12. 若三边均不相等的三角形三边 $a,b,c$ 满足 $a-b＞b-c$（$a$ 为最长边，$c$ 为最短边），则称它为“不均衡三角形”.例如，一个三角形的三边长分别为7,5,4，因为 $7-5＞5-4$，所以这个三角形为不均衡三角形.
(1)以下3组长度的小木棍能组成不均衡三角形的为.（填序号）
①4 cm,2 cm,1 cm；
②18 cm,13 cm,9 cm；
③9 cm,8 cm,6 cm.
(2)已知某不均衡三角形的三边长分别为 $2x+2,16,2x-6$（$x$ 为整数），求 $x$ 的值.

12.解:(1)②
(2)①当$16＞2x+2$,即$x＜7$时,$16-(2x+2)＞2x+2-(2x-6)$,解得$x＜3$.由$2x-6＞0$,得$x＞3$,两者矛盾,舍去.②当$2x+2＞16＞2x-6$,即$7＜x＜11$时,$2x+2-16＞16-(2x-6)$,解得$x＞9$,$\therefore 9＜x＜11$,$x$为整数,$\therefore$当$x=10$时,22,16,14可构成三角形,满足条件.③当$2x-6＞16$,即$x＞11$时,$2x+2-(2x-6)＞2x-6-16$,解得$x＜15$,$\therefore 11＜x＜15$,$x$为整数,$\therefore$当$x=12$或$x=13$或$x=14$时,都可以构成三角形,满足条件.综上所述,$x$的值为10或12或13或14.

【分析】
(1) 第一问解题分两步：第一步先验证各组长度是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），排除不能构成三角形的组；第二步对能构成三角形的组，按“不均衡三角形”定义，计算最长边减中间边的差、中间边减最短边的差，比较两个差的大小即可判断。
(2) 第二问需同时满足两个条件：①三边可构成三角形（边长为正、两边之和大于第三边、三边互不相等）；②满足“最长边-中间边＞中间边-最短边”的定义。由于未明确三个边长的大小关系，需分三种情况讨论最长边的归属，分别列不等式组求解，再结合x为整数的条件筛选符合要求的解。
【解析】
(1) 逐一分析三组：
① 4cm,2cm,1cm：
∵1+2=3＜4，不能构成三角形，排除；
② 18cm,13cm,9cm：
∵9+13=22＞18，可构成三角形，最长边为18，中间边为13，最短边为9，计算得$18-13=5$，$13-9=4$，$5＞4$，满足不均衡三角形定义，符合要求；
③ 9cm,8cm,6cm：
∵6+8=14＞9，可构成三角形，最长边为9，中间边为8，最短边为6，计算得$9-8=1$，$8-6=2$，$1＜2$，不满足定义，排除。
故第一问填$\boldsymbol{②}$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当16为最长边，即$16＞2x+2$，解得$x＜7$时，根据定义列不等式：
$16-(2x+2) ＞ (2x+2)-(2x-6)$
化简得$14-2x＞8$，解得$x＜3$；
又边长为正，$2x-6＞0$，解得$x＞3$，两者矛盾，此情况舍去。
② 当$2x+2$为最长边，16为中间边，即$\begin{cases}2x+2＞16 \\16＞2x-6 \end{cases}$，解得$7＜x＜11$，根据定义列不等式：
$(2x+2)-16 ＞ 16-(2x-6)$
化简得$2x-14＞22-2x$，解得$x＞9$；
结合$7＜x＜11$得$9＜x＜11$，x为整数，故$x=10$，验证三边22、16、14可构成三角形，符合要求。
③ 当$2x+2$为最长边，$2x-6$为中间边，16为最短边，即$2x-6＞16$，解得$x＞11$，根据定义列不等式：
$(2x+2)-(2x-6) ＞ (2x-6)-16$
化简得$8＞2x-22$，解得$x＜15$；
结合$x＞11$得$11＜x＜15$，x为整数，故$x=12、13、14$，分别验证三组边长均可构成三角形，符合要求。
综上，x的取值为10、12、13、14。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$；(2) $\boldsymbol{x=10}$或$\boldsymbol{12}$或$\boldsymbol{13}$或$\boldsymbol{14}$
【知识点】
三角形三边关系，一元一次不等式组应用，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查三角形性质与不等式的综合应用，解题时需注意新定义的前提是三边可构成三角形，分类讨论时要根据边长大小关系做到不重不漏，最终需对求出的解进行合理性验证。
【难度系数】
0.6

