7. 如图，$∠ CBE$ 和 $∠ BCF$ 是 $△ ABC$ 的两个外角. 若 $∠ A=54°$，求 $∠ CBE+∠ BCF$ 的度数.

7.解:$\because ∠CBE+∠BCF=(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC)=180°+∠A=234°,\therefore ∠CBE+∠BCF$ 的度数为234°.

【分析】
要计算两个外角的和，首先利用三角形外角的性质，将两个外角分别用三角形的内角表示，再结合三角形内角和为180°的定理，代入已知的∠A的度数即可求出结果。思考步骤如下：第一步回忆三角形外角和内角的关系，第二步把两个外角相加后整理式子，第三步代入三角形内角和与已知角度计算。
【解析】
解：根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ CBE = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ BCF = ∠ A + ∠ ABC$
两式相加得：
$∠ CBE + ∠ BCF = (∠ A + ∠ ACB) + (∠ A + ∠ ABC)$
整理得：$∠ CBE + ∠ BCF = (∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB) + ∠ A$
∵在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，且$∠ A = 54°$
∴代入得：$∠ CBE + ∠ BCF = 180° + 54° = 234°$
【答案】
$234°$
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，核心是掌握三角形外角和内角的转化关系，结合内角和定理就能快速解题，是对三角形基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在$△ ABC$中,AD 是高,AE 是角平分线,AF 是中线,则下列说法错误的是 （）


A.$BF=CF$
B.$∠ C+∠ CAD=90°$
C.$∠ BAF=∠ CAF$
D.$S_{△ ABC}=2S_{△ ABF}$

8.C

【分析】
解题时先回忆三角形的高、角平分线、中线的定义及对应性质，再逐个验证选项的正误即可。首先明确：①中线的作用是平分对边，且将三角形分成面积相等的两部分；②高与对边垂直，因此高和对边构成的直角三角形中两锐角互余；③只有角平分线具备平分对应内角的性质，中线和高没有该性质，根据以上特征逐一判断选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 已知AF是△ABC的中线，根据中线定义，F是BC的中点，因此$BF=CF$，该说法正确，不符合题意；
B. 已知AD是△ABC的高，因此$AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$，在$Rt△ ADC$中两锐角互余，可得$∠ C+∠ CAD=90°$，该说法正确，不符合题意；
C. 只有三角形的角平分线能平分对应内角，本题中AE是角平分线，AF是中线，不具备平分$∠ BAC$的性质，因此$∠ BAF=∠ CAF$不一定成立，该说法错误，符合题意；
D. 由AF是中线可得$BF=CF$，$△ ABF$和$△ ACF$等底同高，因此$S_{△ ABF}=S_{△ ACF}$，可得$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ ACF}=2S_{△ ABF}$，该说法正确，不符合题意。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【点评】
本题是基础概念考查题，重点是区分三角形三类重要线段的性质，只要准确记忆不同线段的定义和特征，即可快速完成判断。
【难度系数】
0.8

9. 如图,在三角形纸片 $ ABC $ 中,$ ∠ A = 75° $,$ ∠ B = 65° $. 将纸片的一角折叠,使点 $ C $ 落在 $ △ ABC $ 内.若 $ ∠ 1 = 20° $,则 $ ∠ 2 $ 的度数为 ______.

9.$60°$

【分析】
解题思路：首先利用三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据折叠前后对应角相等的性质，结合平角为180°的特点，构建关于∠1和∠2的关系式，代入已知角度即可求出∠2的度数。解题步骤依次为：计算∠C的度数、利用折叠性质找角的等量关系、列等式求解。
【解析】
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-75°-65°=40°$。
设折叠后点$C$的对应点为$C'$，由折叠的性质得：$∠ C'DE=∠ CDE$，$∠ C'ED=∠ CED$。
在$△ CDE$中，$∠ CDE+∠ CED=180°-∠ C=180°-40°=140°$。
根据平角的定义可得：
$∠1+2∠ CED=180°$，
$∠2+2∠ CDE=180°$，
将两式相加得：
$∠1+∠2+2(∠ CED+∠ CDE)=360°$，
把$∠1=20°$，$∠ CED+∠ CDE=140°$代入上式：
$20°+∠2+2×140°=360°$，
解得$∠2=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规综合题，核心是抓住折叠前后角的等量关系，结合三角形内角和、平角性质即可求解，解题时要注意理清折叠后各个角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

