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1. 利用因式分解可以知道 $17^4 - 15^4$ 能够被某个数整除,这个数是()
A.18
B.28
C.36
D.64
A.18
B.28
C.36
D.64
答案
D
解析
利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$对原式因式分解：
$17^4 - 15^4$
$=(17^2)^2 - (15^2)^2$
$=(17^2 - 15^2)(17^2 + 15^2)$
$=(17-15)(17+15)(289+225)$
$=2×32×514$
$=64×514$
可知$17^4-15^4$能被64整除。
$17^4 - 15^4$
$=(17^2)^2 - (15^2)^2$
$=(17^2 - 15^2)(17^2 + 15^2)$
$=(17-15)(17+15)(289+225)$
$=2×32×514$
$=64×514$
可知$17^4-15^4$能被64整除。
2.已知$a,b,c$是一个三角形三边的长,则代数式$(a-b)^2 - c^2$的值（）
A.一定是负数
B.一定是正数
C.一定是0
D.可能是0
A.一定是负数
B.一定是正数
C.一定是0
D.可能是0
答案
A
解析
利用平方差公式对代数式因式分解：$(a-b)^2 - c^2=(a-b+c)(a-b-c)$。根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+c＞b$，即$a-b+c＞0$；$b+c＞a$，即$a-b-c＜0$。正数乘负数结果为负，因此该代数式的值一定是负数。
3. 定义:若一个整数能表示成$a^2 + b^2$（$a,b$是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”。例如:因为$13 = 3^2 + 2^2$，所以13是“和谐数”。下列说法不正确的是()
A.17是“和谐数”
B.$a^2 - 2ab + 2b^2$（$a,b$是整数）不一定是“和谐数”
C.若数$m,n(m≠n)$都是“和谐数”，则$\frac{(m + n)^2 - (m - n)^2}{4}$也是“和谐数”
D.当$k = 13$时，$x^2 + 4y^2 + 4x - 12y + k$（$x,y$是整数）是“和谐数”
A.17是“和谐数”
B.$a^2 - 2ab + 2b^2$（$a,b$是整数）不一定是“和谐数”
C.若数$m,n(m≠n)$都是“和谐数”，则$\frac{(m + n)^2 - (m - n)^2}{4}$也是“和谐数”
D.当$k = 13$时，$x^2 + 4y^2 + 4x - 12y + k$（$x,y$是整数）是“和谐数”
答案
B
解析
逐个验证选项：
1. 验证A：$17=4^2+1^2$，符合和谐数定义，A说法正确。
2. 验证B：对式子配方得$a^2-2ab+2b^2=(a-b)^2 + b^2$，$a,b$是整数时，$(a-b)$和$b$均为整数，该式一定是和谐数，故“不一定是和谐数”的说法错误。
3. 验证C：化简式子得$\frac{(m + n)^2 - (m - n)^2}{4}=mn$，设$m=a^2+b^2$，$n=c^2+d^2$（$a,b,c,d$为整数），则$mn=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$，符合和谐数定义，C说法正确。
4. 验证D：代入$k=13$对多项式配方得$x^2 + 4y^2 + 4x - 12y +13=(x+2)^2+(2y-3)^2$，$x,y$是整数时，$(x+2)$和$(2y-3)$均为整数，符合和谐数定义，D说法正确。
综上，不正确的是B。
1. 验证A：$17=4^2+1^2$，符合和谐数定义，A说法正确。
2. 验证B：对式子配方得$a^2-2ab+2b^2=(a-b)^2 + b^2$，$a,b$是整数时，$(a-b)$和$b$均为整数，该式一定是和谐数，故“不一定是和谐数”的说法错误。
3. 验证C：化简式子得$\frac{(m + n)^2 - (m - n)^2}{4}=mn$，设$m=a^2+b^2$，$n=c^2+d^2$（$a,b,c,d$为整数），则$mn=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$，符合和谐数定义，C说法正确。
4. 验证D：代入$k=13$对多项式配方得$x^2 + 4y^2 + 4x - 12y +13=(x+2)^2+(2y-3)^2$，$x,y$是整数时，$(x+2)$和$(2y-3)$均为整数，符合和谐数定义，D说法正确。
