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1.关于下图中自左向右的两个变形,说法正确的是()
A.甲是整式的乘法,乙是因式分解
B.甲是因式分解,乙是整式的乘法
C.甲、乙均是因式分解
D.甲、乙均不是因式分解
A.甲是整式的乘法,乙是因式分解
B.甲是因式分解,乙是整式的乘法
C.甲、乙均是因式分解
D.甲、乙均不是因式分解
答案
D
解析
根据相关定义：整式乘法是将几个整式的乘积转化为多项式和的形式，因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式。甲的变形是把整式乘积$4x^3(x^2+y)$展开为多项式$4x^5+4x^3y$，属于整式乘法，不是因式分解；乙的变形结果$4x(x-2)+4$是和的形式，没有化为几个整式的积，不属于因式分解。因此甲、乙均不是因式分解。
2. 在因式分解关于 $ x $ 的多项式 $ x^2 + ax + b $ 时，若其中一个因式为 $ x - 3 $，另一个因式为 $ x + 2 $，则 $ \dfrac{b}{2a} = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
3
解析
根据题意可知，多项式$x^2 + ax + b = (x-3)(x+2)$，先将右侧展开计算：
$(x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x -6 = x^2 -x -6$
对比左右两侧多项式的对应系数，可得$a=-1$，$b=-6$。
将$a$、$b$代入$\dfrac{b}{2a}$计算：
$\dfrac{b}{2a} = \dfrac{-6}{2×(-1)} = \dfrac{-6}{-2} = 3$
$(x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x -6 = x^2 -x -6$
对比左右两侧多项式的对应系数，可得$a=-1$，$b=-6$。
将$a$、$b$代入$\dfrac{b}{2a}$计算：
$\dfrac{b}{2a} = \dfrac{-6}{2×(-1)} = \dfrac{-6}{-2} = 3$
3.定义:如果一个正整数能表示成两个正整数m,n的平方差,且m-n＞1,那么称这个正整数为“智慧优数”。例如:16=5²-3²,16就是一个智慧优数,可以利用m²-n²=(m+n)(m-n)进行研究。若将智慧优数从小到大进行排列,则第5个智慧优数是。
答案
20
解析
根据题中“智慧优数”的定义，设正整数x为智慧优数，则满足：
$x=m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，其中m、n均为正整数，且$m-n＞1$。
由平方差性质可知：$m+n$与$m-n$的奇偶性相同，且$m+n＞m-n\ge2$。
1. 当$m-n=2$时，$m+n$为偶数，要保证n为正整数，可得符合条件的x依次为8、12、16、20……
2. 当$m-n=3$时，$m+n$为奇数，要保证n为正整数，可得符合条件的x依次为15、21……
将所有符合条件的智慧优数从小到大排列：8，12，15，16，20……，因此第5个智慧优数是20。
$x=m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，其中m、n均为正整数，且$m-n＞1$。
由平方差性质可知：$m+n$与$m-n$的奇偶性相同，且$m+n＞m-n\ge2$。
1. 当$m-n=2$时，$m+n$为偶数，要保证n为正整数，可得符合条件的x依次为8、12、16、20……
2. 当$m-n=3$时，$m+n$为奇数，要保证n为正整数，可得符合条件的x依次为15、21……
将所有符合条件的智慧优数从小到大排列：8，12，15，16，20……，因此第5个智慧优数是20。
4.如图,将四个图形拼成一个大长方形,并据此写出一个多项式的因式分解:。
答案
$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$
解析
首先分别计算四个小图形的面积：
1. 第一个边长为x的正方形面积为$x^2$；
2. 第二个长为x、宽为1的长方形面积为$x×1=x$；
3. 第三个长为2、宽为x的长方形面积为$2× x=2x$；
4. 第四个长为2、宽为1的长方形面积为$2×1=2$。
四个图形的总面积为$x^2 + x + 2x + 2 = x^2+3x+2$。将四个图形拼接为大长方形后，大长方形的长为$x+2$，宽为$x+1$，其面积可表示为$(x+1)(x+2)$，根据拼接前后总面积相等，即可得到对应的因式分解结果。
1. 第一个边长为x的正方形面积为$x^2$；
2. 第二个长为x、宽为1的长方形面积为$x×1=x$；
3. 第三个长为2、宽为x的长方形面积为$2× x=2x$；
4. 第四个长为2、宽为1的长方形面积为$2×1=2$。
四个图形的总面积为$x^2 + x + 2x + 2 = x^2+3x+2$。将四个图形拼接为大长方形后，大长方形的长为$x+2$，宽为$x+1$，其面积可表示为$(x+1)(x+2)$，根据拼接前后总面积相等，即可得到对应的因式分解结果。
5. 已知$x+y=4$，$x^2+y^2=14$，求$x^3y-2x^2y^2+xy^3$的值。
答案
12
解析
首先利用完全平方公式$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，将已知条件$x+y=4$，$x^2+y^2=14$代入，得$4^2 = 14 + 2xy$，计算可得$16=14+2xy$，解得$xy=1$。
接下来对所求多项式因式分解：
$\begin{aligned}x^3y - 2x^2y^2 + xy^3&=xy(x^2 - 2xy + y^2)\\&=xy[(x^2 + y^2) - 2xy]\end{aligned}$
将$xy=1$、$x^2+y^2=14$代入上式，得原式$=1×(14 - 2×1)=12$。
接下来对所求多项式因式分解：
$\begin{aligned}x^3y - 2x^2y^2 + xy^3&=xy(x^2 - 2xy + y^2)\\&=xy[(x^2 + y^2) - 2xy]\end{aligned}$
将$xy=1$、$x^2+y^2=14$代入上式，得原式$=1×(14 - 2×1)=12$。
6.已知三角形的三边长分别是$a,b,c$，且满足$2a^2 + b^2 + c^2 = 2a(b + c)$，试判断这个三角形的形状，并说明理由。
答案
这个三角形是等边三角形。
解析
我们通过对给定等式变形，结合完全平方公式和非负数的性质推导三边关系：
1. 对原式移项整理：
已知$2a^2 + b^2 + c^2 = 2a(b + c)$，展开右侧并移项得：
$2a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac = 0$
2. 拆分$2a^2$为$a^2+a^2$，分组凑完全平方：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$
即$(a-b)^2 + (a-c)^2 = 0$
3. 根据平方的非负性，两个非负数的和为0，则两个平方项均为0：
可得$a-b=0$，$a-c=0$，即$a=b$且$a=c$，因此$a=b=c$。
1. 对原式移项整理：
已知$2a^2 + b^2 + c^2 = 2a(b + c)$，展开右侧并移项得：
$2a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac = 0$
2. 拆分$2a^2$为$a^2+a^2$，分组凑完全平方：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$
即$(a-b)^2 + (a-c)^2 = 0$
3. 根据平方的非负性，两个非负数的和为0，则两个平方项均为0：
可得$a-b=0$，$a-c=0$，即$a=b$且$a=c$，因此$a=b=c$。