10.已知$a,b,c$是$△ ABC$的三条边,对应的高分别为$h_a,h_b,h_c$,且$a:b:c=4:5:6$,那么$h_a: h_b: h_c=\_\_\_\_\_\_.$

10.$15:12:10$

【分析】
解题时首先利用三角形面积的不变性：同一个三角形的面积是固定值，由三角形面积公式可知，三角形任意一边与对应高的乘积都等于2倍的三角形面积，即底和对应高成反比。已知三边的比例，我们可以将高的比转化为对应边长倒数的比，再化简得到最终结果。
【解析】
设$△ ABC$的面积为$S$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×对应高$，可得：
$S=\frac{1}{2}a h_a=\frac{1}{2}b h_b=\frac{1}{2}c h_c$
变形得：$h_a=\frac{2S}{a}$，$h_b=\frac{2S}{b}$，$h_c=\frac{2S}{c}$
因此高的比为：
$h_a:h_b:h_c=\frac{2S}{a}:\frac{2S}{b}:\frac{2S}{c}=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$
已知$a:b:c=4:5:6$，设$a=4k$，$b=5k$，$c=6k$（$k＞0$），代入得：
$h_a:h_b:h_c=\frac{1}{4k}:\frac{1}{5k}:\frac{1}{6k}=\frac{1}{4}:\frac{1}{5}:\frac{1}{6}$
对分数比进行化简，取分母4、5、6的最小公倍数60，各项同乘60得：
$\frac{1}{4}×60:\frac{1}{5}×60:\frac{1}{6}×60=15:12:10$
【答案】
$15:12:10$
【知识点】
三角形面积公式，比例的化简
【点评】
本题核心是利用三角形面积的不变性建立边和对应高的关系，解题时要注意底和对应高成反比，避免直接将边的比当作高的比，化简分数比例时注意找对分母的最小公倍数，减少计算错误。
【难度系数】
0.7

11. 如图,直线 EF 分别交直线 AB,CD 于点 M,N,AB//CD,有下列信息:
①MG 平分∠EMB；
②NH 平分∠CNF；
③MG//NH.
从中选择两个作为补充条件,剩下的作为结论组成一个真命题,并加以证明.
你选择作为补充条件,作为结论.(填序号)

11.解:①②;③ 证明略.(答案不唯一)

【分析】
本题是开放性证明题，我们可以选择①②作为条件，推导结论③。解题思路如下：首先利用平行线AB//CD的性质得到同位角相等，结合对顶角相等推出∠EMB与∠CNF相等，再根据角平分线的定义得到一组内错角相等，最后利用内错角相等、两直线平行即可证明MG//NH。也可选择其他两组组合，推导逻辑类似。
【解析】
示例：选择①②作为补充条件，③作为结论，证明如下：
∵AB//CD，
∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠END=∠CNF（对顶角相等），
∴∠EMB=∠CNF。
∵MG平分∠EMB，
∴∠EMG=$\frac{1}{2}$∠EMB（角平分线的定义），
∵NH平分∠CNF，
∴∠HNF=$\frac{1}{2}$∠CNF（角平分线的定义），
∴∠EMG=∠HNF。
∵EF为直线，
∴∠EMG+∠GMN=180°，∠HNF+∠HNM=180°（平角的定义），
∴∠GMN=∠HNM（等角的补角相等），
∴MG//NH（内错角相等，两直线平行）。
（注：选择①③为条件、②为结论，或选择②③为条件、①为结论也可，证明过程类似）
【答案】
①②；③（答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题属于开放性命题类题目，主要考查几何基础推理能力，解题的核心是熟练掌握平行线、角平分线、对顶角的相关性质，做好角的等量代换，推导过程要保证每一步都有定理依据，逻辑清晰严谨。
【难度系数】
0.7