理解冰熔化前后质量不变，通过推导比较排开体积与熔化水体积的关系，注重基础知识点的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
要证明冰块完全熔化后水不外溢，需结合漂浮条件、阿基米德原理和质量不变的特点，比较冰排开水的体积与冰熔化成水的体积是否相等。首先，冰块漂浮时浮力等于自身重力，利用阿基米德原理可得到冰排开水的体积；再根据冰熔化后质量不变，由密度公式求出熔化后水的体积，若两者体积相等，则水面高度不变，原不外溢的状态保持。
【解析】
1. 冰块漂浮在水面上，根据物体漂浮条件：浮力等于重力，即 $ F_{\mathrm{浮}} = G_{\mathrm{冰}} $。
2. 根据阿基米德原理，浮力等于排开液体的重力，即 $ F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{水}} g V_1 $（$ V_1 $ 为冰块浸没在水中的体积，即排开水的体积）；冰块的重力 $ G_{\mathrm{冰}} = \rho_{\mathrm{冰}} g V $（$ V $ 为冰块体积）。
3. 联立两式得：$ \rho_{\mathrm{水}} g V_1 = \rho_{\mathrm{冰}} g V $，约去 $ g $ 后解得 $ V_1 = \frac{\rho_{\mathrm{冰}} V}{\rho_{\mathrm{水}}} $。
4. 冰块完全熔化为水时质量不变，即 $ m_{\mathrm{冰}} = m_{\mathrm{水}} $。由密度公式 $ m = \rho V $，得 $ \rho_{\mathrm{冰}} V = \rho_{\mathrm{水}} V' $（$ V' $ 为熔化后水的体积），解得 $ V' = \frac{\rho_{\mathrm{冰}} V}{\rho_{\mathrm{水}}} $。
5. 比较得 $ V_1 = V' $，即冰块排开水的体积等于熔化后水的体积，因此水面高度不变，原恰好不外溢的状态保持，得证。
【答案】
冰块完全熔化为水后，杯中的水仍恰好不外溢，证明过程如上。
【知识点】
阿基米德原理；物体漂浮条件；密度公式
【点评】
本题是浮力与密度结合的经典证明题，核心是利用漂浮条件和阿基米德原理建立体积关系，关键在于理解冰熔化前后质量不变，通过推导比较排开体积与熔化水体积的关系，注重基础知识点的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