13. [新课标·探究题]在$△ ABC$中，$∠ C＞∠ B$，$AE$平分$∠ BAC$，$F$为射线$AE$上一点(不与点$E$重合)，且$FD⊥ BC$于点$D$.
(1)如果点$F$与点$A$重合，且$∠ C=50°$，$∠ B=30°$，如图1，那么$∠ EFD$的度数为________.
(2)若点$F$在线段$AE$上(不与点$A$重合)，如图2，求证：$∠ EFD=\dfrac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.
(3)若点$F$在$△ ABC$外部，如图3，此时$∠ EFD$与$∠ C-∠ B$的数量关系是否发生变化？请说明理由.

13.解:(1)$10°$
(2)证明:$\because ∠BAC=180°-(∠C+∠B)$,$AE$平分$∠BAC$,$\therefore ∠BAE=90°-\dfrac{1}{2}(∠C+∠B)$,$\therefore ∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+90°-\dfrac{1}{2}(∠C+∠B)=90°+\dfrac{1}{2}(∠B-∠C)$,$\therefore ∠EFD=90°-∠AEC=\dfrac{1}{2}(∠C-∠B)$.
(3)此时$∠EFD$与$∠C-∠B$的数量关系没有发生变化.理由略.

【分析】
(1) 第一问求∠EFD的度数，此时F与A重合，即求∠EAD的度数。先利用三角形内角和算出∠BAC，再根据角平分线定义求出∠CAE，结合AD⊥BC算出∠CAD，两者作差即可得到结果。
(2) 第二问要证明∠EFD=½(∠C-∠B)，先由三角形内角和表示出∠BAC，利用角平分线得到∠BAE的表达式，再通过三角形外角的性质得到∠AEC与∠B、∠BAE的关系，最后结合FD⊥BC、直角三角形两锐角互余的性质，代入化简即可完成证明。
(3) 第三问判断数量关系是否变化，可利用对顶角相等将∠DEF转化为∠AEC，沿用第二问的推导思路，即可得出∠EFD的表达式，判断数量关系是否改变。
【解析】
(1) 在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-50°=100°$，
∵AE平分$∠ BAC$，
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=50°$，
∵$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADC=90°$，$∠ CAD=90°-∠ C=90°-50°=40°$，
∴$∠ EFD=∠ CAE-∠ CAD=50°-40°=10°$。
(2) 证明：
∵在△ABC中，$∠ BAC=180°-(∠ B+∠ C)$，AE平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)$，
∵$∠ AEC$是△ABE的外角，
∴$∠ AEC=∠ B+∠ BAE=∠ B+90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)=90°+\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$，
∵$FD⊥ BC$，
∴$∠ FDE=90°$，在$Rt△ EFD$中，
$∠ EFD=90°-∠ AEC=90°-[90°+\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)]=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，得证。
(3) 解：$∠ EFD$与$∠ C-∠ B$的数量关系没有发生变化，仍为$∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
理由：
∵$∠ AEC$与$∠ DEF$是对顶角，
∴$∠ DEF=∠ AEC$，由(2)可知$∠ AEC=90°+\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$，
∵$FD⊥ BC$，
∴$∠ FDE=90°$，
∴$∠ EFD=90°-∠ DEF=90°-∠ AEC=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，故数量关系不变。
【答案】
(1) $10°$
(2) 证明成立，$∠ EFD=\dfrac{1}{2}(∠ C-∠ B)$
(3) 数量关系没有变化，仍有$∠ EFD=\dfrac{1}{2}(∠ C-∠ B)$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度关系的探究类题目，从特殊情形到一般情形逐步设问，需要灵活运用三角形相关的角度性质进行推导，能够有效锻炼逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.65