综上，不正确的是B。
4.将多项式$6a^{3}b^{3}-3a^{2}b^{2}$因式分解时,应提取的公因式是$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$。
答案
$3a^2b^2$
解析
确定多项式公因式的步骤如下：
1. 取各项系数的最大公因数：该多项式两项的系数分别为6和-3，它们的最大公因数是3；
2. 取两项都含有的相同字母：两项都含有字母a、b；
3. 取相同字母的最低次幂：字母a的最低次幂为$a^2$，字母b的最低次幂为$b^2$。
综上，组合得到应提取的公因式是$3a^2b^2$。
1. 取各项系数的最大公因数：该多项式两项的系数分别为6和-3，它们的最大公因数是3；
2. 取两项都含有的相同字母：两项都含有字母a、b；
3. 取相同字母的最低次幂：字母a的最低次幂为$a^2$，字母b的最低次幂为$b^2$。
综上，组合得到应提取的公因式是$3a^2b^2$。
5.利用因式分解计算：$2^{2028} - 2^{2027}=$。
答案
$2^{2027}$
解析
本题可通过提公因式法因式分解简化计算，步骤如下：
1. 先将$2^{2028}$变形为$2^{2027} × 2$，原式两项的公因式为$2^{2027}$；
2. 提取公因式计算：
$\begin{aligned}2^{2028} - 2^{2027}&=2^{2027} × 2 - 2^{2027}\\&=2^{2027} × (2-1)\\&=2^{2027} × 1\\&=2^{2027}\end{aligned}$
1. 先将$2^{2028}$变形为$2^{2027} × 2$，原式两项的公因式为$2^{2027}$；
2. 提取公因式计算：
$\begin{aligned}2^{2028} - 2^{2027}&=2^{2027} × 2 - 2^{2027}\\&=2^{2027} × (2-1)\\&=2^{2027} × 1\\&=2^{2027}\end{aligned}$
6. 下面是某同学对多项式$(x^2-2x-1)(x^2-2x+3)+4$进行因式分解的过程。
解:设$x^2-2x=y$，
原式$=(y-1)(y+3)+4$ ①
$\quad=y^2+2y+1$ ②
$\quad=(y+1)^2$ ③
$\quad=(x^2-2x+1)^2$。 ④
(1)此过程中的步骤②到步骤③运用了因式分解的()
A. 提公因式法
B. 公式法
C. 换元法
(2)该同学没有将多项式分解到不能再分解为止,请你写出正确的结果:________。
(3)请仿照上述方法,对多项式$(x^2+4x-2)(x^2+4x+10)+36$进行因式分解。
解:设$x^2-2x=y$，
原式$=(y-1)(y+3)+4$ ①
$\quad=y^2+2y+1$ ②
$\quad=(y+1)^2$ ③
$\quad=(x^2-2x+1)^2$。 ④
(1)此过程中的步骤②到步骤③运用了因式分解的()
A. 提公因式法
B. 公式法
C. 换元法
(2)该同学没有将多项式分解到不能再分解为止,请你写出正确的结果:________。
(3)请仿照上述方法,对多项式$(x^2+4x-2)(x^2+4x+10)+36$进行因式分解。
答案
(1) $\boldsymbol{B}$；(2) $\boldsymbol{(x-1)^4}$；(3) $\boldsymbol{(x+2)^4}$
解析
(1) 步骤②的式子$y^2+2y+1$符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，直接利用乘法公式完成因式分解，属于公式法，因此选B。
(2) 该同学得到的结果$(x^2-2x+1)^2$中，$x^2-2x+1$仍是完全平方式，可继续分解为$(x-1)^2$，因此最终彻底分解的结果为$[(x-1)^2]^2=(x-1)^4$。
(3) 仿照换元法分解多项式：
设$x^2+4x=y$，
原式$=(y-2)(y+10)+36$
$=y^2+8y-20+36$
$=y^2+8y+16$
$=(y+4)^2$
回代$y=x^2+4x$得：
原式$=(x^2+4x+4)^2$
$=[(x+2)^2]^2$
$=(x+2)^4$
(2) 该同学得到的结果$(x^2-2x+1)^2$中，$x^2-2x+1$仍是完全平方式，可继续分解为$(x-1)^2$，因此最终彻底分解的结果为$[(x-1)^2]^2=(x-1)^4$。
(3) 仿照换元法分解多项式：
设$x^2+4x=y$，
原式$=(y-2)(y+10)+36$
$=y^2+8y-20+36$
$=y^2+8y+16$
$=(y+4)^2$
回代$y=x^2+4x$得：
原式$=(x^2+4x+4)^2$
$=[(x+2)^2]^2$
$=(x+2)^4$
